高考理数全国卷

高考理数全国卷

理科数学试卷 请注意基础学习 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 (1)设复数 Z 满足 （A）1 （B） （C） （D）2 （2） （A） (B) （C） (D) （3）设命题 （A） （B） （C） （D） （4）投篮测试中，每人投 3 次，至少 2 次命中才能通过测试，已知某同学每次投篮命中的 概率为 0.6，且各次投篮是否命中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312 （5）已知 是双曲线 C： 上的一点， 两个焦点， 若 ，则 的取值范围是 （A） （B） （C） （D） （6）《九章算术》是我国古代极为丰富的数学名著， 书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺， 高五尺，问：积及米几何？”，其意为：“在屋内角处堆放 米（如图，米堆是一个圆锥的四分之一），米堆底部的 弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的的体积和米堆 放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为 1.62 立方 尺，圆周率约为 3，估算出米堆的米约为 （A）14 斛 （B）22 斛 （C）36 斛 （D）66 斛 (7)设 D 为 ， ，则 ＝则＝－ ZZ Z ,i1 1+ 2 3 =− 0000 10sin160cos10cos20sin 2 3－ 2 3 2 1－ 2 1 为则 PnNnP n ¬>∈∃ ,2,: 2 nnNn 2, 2 >∈∀ nnNn 2, 2 ≤∈∃ nnNn 2, 2 ≤∈∀ nnNn 2, 2＝∈∃ ),( 00 yxM 12 2 2 =− yx 的是双曲线CFF 21 , 021 <⋅MFMF 0y )3 3,3 3(− )6 3,6 3(− )3 22,3 22(− )3 32,3 32(− 所在平面内一点ABC∆ CDBC 3= （A） （B） (C) （D） (8)函数 的部分图像如图所示，则 的单调减区间为 （A） （B） （C） （D） （9）执行右边的程序框图，如果输入的 t=0.01,则输出的 n= （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 （10） 的展开式中， 的系数为 （A）10 （B）20 （C）30（D）60 (11)圆柱被一平面截去一部分后与半球（半径为 r）组成一个 几何休，该几何体的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的 表面积为 16+20π，则 r= （A）1 (B)2 (C)4 (D)8 (12)设函数 f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中 a 1，若存在唯一的整 数 x0，使得 f（x0） 0，则 a 的取值范围是（ ） （A）[- - ，1） (B) [- ， ） (C) [ ， ） (D) [ ， 1） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 （13）若函数 . （14）一个圆经过椭圆 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半 轴上，则该圆的标准方程为 。 ACABAD 3 4 3 1 +−= ACABAD 3 4 3 1 －= ACABAD 3 1 3 4 += ACABAD 3 1 3 4 －= )cos()( ϕω += xxf )(xf Zkkk ∈+− ,4 3,4 1 ）（ ππ Zkkk ∈+− ,4 32,4 12 ）（ ππ Zkkk ∈+− ,4 3,4 1 ）（ Zkkk ∈+− ,4 32,4 12 ）（ 52 ）（ yxx ++ 25 yx =++= axaxxxf 为偶函数，则)ln()( 2 1416 22 =+ yx （15）若 ，则 的最大值为 。 （16）在平面四边形 ABCD 中， ，BC＝2，则 AB 的取值范围是 。 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分 12 分） 是数列 的前 n 项和，已知 ， （Ⅰ)求数列 的通项公式； （Ⅱ）设 求数列 的前 n 项和. (18)(本小题满分 12 分)如图，四边形 ABCD 是菱形， ，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点， ， ， (Ⅰ)证明： ； (Ⅱ)求直线 AE 与直线 CF 所成有的余弦值。 （19）（本小题满分 12 分）某公司为确定下一年的投入某种产品的宣传费，需了解年宣传 费 x（单位：千元）对年销售量 y(单位：t)和年利润（单位：千元）的影响，对近 8 年的年 宣传费 和对年销售量 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量 的值，    ≤−+ ≤− ≥− 04 0 01 , yx yx x yx 满足约束条件 x y 075＝＝＝ CBA ∠∠∠ nS { }na 0>na 3422 +=+ nnn Saa { }na ,1 1+ = nn n aab }{ nb 0120＝ABC∠ ABCDBE 平面⊥ ABCDDF 平面⊥ ECAEDFBE ⊥，＝2 AFCAEC 平面平面 ⊥ ix )8,,2,1( ⋅⋅⋅=iyi x y w ∑ = − 8 1 2)( i i xx ∑ = − 8 1 2)w( i i w ∑ = −− 8 1 ))(( i ii yyxx ∑ = −− 8 1 ))(w( i ii yyw 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中 （Ⅰ）根据散点图，判断 哪一个宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归类型（给出判断即可，不必说明理由）； （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立 y 与 x 的回归方程； （Ⅲ）已知这种产品年利润 z 与 x,y 之间的关系为 z=0.2y-x,根据（Ⅱ）的结果回答问题 （i）年宣传费 x＝49 时，年销售量及年利润的预报值为多少？ （ii）年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据(u1 v1)，(u2 v2)…….. (un vn)，其回归线 v＝ u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： （20）（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C： 与直线 交于 M，N 两点。 （Ⅰ）当 时，分别求 C 在 M 点和 N 点处的切线方程； （Ⅱ） ,使得当 变动时，总有 ？说明理由。 （21）（本小题满分 12 分）已知函数 （Ⅰ）当 为何值时， 轴为曲线 的切线； （Ⅱ）用 表示 中的最小值，设函数 讨论函数 零点的个数。 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答 时请写清题号。 （22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 ∑ = == 8 18 1 i iii wwxw ， xdcybxay +=+= 与 α β+   1 2 1 ( )( ) , ( ) n i i i n i i u u v v v u u u β α β= = − − = = − − ∑ ∑ 4 2xy = ）（ 0: >+= aakxyl 0=k Py轴上是否存在点 k OPNOPM ∠∠ ＝ .ln)(,4 1)( 3 xxgaxxxf −=++= a x )(xfy = { }nm,min nm, { } )0()(),(min)( >= xxgxfxh )(xh 如图，AB 是圆为的直径，AC 是圆 O 的切线，BC 交圆 O 与点 E， (Ⅰ)若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是圆 O 的切线； (Ⅱ)若 ,求 的大小。 (23)(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，直线 C1 ， ，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为级轴建立极坐标系 (Ⅰ)求 的极坐标方程； (Ⅱ)若直线 ，设 ，求 的面积。 (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲 设函数 , 。 （Ⅰ）当 时，求不等式 的解集； （Ⅱ）若 的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 的取值范围。 CEOA 3= ACB∠ 2−=x 1)2()1(: 22 2 =−+− yxC圆 x 21,CC ）（＝的极坐标方程为 RC ∈ρπθ 43 NMCC ，的交点为与 32 MNC2∆ axxxf −−+= 21)( 0a > 1a = 1)( >xf )(xf a 答案 一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 （1） 设复数 z 满足 =i，则|z|= （A）1 （B） （C） （D）2 【答案】A （2）sin20°cos10°-con160°sin10°= （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°= ，故选 D. （3）设命题 P： n N， > ，则 P 为 （A） n N, > （B） n N, ≤ （C） n N, ≤ （D） n N, = 【答案】C 【解析】 : ，故选 C. （4）投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每次 投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概 率为 （A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312 【答案】A 【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为 =0.648， 故选 A. （5）已知 M（x0，y0）是双曲线 C： 上的一点，F1、F2 是 C 上的两 个焦点，若 ＜0，则 y0 的取值范围是 （A）（- ， ） （B）（- ， ） 1+z 1 z− 2 3 3 2 − 3 2 1 2 − 1 2 1 2 ∃ ∈ 2n 2n ¬ ∀ ∈ 2n 2n ∃ ∈ 2n 2n ∀ ∈ 2n 2n ∃ ∈ 2n 2n p¬ 2, 2nn N n∀ ∈ ≤ 2 2 3 3 0.6 0.4 0.6C × + 2 2 12 x y− = 1MF • 2MF 3 3 3 3 3 6 3 6 （C）（ ， ） （D）（ ， ） 【答案】A （6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今 有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙 角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)， 米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?” 已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有 A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 【答案】B 【解析】学科网 设圆锥底面半径为 r，则 = ，所以米堆的体积为 = ，故 堆放的米约为 ÷1.62≈22，故选 B. （7）设 D 为 ABC 所在平面内一点 =3 ，则 （A） = + (B) = （C） = + (D) = [来源:学科网 ZXXK] 【答案】A 2 2 3 − 2 2 3 2 3 3 − 2 3 3 1 2 3 84 r× × = 16 3r = 21 1 163 ( ) 54 3 3 × × × × 320 9 320 9 【解析】由题知 = ， 故选 A. [来源:学,科,网] (8)函数 f(x)= 的部分图像如图所示，则 f（x）的单调递减区间为 (A)（ ）,k (b)（ ）,k (C)（ ）,k (D)（ ）,k 【答案】D （9）执行右面的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的 n= （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 1 1 ( )3 3AD AC CD AC BC AC AC AB= + = + = + − =        1 4 3 3AB AC− +  【答案】C （10） 的展开式中， y²的系数为 （A）10 （B）20 （C）30（D）60 【答案】A 【解析】在 的 5 个因式中，2 个取因式中 剩余的 3 个因式中 1 个取 ，其 余因式取 y,故 的系数为 =30，故选 A. （11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中 的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20 ，则 r=[来源:Z。xx。k.Com] 2 5( )x x y+ + 2x x 5 2x y 2 1 2 5 3 2C C C π （A）1（B）2（C）4（D）8 【答案】B 【解析】学科网 由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为 r，圆柱的高为 2r，其表面积为 = =16 + 20 ， 解得 r=2，故选 B. 12.设函数 = ,其中 a 1，若存在唯一的整数 x0，使得 0，则 的取值范围是（ ） A.[- ，1） B. [- ， ） C. [ ， ） D. [ ，1） 【答案】D 2 21 4 2 2 22 r r r r r rπ π π× + × + + × 2 25 4r rπ + π ( )f x (2 1)xe x ax a− − + 0( )f x a 第II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题 考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。[来源:学*科*网 Z*X*X*K] 二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分 （13）若函数 f(x)=xln（x+ ）为偶函数，则 a= 【答案】1[来源:Zxxk.Com] 【 解 析 】 由 题 知 是 奇 函 数 ， 所 以 = ，解得 =1. （14）一个圆经过椭圆 的三个顶点，且圆心在 x 轴上，则该圆的标准 方程为 。 【答案】 【解析】设圆心为（ ，0），则半径为 ，则 ，解得 ，故圆的方程为 . （15）若 x,y 满足约束条件 则 的最大值为 . 【答案】3 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知， 是可行域内一点 与原点连线的斜率，由图可知，点 A（1,3）与原点连线的斜率最大，故 的最 大值为 3. 2a x+ 2ln( )y x a x= + + 2 2ln( ) ln( )x a x x a x+ + + − + + 2 2ln( ) ln 0a x x a+ − = = a 2 23 25( )2 4x y± + = a 4 | |a− 2 2 2(4 | |) | | 2a a− = + 3 2a = ± 2 23 25( )2 4x y± + = y x y x y x