2020-2021学年成都市七年级上专题讲义

2020-2021学年成都市七年级上专题讲义

14 第四节 绝对值 1.绝对值的定义 (1)绝对值的几何定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值． ①绝对值是一个数在数轴上的对应点离开原点的长度. ②绝对值是一个距离． (2)绝对值的表示方法 一个数 a 的绝对值记作|a|，读作 a的绝对值．如，＋4 的绝对值记作|＋4|. (3)绝对值的代数意义 ①一个正数的绝对值是它本身； ②一个负数的绝对值是它的相反数； ③0的绝对值是 0. 用式子表示为：|a|＝ a，a>0， 0，a＝0， －a，a<0. 例 1：下列说法正确的是( )． A．|－5|表示－5的绝对值，等于－5 B．负数的绝对值等于它本身 C．－10 距离原点 10 个单位长度，所以－10 的绝对值是 10 D．绝对值等于它本身的数有两个，是 0和 1 2．绝对值的性质 (1)数轴上表示某个数的点到原点的距离越近，它的绝对值就越小，到原点的距离越远，它 的绝对值就越大． (2)任何一个有理数的绝对值一定是非负数，即|a|≥0，0 是绝对值最小的有理数． (3)互为相反数的两个数的绝对值相等．反过来，若两个数的绝对值相等，则这两个数相等 或互为相反数． (4)任何一个有理数都有唯一的绝对值．但绝对值为某一正数的数有两个，它们互为相反 数．例如，如果|a|＝2，那么 a＝±2. (5)任何一个数的绝对值都大于或等于它本身，即|a|≥a. 填空：○1 非负数的绝对值是 ；非正数的绝对值是 ； ○2 一个数的绝对值大于它本身，这个数是 ； ○3 一个数的绝对值小于它本身，这个数 ； 15 例 2：下列说法： ①若|x|＝2017，则 x＝2017； ②|－ 2 3|＝|＋ 3 2|； ③绝对值最小的有理数是 1； ④0没有绝对值； ⑤一个有理数的绝对值一定是非负数．正确的个数为( )． A．1 B．2 C．3 D．4 3.绝对值的求法 绝对值的求法有两种方式：一是给出数字，直接按要求求这个数的绝对值； 二是给出含有绝对值符号的式子，求式子的值． 求绝对值的方法： (1)先判断这个数是正数、负数，还是 0. (2)根据绝对值的代数意义确定它的绝对值是它本身，还是它的相反数，从而求得它的绝对值． 绝对值的代数意义： ①一个正数的绝对值是它本身； ②一个负数的绝对值是它的相反数； ③0 的绝对值是 0. 例 3：求下列各数的绝对值：＋11，－3.4, 0， － 3 2 . 例 4：求下列各式的值：|＋2 016|， |－3.9|， －|－ 5 6|， －|＋18|. 练一练： 1. 4 的绝对值是 ；绝对值等于 4的数是 . 2. ______7.3  ； ______0  ； ______3.3  ； ______75.0  ． 3． ______510  ； ______36  ； ______5.55.6  ． 4. 下列说法中，错误的是（ ）： A、一个数的绝对值一定是正数 B、互为相反数的两个数的绝对值相等 C、绝对值最小的数是 0 D、绝对值等于它本身的数是非负数 16 4.含字母的式子去绝对值： 去绝对值依据：正数和 0 的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数。 例 5：若 3 0x  ，则 3x   _________． 若 7 0b  ，则 7b  ； 练一练： 1.若 5 0a   ，则 5a   ； 2.若3 2 0a b  ，则 3 2a b  ； 3.若 4 3 0x y  ，则 4 3x y  ； 4.若 2 3 6 0a b c   ， 则 2 3 6a b c   ． 5.若7 5 3 0x y z   ,则 7 5 3x y z   ． 6.．若 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 7． 若 ，则 ( ) A.0 B.x C.-x D.以上答案都不对 8．若 ，则 ( ) A. B. C. D. 5.求绝对值里未知数的值：如果 ax  ，则 x ±a 例 6：若 5x  ， x ________； 若 12.5x x ， ________； 若 +8 5x  ， x  ；或 x  若 3 20 10x   ， x  ；或 x  练一练： 1.若 4 3x ＋ ， x  ；或 x  2.若 5 4 2x   ， x  ；或 x  3.若 2 3 3 3 x   ， x  ；或 x  17 4.若 52 7 2 x   ， x  ；或 x  5．若 ，则 a 的值为( ) A.3 B.-7 C.3 或-6 D.3 或-7 6．若 ，则 x 的值为( ) A.-2 B.-2 或 6 C.6 D.2 或-6 7．若 ， ，则 ( ) A.-2 B.8 C.8 或-2 D.±8 或±2 8．若 ， ，则 ( ) A.7 B.-3 或 7 C.3 或-7 D.±3 或±7 6.利用绝对值比较大小 (1)利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 比较的具体步骤： ①先求两个负数的绝对值； ②比较绝对值的大小； ③根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出判断． (2)几个有理数的大小比较 ①同号两数，可以根据它们的绝对值来比较：a.两个正数，绝对值大的数较大； b.两个负数，绝对值大的反而小． ②多个有理数的大小比较，需要先将它们按照正数、0、负数分类比较，然后利用各数的绝对 值或借助于数轴来进一步比较． 例 7：比较下列每组数的大小： (1)－3 和－2.9； (2)－ 2 3 和－0.6. 例 8：求下列各数的绝对值，并用“>”将各数及它们的绝对值排列起来：－ 3 2 ，＋1，－2.3. 18 练一练：比较大小 （1） 1.2 ______ 2.2 （2） 15.11 _____ 14.1 （3）+|- 3 1 |_____-|- 3 1 | （4）-|- 3 4 |______│0．75│ （5）－ 5 3 _____丨－ 2 1 丨 （6）      2 3 2 3 。 5．绝对值的非负性的应用 绝对值的非负性 (1)绝对值具有非负性，即对于任意有理数，都有|a|≥0.绝对值的最小值为 0. (2)若几个数的绝对值相加和为 0，则这几个数的值都为 0. 用式子表示为： 若|a|＋|b|＋|c|＝0，则 a＝0，且 b＝0，且 c＝0. 可以利用上面的知识求字母的值． 例 9：当 m＝__________时，5＋|m－1|有最小值，最小值是__________． 例 10：已知|a－2|＋|7－b|＋|c－3|＝0，求 a，b，c 的值． 练一练：求下列式子 m、n 的值 1.（1） 0m n  （2） 3 0m n   （3） 2 3 3 0m n   （4） 2 4 3 3 0m n    2． 有最 值是 ，下列选项中正确的是( ) A.大，-1 B.小，0 C.大，1 D.小，1 19 6.相反数与数轴、绝对值的综合应用（难点） 比较一组数的大小时，若需要比较相反数的大小，可按以下方法进行： (1)表示数：根据相反数的几何意义，将各数或字母的相反数在数轴上表示出来； (2)排顺序：按照数轴上“右边的数总是大于左边的数”，排列这组数的大小关系． 例 11：如图，若 A 是有理数 a 在数轴上对应的点，则关于 a，－a, 1 的大小关系表示正确 的是( )． A．a＜1＜－a B．a＜－a＜1 C．1＜－a＜a D．－a＜a＜1 练一练 1.设有理数 a,b,c 在数轴上的对应点如图所示,下列说法错误的是( ) A. B. C. D. 2.设有理数 a,b 在数轴上的对应点如图所示,下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 3.设有理数 a,b 在数轴上的对应点如图所示,下列说法错误的是( ) A. B. C. D. 例 12：已知 ，化简 的结果为( ) A.4 B.-2x+6 C.2x-6 D.-4 练一练 1．如果 a＜b＜0，则化简|1-a|-|a-b|<0，则化简 所得的结果是( ) A.2a-b-1 B.-2a+b+1 C.-b+1 D.b-1 2．有理数 a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则化简 的结果为（ ） A.-a-2b B.a C.-3a-2b+2c D.-a-2b+2c 20 3．有理数 ， ， 在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果为( ) A.-2a+c-1 B.-2b-c+1 C.2a+2b-c-1 D.-c-1 例 13：若 ， 。化简 的结果为( ) A.-2b+ab B.-2a+ab C.ab D.2a+ab 练一练 1．若 ,则有理数 a在数轴上的对应点应是在( ) A.原点的右侧 B.原点的左侧 C.原点或原点的右侧 D.原点或原点的左侧 2． 若 ,则必有( ) A. B. C. , D. , 3．若 ,则必有( ) A. B. C. D. 4．已知 ,根据已知条件画出对应的数轴,其中正确的是( ) A B. C. D. 5．若 , ,且 ,则 一定是( ) A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 6．若 a<0y，则 x-y的值为( ) A.3 B.3或 11或-7 C.3或 11或 1 D.3或-7或 1 练一练 1． 已知 ， ，且 ，则 x+y的值为( ) 2．已知 ， ，且 ，则 的值为( ) A.1 B.7 C.1或 7 D.1或 6 例 15：若 ，则 的取值共有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.1个 练一练 1． 已知有理数 a，b，c满足 abc＞0，则 的值为( ) A.3或-1 B.1或-3 C.±1或 3 D.±1或±3 2. 7.利用绝对值解决实际问题 绝对值解决实际问题，主要有以下两类： (1)判断物体或产品质量的好坏 可以用绝对值判断物体或产品偏离标准的程度，绝对值越小，越接近标准，质量就越好． 方法： ①求每个数的绝对值； ②比较所求绝对值的大小； ③根据“绝对值越小，越接近标准”作出判断． (2)利用绝对值求距离 路程问题中，当出现用“＋”、“－”号表示的带方向的路程，求最后的总路程时，实际 上就是求绝对值的和． 方法： ①求每个数的绝对值；②求所有数的绝对值的和；③写出答案． 22 【例 16】 如图，检测 4 个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数 记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是( )． 【例 17】 一天上午，出租车司机小王在东西走向的路上运营，如果规定向东为正，向西为 负，出租车的行车里程如下(单位：千米)：＋15，－3，＋12，－11，－13，＋3，－12， －18，请问小王将最后一位乘客送到目的地时，共行驶了多少千米？ 练一练： 1、 ______ 3 1  ______ 4 5  ______ 3 2  ． 2、 ______510  ； ______36  ； ______5.55.6  ． 3、______的相反数是它本身，_______的绝对值是它本身，_______的绝对值是它的相反数． 4、一个数的绝对值是 3 2 ，那么这个数为______． 5、当 aa  时， 0______a ；当 0a 时， ______a ． 6、绝对值等于 4 的数是______． 7、 5 23 的绝对值是______；绝对值等于 5 23 的数是______，它们互为________． 8、在数轴上，绝对值为 4，且在原点左边的点表示的有理数为________． 9、如果 3a ，则 ______ a ， ______a ． 10、 7x ，则 ______x ； 7 x ，则 ______x ． 11、如果 3a ，则 ______3 a ， ______3  a ． 12、绝对值不大于 11.1 的整数有（ ） A．11 个 B．12 个 C．22 个 D．23 个 13、绝对值等于其相反数的数一定是（ ） A．负数 B．正数 C．负数或零 D．正数或零 23 14、给出下列说法：①互为相反数的两个数绝对值相等； ②绝对值等于本身的数只有正数； ③ 不相等的两个数绝对值不相等； ④绝对值相等的两数一定相等．其中正确的有（ ） A．0 个 B．1 个 C．2个 D．3 个 15、如果 aa 22  ，则 a的取值范围是（ ） A．a＞O B． a≥O C． a≤O D． a＜O 16、在同一数轴上表示下列各数： (1) 2 12 ； (2) 0 ； (3)绝对值是 2.5 的负数； (4)绝对值是 3 的正数． 17、计算： (1) 7.27.27.2  (2) 13616  (3) 5327  (4)        3 2 9 2 2 1 2 1 18. （1）已知 022  yx ，求 x,y 的值。 （2）若实数a，b满足 3 1 2 0a b    ，求 a b 的值． 24 19.已知 a>b，b<0，a<│b│． （1）在 a，b，-a，-b 中，哪些是正数？哪些是负数？能否有相等的两个数？试说明理由； （2）将 a，b，-a，-b 由小到大排列起来，用“<”连接，并在数轴上把这四个数的大致位置 表示出来． 20.某校举办数学竞赛，试卷有 10 道选择题，评分标准是做对一道得 1 分，做错一道扣 1分，不 答得 0分，下表是某校 10 名参赛选手的最后成绩． 选手号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最后成绩 -4 3 -1 1 -6 -2 5 1 0 -2 （1）表中的正数与负数表示什么意思？ （2）哪名选手得分最高？哪名选手得分最低？ （3）得分最高的选手最多做错几道题？ （4）得分最低的选手最多做对几道题？