宁夏石嘴山市平罗中学2019-2020学年高二下学期复学学业成绩检测数学（理）试题

宁夏石嘴山市平罗中学2019-2020学年高二下学期复学学业成绩检测数学（理）试题

平罗中学2019——2020学年度第二学期高二年级学生复学学业成绩检测 高二数学（理）试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1.复数（为虚数单位），则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的乘法运算将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出的值.‎ ‎【详解】，因此，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（ ）‎ ‎①是周期函数；②三角函数是周期函数；③是三角函数 A. ②③① B. ②①③ C. ①②③ D. ③②①‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据“三段论”的排列模式：“大前提”“小前提”“结论”，分析即可得到正确的顺序.‎ ‎【详解】根据“三段论”的排列模式：“大前提”“小前提”“结论”，可知：‎ ‎①是周期函数是“结论”；‎ ‎②三角函数是周期函数是“大前提”；‎ ‎③是三角函数是“小前提”；‎ 故“三段论”模式排列顺序为②③①.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了演绎推理的模式，需理解演绎推理的概念，属于基础题.‎ ‎3.由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.以下推理为归纳推理的是（ ）‎ A. 三角函数都是周期函数，是三角函数，所以是周期函数 B. 一切奇数都不能被2整除，525是奇数，所以525不能被2整除 C. 由，，，得 D. 两直线平行，同位角相等.若与是两条平行直线的同位角，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三种推理的定义及特点，逐一分析四个答案中的推理过程，可得结论.‎ ‎【详解】根据演绎推理的含义和特点可知，‎ 属于演绎推理，‎ 根据归纳推理的含义可知，属于归纳推理.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查的是归纳推理的含义，演绎推理的含义，考查学生对他们的理解和应用，是基础题.‎ ‎4.在用反证法证明“已知，且，则中至少有一个大于‎1”‎时，假设应为（ ）‎ A. 中至多有一个大于1 B. 全都小于1‎ C. 中至少有两个大于1 D. 均不大于1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用反证法的定义得到答案.‎ ‎【详解】中至少有一个大于1的反面为均不大于1，故假设应为：均不大于1.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了反证法，意在考查学生对于反证法的理解.‎ ‎5.下列求导运算正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则对给出的四种运算逐一验证，即可得到正确答案.‎ 详解：，不正确； ，正确；,不正确；，不正确，故选B.‎ 点睛：本题主要考查基本初等函数的导数公式、导数的运算法以及简单的复合函数求导法则，属于基础题.‎ ‎6.用数学归纳法证明，则从到时左边添加的项是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据式子的结构特征，求出当时，等式的左边，再求出 时，等式的左边，比较可得所求．‎ ‎【详解】当时，等式的左边为，‎ 当 时，等式的左边为，‎ 故从“到”，左边所要添加的项是．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从到项的变化．‎ ‎7.已知椭圆E：与双曲线C：（）有相同的焦点，则双曲线C的渐近线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆与双曲线有相同的焦点，所以得，得，从而可得到双曲线方程，进而可得其渐近线方程.‎ ‎【详解】解：因为椭圆E：与双曲线C：（）有相同的焦点，‎ 所以，解得，‎ 所以双曲线方程为，‎ 所以双曲线的渐近线方程为 故选：B ‎【点睛】此题考查椭圆和双曲线的焦点，双曲线的渐近线，属于基础题.‎ ‎8.已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将双曲线的标准方程表示为，由题意得出的值，再利用离心率公式可求出双曲线的离心率的值.‎ ‎【详解】将双曲线的标准方程表示为，‎ 由于该双曲线的渐近线方程为，则，‎ 因此，该双曲线的离心率为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用离心率公式计算更为便捷，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎9.椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则的面积为( )‎ A. 24 B. ‎28 ‎C. 40 D. 48‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的定义，求得，结合，可得为直角三角形，进而可求解的面积.‎ ‎【详解】由椭圆的定义，‎ 又 为直角三角形，.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了椭圆得定义，焦点三角形的面积，考查了学生综合分析，转化，数学运算的能力，属于基础题.‎ ‎10.当点在圆上变动时，它与定点的连结线段的中点的轨迹方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件可设，线段的中点为，再利用中点坐标公式可得到，再代入圆的方程即可得到线段的中点的轨迹方程.‎ ‎【详解】设，线段的中点为，（如图）‎ 则即，‎ 点在圆上变动，即 即 故选：B ‎【点睛】本题考查了中点坐标公式，动点轨迹方程求法，属于一般题.‎ ‎11.点是曲线C：的弦的中点.则直线的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，则，把的坐标代入曲线的方程，两式相减，可求出直线的斜率，点斜式写出直线的方程.‎ 详解】设，‎ 点是曲线：的弦的中点，‎ ‎.‎ 把的坐标代入曲线的方程，可得 ‎，两式相减得，，‎ 即，‎ ‎，‎ 即直线的斜率为，‎ 所以直线的方程为，即.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查点差法求直线方程，属于中档题.‎ ‎12.已知点是椭圆:上第一象限的一点，，分别是圆和上的点，则的最小值为（ ）‎ A. 6 B. ‎7 ‎C. 8 D. 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可得两个圆心恰好是椭圆的焦点，结合椭圆的几何意义，椭圆上的点到两个焦点距离之和为定值，再根据圆外一点到圆上点距离的最小值为点到圆心距离减去半径即可求解.‎ ‎【详解】点是椭圆:上第一象限的一点，则点在两圆的外部，‎ 由题可得两圆圆心坐标是，恰是椭圆的两个焦点，设，‎ ‎，两圆的半径为2，1，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】此题考查椭圆的定义及几何性质，同时也考查了圆的几何性质，圆外一点到圆上距离的最值问题.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎13.若复数，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数代数形式的除法运算先化简，再求复数．‎ ‎【详解】解：∵，‎ ‎∴，‎ 故答案：．‎ ‎【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎14.曲线在点处的切线的方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对求导，带入得到斜率，通过点斜式得到切线方程，再整理成一般式得到答案.‎ ‎【详解】‎ 带入得切线的斜率，‎ 切线方程为，整理得 ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，通过求导求出切线的斜率，再由斜率和切点写出切线方程.难度不大，属于简单题.‎ ‎15.抛物线上一点M的横坐标为3，且，则抛物线方程为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由解出即可 ‎【详解】抛物线的准线方程为：‎ 所以，解得 所以抛物线的方程为：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查的是抛物线的定义的应用，较简单.‎ ‎16.已知椭圆的左、右焦点分别为，是短轴的一个端点若 为钝角，则椭圆离心率的取值范围是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆性质得，再结合余弦定理即可得，利用和椭圆性质即可得解.‎ ‎【详解】设椭圆的焦距为，‎ ‎、、分别为椭圆的左、右焦点和短轴的端点，‎ ‎，‎ 为钝角，‎ 即，‎ ‎，由椭圆性质可得，‎ 故椭圆离心率的取值范围为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的性质和余弦定理的综合应用，解题关键是把条件转化为与的关系，属于中档题.‎ 三、解答题：‎ ‎17.已知中，角的对边分别为，‎ ‎（1）求角的大小；（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】(1) （2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由根据正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可得，可得，即可得解的值；（2）由已知及余弦定理得解得的值，进而利用三角形面积公式即可得结果.‎ 试题解析：(1)，由正弦定理可得 又 ‎（2）由余弦定理可得 又 的面积为 ‎18.已知等差数列满足：，．的前n项和为．‎ ‎（Ⅰ）求及；‎ ‎（Ⅱ）令（）,求数列的前项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设等差数列的公差为，由已知可得 解得，则及可求；（2）由（1）可得，裂项求和即可 试题解析：（1）设等差数列的公差为，因为，，所以有，‎ 解得，所以，.‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即数列的前项和.‎ 考点：等差数列的通项公式，前项和公式．裂项求和 ‎19.某公司为了解所经销商品的使用情况，随机问卷50名使用者，然后根据这50名的问卷评分数据，统计得到如图所示的频率布直方图，其统计数据分组区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．‎ ‎（1）求频率分布直方图中a的值并估计这50名使用者问卷评分数据的中位数；‎ ‎（2）从评分在[40，60）问卷者中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50，60）的概率．‎ ‎【答案】（1）a＝0006；76； （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率分布直方图，由概率之和为1求解a，设中位数为m，根据中位数平分直方图的面积求解.‎ ‎（2）由频率分布直方图，可知在[40，50）内的人数：0.004×10×50＝2，在[50，60）内的人数：0.006×10×50＝3．设在[40，50）内的2人分别为a1，a2，在[50，60）内的3人分别为B1，B2，B3，列举出[40，60）的问卷者中随机抽取2人，基本事件的种数，再找出其中2人评分都在[50，60）内的基本事件的种数，利用古典概型的概率公式求解.‎ ‎【详解】（1）由频率分布直方图，可得（0.004+a+0.0156+0.0232+0.0232+0.028）×10＝1，‎ 解得a＝0.006．‎ 由频率分布直方图，可设中位数为m，则有（0.004+0.006+0.0232）×10+（m﹣70）×0.028＝0.5，解得中位数m＝76．‎ ‎（2）由频率分布直方图，可知在[40，50）内的人数：0.004×10×50＝2，‎ 在[50，60）内的人数：0.006×10×50＝3．‎ 设在[40，50）内的2人分别为a1，a2，在[50，60）内的3人分别为B1，B2，B3，‎ 则从[40，60）的问卷者中随机抽取2人，基本事件有10种，分别为：‎ ‎（a1，a2），（a1，B1），（a1，B2），（a1，B3），（a2，B1），‎ ‎（a2，B2），（a2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），‎ 其中2人评分都在[50，60）内的基本事件有（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）共3种，‎ 故此2人评分都在[50，60）的概率为．‎ ‎【点睛】本题主要考查样本估计总体和古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎20.如图，四棱柱中，平面，，，，，为棱的中点 ‎ ‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过勾股定理计算证明证得，再证得，由此证得平面，从而证得.‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，利用得出点的坐标，根据直线与平面所成角的正弦值为列方程，解方程求得的值，进而求得线段的长.‎ ‎【详解】（1）在中，，‎ ‎，∴，‎ ‎∵平面，平面∥平面，‎ ‎∴平面，又∥，所以平面，‎ 所以且 ‎∴平面，‎ ‎∴‎ ‎（2）由题可知，，，两两垂直，以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，，‎ ‎，，设，则 则 易知为平面的一个法向量.‎ 设为直线与平面所成角，则 解得，（舍去）‎ 所以，，故线段的长为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查根据线面角求线段的长，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎21.已知椭圆过点，离心率为，为坐标原点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设，，为椭圆上的三点，与交于点，且，当的中点恰为点时，判断的面积是否为常数，并说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）的面积为常数，见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据点在椭圆上和离心率，得出的等量关系，解方程求椭圆标准方程；‎ ‎（2）设，，联立直线与椭圆方程，消去，利用韦达定理可求出的底和高，将面积表示出来，可得面积是常数.‎ ‎【详解】（1）由已知易得，，‎ ‎∴，故椭圆的标准方程为：.‎ ‎（2）①若点是椭圆的右顶点（左顶点一样），‎ 则，∵，在线段上，‎ ‎∴，‎ 此时轴，求得，‎ ‎∴面积等于.‎ ‎②若点不是椭圆的左、右顶点，‎ 则设直线的方程为，，，‎ 由 得，‎ 则，，‎ ‎∴的中点的坐标为，‎ ‎∴点的坐标为，‎ 将其代入椭圆方程，化简得.‎ ‎∴.‎ ‎∵点到直线的距离，‎ ‎∴的面积.‎ 综上可知，的面积为常数.‎ ‎【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，关键是要找到关于的等量关系；考查直线与圆锥曲线的位置关系中的定值问题，一般可通过联立方程利用韦达定理把关系式转化，从而求定值；考查运算求解能力，是难题.‎ 四、选做题．（本小题满分10分．请考生在22、23、两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．）‎ ‎22.在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线的极坐标方程是.‎ ‎（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点.若直与曲线相交于两点,求的值.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用代入法消去参数方程中的参数可求直线的普通方程，极坐标方程展开后，两边同乘以，利用 ，即可得曲线的直角坐标方程；（2）直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义即可得结果.‎ ‎【详解】（1）将直线l的参数方程消去参数t并化简，得 直线l的普通方程为.‎ 将曲线C的极坐标方程化为.‎ 即.∴x2+y2=2y+2x.‎ 故曲线C的直角坐标方程为. ‎ ‎（2）将直线l的参数方程代入中，得 ‎.‎ 化简，得. ‎ ‎∵Δ>0，∴此方程的两根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2.‎ 由根与系数的关系，得，，即t1，t2同正. ‎ 由直线方程参数的几何意义知,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的应用，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.‎ ‎23.已知函数 ‎（1）若，解不等式．‎ ‎（2）若恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）．（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由时，，再分段求解即可；‎ ‎（2）由不等式的性质可得 ‎，再结合不等式恒成立问题求解即可得解.‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ ‎(i)，解之得；‎ ‎(ii)，无解；‎ ‎(iii)，解之得；‎ 所以的解集为.‎ ‎（2），‎ 若要恒成立，只需，‎ 解之得或，‎ 所以的范围是或.‎ ‎【点睛】本题考查了解绝对值不等式，重点考查了不等式恒成立问题，属基础题.‎ ‎ ‎