江西省抚州市临川第一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

江西省抚州市临川第一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 临川一中2019－2020学年度上学期期中考试高一年级数学试卷 一、选择题 ‎1.设全集，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 全集，，，‎ ‎.‎ 故选B.‎ ‎2.若指数函数在上递减，则实数的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数的性质得到关于的不等式，解出即可．‎ ‎【详解】解：由题意得： ， 解得：， 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查指数函数单调性，是一道基础题．‎ ‎3.已知，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，‎ 则．‎ 故选：．‎ ‎4.下列函数中,在其定义域内与函数有相同的奇偶性和单调性的是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据常见函数单调性和奇偶性判断即可．‎ ‎【详解】解：函数在上递增，是奇函数， 对于A，在定义域无单调性，是奇函数，不符合题意； 对于B，是非奇非偶函数，不符合题意； 对于C，是偶函数，不符合题意； 对于D，在定义域上递增，是奇函数，符合题意； 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，是一道基础题．‎ ‎5.在映射中，，且，则与中的元素对应的中的元素为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，令，解出即可．‎ ‎【详解】解：由题意， 解得：， 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了映射的定义，属于基础题．‎ ‎6.已知函数对任意不相等的实数都满，若，，，则的大小关系(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，利用可得函数的单调性，进而分析的大小，借助单调性，可得答案．‎ ‎【详解】解：‎ 当时，有，‎ 即对任意，有，‎ 所以函数在其定义域内为增函数， ，‎ ‎， ∴， 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数单调性的判定与应用，关键是应用判定函数的单调性，是基础题．‎ ‎7.已知函数(且）的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则(　　)‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数的图象与性质，求出定点的坐标，再利用待定系数法求出幂函数，从而求出的值．‎ ‎【详解】解：函数中，令，解得， 此时，所以定点； 设幂函数， 则，解得； 所以， 所以， ． 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查用待定系数法求幂函数解析式，以及指数函数的性质，是基础题．‎ ‎8.根据表中的数据,可以断定方程的一个根所在的区间是(　　)‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，求出选项中的端点函数值，从而由零点的存在性定理判断根的位置．‎ ‎【详解】解：令，‎ 由上表可知， 则， ， ， ， ． 故， 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查零点存在性定理，若连续函数在某区间端点上对应的函数值异号，则在该区间上必有零点，属于基础题．‎ ‎9.函数的定义域为，值域为，则的取值范围是 A. [0，4] B. [4，6] C. [2，6] D. [2，4]‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为函数的图象开口朝上，由 ，结合二次函数的图象和性质可得的取值范围.‎ ‎【详解】函数的图象是开口朝上，‎ 且以直线为对称轴的抛物线，‎ 故，‎ 函数的定义域为,值域为，‎ 所以，‎ 即的取值范围是,故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，以及函数的定义域与值域，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力.‎ ‎10.关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分离参数后，构造函数求出值域可得．‎ ‎【详解】解：对任意恒成立 ‎，令 所以对任意恒成立等价于对任意恒成立， ， ∴． 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了函数恒成立问题，可以通过分离参数转化最值问题，而且还可以避免分类讨论，属中档题．‎ ‎11.已知函数，若直线与函数的图象有三个交点，它们的横坐标分别为，则的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将去掉绝对值，写为分段函数的形式，做出的图像，同时做出直线的图像，当直线与函数的图象有三个交点的时候，利用图像的对称性可得结果．‎ ‎【详解】解：，‎ 其图像如图：‎ ‎ 设函数的图象与直线的交点对应横坐标分别为， 则，， 所以， 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数的图象的作法及函数图象的性质的应用，属中档题．‎ ‎12.函数的定义域为，若满足如下两个条件：（1）在内是单调函数；（2）存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“希望函数”，若函数是“希望函数”，则的取值范围是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据“希望函数”的概念利用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式求解.‎ ‎【详解】因为函数是“希望函数”,‎ 所以在上的值域为，且函数是单调递增的.‎ 所以 即 有2个不等的正实数根，‎ 且两根之积等于 解得，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的值域，单调性，二次方程根的问题，属于难题.‎ 二.填空题 ‎13.函数的定义域为________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数的真数大于零，分式的分母不为零，列不等式求解即可．‎ ‎【详解】解：由已知得，解得且，‎ 函数的定义域为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查函数的定义域的求法，是基础题．‎ ‎14.已知定义在上的奇函数满足，若，则实数的取值范围是________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断函数的单调性，然后再根据函数的单调性和奇偶性，“脱”掉，得到关于的不等式，解出不等式即可．‎ ‎【详解】解：∵函数，是增函数， 又是奇函数，且其图像具有连续性， 是上增函数． 由，‎ ‎ 于是， 解得或， 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题属于函数性质的综合应用，学生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，是中档题．‎ ‎15.以下说法中正确的是________。（写出所有正确的序号）‎ ‎①若函数的定义域为，则函数的定义域为；‎ ‎②函数的单调递减区间是；‎ ‎③方程 的解是；‎ ‎④若任意，且，则；‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抽象函数定义域的求法，可判断①；‎ 由函数单调区间的表示法判断②；‎ 解出方程可判断③；‎ 根据已知得到，进而可判断④．‎ ‎【详解】①若函数的定义域为，则，得，‎ 即函数的定义域为，故正确；‎ ‎②函数的单调递减区间是和，不能并起来，故错误；‎ ‎③方程，得，解得，故正确；‎ ‎④若，则，则，‎ ‎，故错误．‎ 故答案为：①③‎ ‎【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了抽象函数定义域的求法，函数单调区间的表示，指数对数方程以及，抽象函数函数值的求和，是中档题．‎ ‎16.已知函数，若关于的方程有8个不同根，则实数的取值范围是______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：函数的图像如图所示，因为，所以关于的方程在上有2个根．令，则方程在 上有2个不同的正解，所以，解得．‎ 考点：1、分段函数；2、函数的图象；3、方程的根．‎ ‎【方法点睛】方程解的个数问题解法：研究程的实根常将参数移到一边转化为值域问题．当研究程的实根个数问题，即方程的实数根个数问题时，也常要进行参变分离，得到的形式，然后借助数形结合（几何法）思想求解；也可将方程化为形如，常常是一边的函数图像是确定的，另一边的图像是动的，找到符合题意的临界值，然后总结答案即可．‎ 三、解答题 ‎17.计算：‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用幂指数运算性质来计算即可；‎ ‎（2）利用对数的运算性质来计算即可．‎ ‎【详解】解：（1）原式；‎ ‎（2）原式 ‎【点睛】本题考查指数对数的运算，是基础题．‎ ‎18.已知集合，函数的定义域为，‎ ‎（1）当时，求，，‎ ‎（2）若求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）; ‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，由可得，再由交并补的定义可得，； （2）根据题意，分析可得，进而分2种情况讨论：当时和当时，列不等式分别求出的取值范围，进而对其求并集可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意,当时, ,,‎ 则 ,‎ 又或,‎ 则；‎ 根据题意,若,则,‎ 分2种情况讨论：‎ 当时,有,解得：；‎ 当时,若有,必有 ，解得：,‎ 综上可得：的取值范围是：．‎ ‎【点睛】本题考查集合间关系的判断，涉及集合间的混合运算，（2）中注意可能为空集的情况，是基础题．‎ ‎19.已知函数是定义域在上的奇函数,且.‎ ‎（1）求实数值；‎ ‎（2）判断函数的单调性,并用定义证明；‎ ‎（3）解不等式：.‎ ‎【答案】（1）;（2）增函数,证明见解析;（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用,，列方程组求解即可；‎ ‎（2）先观察出函数的单调性，然后利用单调性的定义进行证明即可；‎ ‎（3）利用的单调性和奇偶性，将不等式中的“脱”去，得到关于的不等式，解不等式即可．‎ ‎【详解】解：由题意可知定义域在上的奇函数可得,又，‎ 即：,解得：‎ 即实数，；‎ 由 所以函数在上为增函数,‎ 证明：在上任,,且,‎ 则 因为，所以，即 函数在上为增函数．‎ 不等式 ‎ 等价转化为： ‎ 又定义域在上的奇函数，‎ ‎，‎ 又函数是上的增函数,‎ 由解得： ‎ 所以原不等式的解集为．‎ ‎【点睛】本题考查抽象函数性质的证明与应用，注意：1.定义在上的奇函数必有；2. 函数在上为增函数，则由可得，本题综合性较强，是中档题．‎ ‎20.某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利万元；如果进行精加工后销售，每吨可获利万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工（万元）与精加工的蔬菜量（吨）有如下关系：设该农业合作社将（吨）蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润（扣除加工费）为（万元）．‎ ‎（1）写出关于的函数表达式；‎ ‎（2）当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出最大利润．‎ ‎【答案】（1）；（2）精加工吨时，总利润最大为万元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用已知条件求出函数的解析式；‎ ‎（2）利用二次函数的性质，转化求解函数的最值．‎ ‎【详解】解：（1）由题意知，当0≤x≤8时，‎ y=0.6x+0.2（14-x）-x2=-x2+x+， ‎ 当8＜x≤14时，‎ y=0.6x+0.2（14-x）-=x+2， ‎ 即y=  ‎ ‎（2）当0≤x≤8时，y=-x2+x+=-（x-4）2+，‎ 所以 当x=4时，ymax=．  当8＜x≤14时，y=x+2，‎ 所以当x=14时，ymax=．因为 ＞，所以当x=4时，ymax=．‎ 答：当精加工蔬菜4吨时，总利润最大，最大利润为万元．‎ ‎【点睛】本题考查实际问题的应用，二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎21.若为定义域上的单调函数,且存在区间（其中,使得当时, 的取值范围恰为,则称函数是上的“优美函数”.‎ ‎ 函数是否为“优美函数”？若是,求出的值；若不是，请说明理由.‎ ‎ 若为“优美函数”，求实数的取值范围.‎ ‎ 若函数为“优美函数”，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）是“优美函数”,过程见解析 ‎（2） ‎ ‎（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知条件中“优美函数”的定义，说明函数在区间的值域是，又由函数的单调性，得到关于的方程，解出即可； （2）由题意知，函数为“优美函数”，等价于方程有两实根，利用判别式和韦达定理列不等式，解不等式可得的范围；‎ ‎（3）函数为“优美函数”，可得，消去，可得间的关系，再代入原方程组，可得两个结构一摸一样的方程，将方程组的问题化归为一个二次方程有两正根的问题，利用判别式和韦达定理列不等式，解不等式可得的范围．‎ ‎【详解】解：因为函数在区间上单调递增，且值域为, ‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以是“优美函数”,此时,；‎ 因为函数为递增函数,‎ 要使在定义域区间上存在,使得的值域,‎ 则只需有两个不等的实根,‎ 由得在有两个不等的实根,设为，‎ ‎ ，‎ 解得；‎ 因为函数在上单调递减，‎ 由题意得，两式相减，‎ 得，‎ ‎ ‎ 可得 ‎ 将上式代入方程组得，‎ 是方程的两根，‎ 令在上有两个不同的实根，设为，‎ 解得．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是函数单调性和函数的值域，根据新定义构造出满足条件的方程（组）或不等式（组），将新定义转化为熟悉的数学模型是解答本题的关键，其中将方程组化归为二次方程是第（3）问的关键，本题难度较大．‎ ‎22.已知函数是偶函数，且，.‎ ‎（1）当时，求函数的值域；‎ ‎（2）设R，求函数的最小值；‎ ‎（3）对（2）中的，若不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由函数是偶函数，可得，即可求出，进而可求出与的表达式，再由时，函数和都是单调递增函数，可知函数在上单调递增，从而可求出的值域；‎ ‎（2），令，由（1）知，则，然后利用二次函数的单调性可求得的最小值；‎ ‎（3）当时，，则，整理得，由于，则对于任意的恒成立，只需令大于在上的最大值，求解即可.‎ ‎【详解】（1）因为函数是偶函数，所以，解得.‎ 故，.‎ 当时，函数和都是单调递增函数，‎ 故函数在上单调递增，‎ ‎，，‎ 所以当时，函数的值域是.‎ ‎（2）,‎ 令，由（1）知，则，‎ 因为二次函数开口向上，对称轴为，‎ 故时，在上单调递增，最小值为；‎ 时，在上单调递减，在上单调递增，最小值为；‎ 时，在上单调递减，最小值为8.‎ 故函数的最小值.‎ ‎（3）当时，，‎ 则即，整理得，‎ 因为，所以对于任意的恒成立，‎ 令，‎ 只需令大于在上的最大值即可.‎ 在上任取，且，则，，‎ 则，‎ 当时，，则，即，故在上单调递增；‎ 当时，，则，即，故在上单调递减；‎ 所以函数在上的最大值为，‎ 故.‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了函数的单调性，考查了函数的最小值的求法，考查了不等式恒成立问题，属于难题.‎ ‎ ‎