九年级数学上册 2123 因式分解法教学 新版新人教版

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21.2.3 　因式分解法 知识点 知识点 因式分解法 先因式分解 , 使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式 , 再使这两个一次式分别等于 0, 从而实现降次 . 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法 . 名师解读 : (1) 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是 : ① 将方程的右边化为零 ; ② 将方程的左边分解为两个关于未知数的一次因式的积 ; ③ 令每个因式分别为零 , 得到两个一元一次方程 ; ④ 解这两个一元一次方程 , 得出它们的解 , 它们的解就是原一元二次方程的解 . (2) 因式分解法也适合于一元 “ 高次 ” ( 次数大于 2 的 ) 方程的求解 . 如 : 解方程 x ( x- 1)( x- 2) = 0 . 知识点 例 1 　 方程 x 2 - 5 x+ 6 = 0 的两个根是 ( 　　 ) A. - 1, - 6 B.2,3 C. - 2, - 3 D.1,6 解析 : 观察方程的特点 , 可以用配方法和公式法求解 , 但是发现方程的右端为 0, 而左端能逆用 ( x+a )( x+b ) =x 2 + ( a+b ) x+ab 进行分解 , 表示成两个一次式的乘积 , 因此可以使用因式分解法求解 . ∵ x 2 - 5 x+ 6 = 0, ∴ ( x- 2)( x- 3) = 0, ∴ x- 2 = 0 或 x- 3 = 0, ∴ x 1 = 2, x 2 = 3 . 答案 : B 知识点 因式分解法解一元二次方程的理论根据是如果两个因式的积等于零 , 那么 , 这两个因式至少要有一个等于零 . 它是解一元二次方程最常用的方法 . 一般来说 , 能用因式分解法求解的一元二次方程应尽量用因式分解法 , 这种方法快速、方便 , 准确率高 , 当使用因式分解法比较困难时 , 再考虑运用公式法等 . 知识点 例 2 　 解方程 : (1) x ( x+ 3) = 7( x+ 3); (2) x 2 + 5 x- 6 = 0 . 分析 : (1) 方程变形后 , 提取公因式可化为积的形式 , 然后利用 “ 两数相乘积为 0, 两因式中至少有一个为 0” 转化为两个一元一次方程来求解 ; (2) 方程左边能逆用 ( x+a )( x+b ) =x 2 + ( a+b ) x+ab 进行因式分解 . 知识点 解 : (1) 方程变形得 x ( x+ 3) - 7( x+ 3) = 0, 分解因式得 ( x+ 3)( x- 7) = 0, 解得 x 1 =- 3; x 2 = 7 . (2) x 2 + 5 x- 6 = 0, 因式分解得 ( x- 1)( x+ 6) = 0, 解得 x 1 = 1; x 2 =- 6 . 知识点 利用因式分解法解一元二次方程时 , 先考虑提公因式法 , 再考虑公式法 , 只要能把方程的右边化为 0, 左边变成两个一次式的乘积即可 . 同时特别注意方程两边不能同除以含有未知数的式子 ( 有可能为零 ) . 拓展点一 拓展点二 拓展点一 灵活地选择方法解一元二次方程 例 1 　 解方程 :3 x ( x- 1) = 1 -x. 分析 : 观察方程 , 方程右边的 “ 1 -x ” 如果移到方程左边 , 则变为 “ x- 1”, 此时有公因式 “ x- 1” 可提 , 因此 , 易采用因式分解法 . 解 : 移项 , 得 3 x ( x- 1) + ( x- 1) = 0, 因式分解 , 得 ( x- 1)(3 x+ 1) = 0, ∴ x- 1 = 0 或 3 x+ 1 = 0, ∴ x 1 = 1, 拓展点一 拓展点二 当一元二次方程的一边为 0, 另一边易于分解成两个一次因式的乘积时 , 或方程的各项中有含有未知数的一次式的公因式时 , 应选用因式分解法求解 . 由于因式分解法是把一个一元二次方程化为两个一元一次方程 , 它充分体现 “ 降次 ” 在解题中的作用 . 拓展点一 拓展点二 例 2 　 方程 ( x+ 3) 2 = 25 的根是 ( 　　 ) A.5, - 5 B.2, - 2 C.8,2 D. - 8,2 解析 : 观察原方程 , 方程的左边是 ( x+ 3) 的完全平方式 , 右边是一个非零常数 25, 宜选用直接开平方法 . 两边开平方 , 得 x+ 3 = ± 5, ∴ x= ± 5 - 3, ∴ x 1 =- 8, x 2 = 2 . 答案 : D 拓展点一 拓展点二 形如 ( x+m ) 2 =n ( n ≥ 0) 的一元二次方程 , 一般适宜用直接开平方法求解 . 拓展点一 拓展点二 例 3 　 解方程 : x 2 - 2 x- 11 = 0 . 分析 : 本题若用因式分解法或直接开平方法都有一定的困难 , 但仔细观察不难发现二次项系数是 “ 1”, 一次项系数是偶数 , 可选用配方法求解 . 解 : 移项 , 得 x 2 - 2 x= 11, 方程两边都加上 1 2 ( 一次项系数一半的平方 ), 得 x 2 - 2 x+ 1 = 11 + 1, 即 ( x- 1) 2 = 12, 拓展点一 拓展点二 配方法适合于解任何一元二次方程 , 特别适合于一次项系数的绝对值是二次项系数的绝对值的 2 倍的方程 . 拓展点一 拓展点二 例 4 　 解方程 :4 x 2 - 6 x- 3 = 0 . 分析 : 本题的各项系数没有什么明显的特点 , 利用上述三种方法解都比较麻烦 , 所以考虑使用公式法求解 . 解 : ∵ a= 4, b=- 6, c=- 3, b 2 - 4 ac= ( - 6) 2 - 4 × 4 × ( - 3) = 84, 拓展点一 拓展点二 当所求解的一元二次方程没有明显的简便解法时 , 就选择公式法 , 公式法适用于求解任何一元二次方程 . 综上所述 , 因式分解法和直接开平方法虽然简便 , 但并非所有的方程都可使用 ; 配方法适用于任何一个一元二次方程 , 但过程比较麻烦 ; 而公式法是在配方法的基础上 , 利用其导出的求根公式直接求解 , 比配方法简单得多 , 但又不如直接开平方法和因式分解法快捷 . 所以解一元二次方程时 , 要注意方法的选择 , 可参考如下原则 : 拓展点一 拓展点二 (1) 当一元二次方程的左边为完全平方式 , 右边为非负数或者左右两边都是完全平方式时 , 可利用直接开平方法 ; (2) 当一个方程的二次项系数为 “ 1”, 一次项系数为偶数时 , 适合用配方法 ; (3) 当一元二次方程的两边有公因式或易于写成左边是两个因式的积 , 右边是 0 的形式时 , 易采用因式分解法来解 ; (4) 在上述三种方法都不易求解的情况下 , 可利用公式法求解 . 拓展点一 拓展点二 拓展点二 利用 “ 换元法 ” 解可化为一元二次方程的方程 例 5 　 解方程 :( x 2 - 3 x ) 2 - 2( x 2 - 3 x ) - 8 = 0 . 解 : 设 x 2 - 3 x=y , 则原方程可化为 y 2 - 2 y- 8 = 0, 解得 y 1 =- 2, y 2 = 4 . 当 y=- 2 时 , x 2 - 3 x=- 2, 解得 x 1 = 2, x 2 = 1; 当 y= 4 时 , x 2 - 3 x= 4, 解得 x 3 = 4, x 4 =- 1 . 故原方程的根是 x 1 = 2, x 2 = 1, x 3 = 4, x 4 =- 1, 根据以上材料 , 请解方程 :(2 x 2 - 3 x ) 2 + 5(2 x 2 - 3 x ) + 4 = 0 . 分析 : 通过阅读可知 , 根据整体思想 , 利用 “ 换元法 ” 能解 “ 可化为一元二次方程的一元高次方程 ” , 此问题中 , 可以把 “ (2 x 2 - 3 x )” 看做一个整体 , 令 (2 x 2 - 3 x ) =y , 则原方程变为 y 2 + 5 y+ 4 = 0, 先求得 y 的值 , 再进一步可求得原方程的解 . 拓展点一 拓展点二 解 : 设 2 x 2 - 3 x=y , 原方程转化为 y 2 + 5 y+ 4 = 0, 解得 y 1 =- 4, y 2 =- 1 . 当 y 1 =- 4 时 ,2 x 2 - 3 x+ 4 = 0, 此方程无实数根 . 拓展点一 拓展点二 当所给出的方程比较 “ 复杂 ” , 或者不易直接求解时 , 可以利用 “ 换元法 ” 求解 , 利用换元法解方程的基本步骤为 : (1) 先选取换元的 “ 基本单元 ” , 将方程换元成 “ 新方程 ” , 注意换元后 , 仅含有新设的未知数 ; (2) 解新方程 , 得出新未知数的值 ; (3) 将新未知数还原成 “ 基本单元 ” , 即还原成含原未知数的方程 ; (4) 解所还原后的几个方程 , 得到原方程的解 .