【数学】2018届一轮复习人教A版直线与圆、圆与圆的位置关系学案
1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．
2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
知识点一 直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，设d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
方法
位置关系
几何法
代数法
相交
______
______
相切
______
______
相离
______
______
答案
d
0 d＝r Δ＝0 d>r Δ<0
1．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．相交过圆心 D．相离
解析：由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝＝<.且2×1＋(－2)－5≠0，因此该直线与圆相交但不过圆心．
答案：B
2．(必修②P132A组第5题改编)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：由x2＋y2－2x－4y＝0，得(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1,2)，半径r＝，又圆心(1,2)到直线3x－y－6＝0的距离为d＝＝，由2＝r2－d2，得|AB|2＝4＝10，即|AB|＝.
答案：
3．(2016·新课标全国卷Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．
解析：圆C的方程可化为x2＋(y－a)2＝a2＋2，可得圆心的坐标为C(0，a)，半径r＝，所以圆心到直线x－y＋2a＝0的距离为＝，所以()2＋()2＝()2，解得a2＝2.所以圆C的半径为2，所以圆C的面积为4π.
答案：4π
知识点二 圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).
方法
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
相离
__________
______
相外切
__________
__________
相交
__________
__________
________________
相内切
__________
__________
__________
内含
__________
__________
______
答案
d>r1＋r2 无解 d＝r1＋r2 一组实数解 |r1－r2|0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2.则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
解析：由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝，两圆半径之差为1，故两圆相交．
答案：B
5．(必修②P133A组第9题改编)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在的直线方程为________．
解析：由得4x－4y＋8＝0，即x－y＋2＝0.
答案：x－y＋2＝0
热点一 直线与圆的位置关系
【例1】 (1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
(2)若直线y＝x＋b与曲线x＝恰有一个公共点，则b的取值范围是( )
A．b∈(－1,1] B．b＝－
C．b＝± D．b∈(－1,1]或b＝－
【解析】 (1)方法1：由题意知，圆心(0,1)到直线l的距离d＝<1<，故直线l与圆相交．
方法2：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．
(2)由x＝知，曲线表示半圆(如图)，让直线y＝x＋b
在图形中运动，可知当－13.
∴(a＋b)2>9，即a＋b>3或a＋b<－3.
又圆心(a，b)到直线x＋y－1＝0的距离
d＝>1，
∴直线x＋y－1＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1相离.
【总结反思】
(1)处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.
若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝________.
解析：方程x2＋y2＋2ay－6＝0与x2＋y2＝4.
两式相减得：2ay＝2，则y＝.
由已知条件＝，即a＝1.
答案：1
1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的．
2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意：斜率不存在的情形．
3．圆的弦长的常用求法
(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则2＝r2－d2；
(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：|AB|＝|x1－x2|＝.
直线与圆的最值与范围问题
【例】 (1)设点P是函数y＝－图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为________．
(2)已知m>0，n>0，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是______________．
【解析】 (1)函数y＝－的图象表示圆(x－1)2＋y2＝4的下半圆．令点Q的坐标为(x，y)，则得y＝－3，即x－2y－6＝0，如图所示．
由于圆心(1,0)到直线x－2y－6＝0的距离d＝＝>2，所以直线x－2y－6＝0与圆(x－1)2＋y2＝4相离，因此|PQ|的最小值是－2.
(2)因为m>0，n>0，直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，所以圆心C(1,1)到直线的距离为半径1.所以＝1，即|m＋n|＝.两边平方并整理得mn＝m＋n＋1.
由基本不等式mn≤2可得m＋n＋1≤2，(m＋n)2－4(m＋n)－4≥0，解得m＋n≥2＋2.
【答案】 (1)－2 (2)[2＋2，＋∞)
解题策略：
规律
解读
适合题型
几何法
充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解
所求最值有明显的几何特征，如距离、斜率等
代数法
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的方法
所求最值通过转化可建立函数关系式
已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1，)，则四边形ABCD面积的最大值为( )
A．5 B．10
C．15 D．20
解析：
如图，作OP⊥AC于点P，OQ⊥BD于点Q，则OP2＋OQ2＝OM2＝3，于是AC2＋BD2＝4(4－OP2)＋4(4－OQ2)＝20.又AC2＋BD2≥2AC·BD，则AC·BD≤10，所以S四边形ABCD＝AC·BD≤×10＝5，当且仅当AC＝BD＝时等号成立．故四边形ABCD面积的最大值为5.
答案：A
