北京市西城区中考二模数学试卷及答案

北京市西城区中考二模数学试卷及答案

北京市西城区2013年初三二模试卷 ‎ 数 学 2013. 6‎ 一、选择题（本题共32分，每小题4分）‎ ‎1．的倒数是 A． B．3 C． D．‎ ‎2．下列运算中正确的是 A． B． C． D．‎ ‎3．若一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数是 A．5 B．6 C．7 D．8 ‎ ‎4．若，则的值为 ‎ A．8 B．6 C．5 D．9 ‎ ‎5．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是 ‎ A B C D ‎6．对于一组统计数据：3，3，6，3，5，下列说法中错误的是 ‎ A．中位数是6 B．众数是3 C．平均数是4 D．方差是1.6‎ ‎7．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30 °后得到正方形EFCG，‎ ‎ EF交AD于点H，则四边形DHFC的面积为 ‎ A． B． C． 9 D．‎ ‎8．如图，点A，B，C是正方体三条相邻的棱的中点，沿着A，B，C三点所在的平面将该正方体的一个角切掉，然后将其展开，其展开图可能是 ‎ A B C D 二、填空题（本题共16分，每小题4分）‎ ‎9．函数中，自变量的取值范围是 ．‎ ‎10．若把代数式化为的形式，其中，为常数，则= ．‎ ‎11．如图，在△ABC中，∠ACB=52°，点D，E分别是AB， AC的中点．若点F在线段DE上，且∠AFC=90°，则∠FAE的度数为 °．‎ ‎12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，∠OAB=90°．⊙P1是△OAB的内切圆，且P1的坐标为(3,1)．‎ (1) OA的长为 ，OB的长为 ；‎ (2) 点C在OA的延长线上，CD∥AB交x轴于点D．将⊙P1沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P2，将⊙P2沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P3，按照同样的方法继续操作，依次得到⊙P4，……⊙Pn．若⊙P1，⊙P2，……⊙Pn均在△OCD的内部，且⊙Pn恰好与CD相切，则此时OD的长为 ．（用含n的式子表示）‎ 三、解答题（本题共30分，每小题5分）‎ ‎13．计算：． ‎ ‎14．如图，点C是线段AB的中点，点D，E在直线AB的同侧，‎ ‎ ∠ECA=∠DCB，∠D=∠E．‎ 求证：AD=BE．‎ ‎15．已知，求代数式的值．‎ ‎ ‎ ‎16．已知关于的一元二次方程有实数根．‎ ‎ (1) 求的取值范围；‎ ‎ (2) 当为负整数时，求方程的两个根．‎ ‎17．列方程（组）解应用题：‎ 水上公园的游船有两种类型，一种有4个座位，另一种有6个座位．这两种游船的收费标准是：一条4座游船每小时的租金为60元，一条6座游船每小时的租金为100元．某公司组织38名员工到水上公园租船游览，若每条船正好坐满，并且1小时共花费租金600元，求该公司分别租用4座游船和6座游船的数量．‎ ‎18．为了解“校本课程”开展情况，某校科研室随机选取了若干学生进行问卷调查(要求每位学生只能填写一种自己喜欢的课程)，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图：‎ ‎ 调查结果的条形统计图 调查结果的扇形统计图 ‎ 请根据以上信息回答下列问题：‎ ‎(1) 参加问卷调查的学生共有 人；‎ ‎ (2) 在扇形统计图中，表示“C”的扇形的圆心角为 度；‎ ‎ (3) 统计发现，填写“喜欢手工制作”的学生中，男生人数∶女生人数=1∶6．如果从所有参加问卷调查的学生中随机选取一名学生，那么这名学生是填写“喜欢手工制作”的女生的概率为 ．‎ 四、解答题（本题共20分，每小题5分）‎ ‎19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与轴交于点A(,0)， 与轴交于点B，且与正比例函数的图象的交点为C(,4) ． ‎ ‎(1) 求一次函数的解析式；‎ ‎(2) 若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的 等腰直角三角形，直接写出点D的坐标．‎ ‎20．如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，‎ ‎ tan∠BDC= ．‎ ‎ (1) 求BD的长；‎ ‎ (2) 求AD的长．‎ ‎21．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O， ⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点， 过点D作⊙O的切线交AC边于点E．‎ ‎ (1) 求证：DE⊥AC；‎ ‎(2) 连结OC交DE于点F，若，求的值．‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，点经过变换得到点，该变换记作，其中为常数．例如，当，且时，．‎ ‎(1) 当，且时，= ；‎ ‎(2) 若，则= ，= ； ‎ ‎(3) 设点是直线上的任意一点，点经过变换得到点．若点与点重合，求和的值．‎ 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）‎ ‎23．在平面直角坐标系xOy中， A，B两点在函数的图象上，‎ 其中．AC⊥轴于点C，BD⊥轴于点D，且 AC=1．‎ ‎ (1) 若=2，则AO的长为 ，△BOD的面积为 ；‎ ‎(2) 如图1，若点B的横坐标为，且，当AO=AB时，求的值；‎ ‎(3) 如图2，OC=4，BE⊥轴于点E，函数的图象分别与线段BE，‎ BD交于点M，N，其中．将△OMN的面积记为，△BMN的面积记为，若，求与的函数关系式以及的最大值．‎ 图2‎ 图1‎ ‎24．在△ABC中，AB=AC，AD，CE分别平分∠BAC和∠ACB，且AD与CE交于点M．点N在射线AD上，且NA=NC．过点N作NF⊥CE于点G，且与AC交于点F，再过点F作FH∥CE，且与AB交于点H．‎ ‎(1) 如图1，当∠BAC=60°时，点M，N，G重合．‎ ‎①请根据题目要求在图1中补全图形；‎ ‎②连结EF，HM，则EF与HM的数量关系是__________；‎ ‎(2) 如图2，当∠BAC=120°时，求证：AF=EH；‎ 图1‎ 图2‎ 备用图 ‎(3) 当∠BAC=36°时，我们称△ABC为“黄金三角形”，此时．若EH=4，‎ 直接写出GM的长．‎ 图1‎ ‎25．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线和抛物线W交于A，B两点，其中点A是抛物线W的顶点．当点A在直线上运动时，抛物线W随点A作平移运动．在抛物线平移的过程中，线段AB的长度保持不变． ‎ ‎ 应用上面的结论，解决下列问题：‎ ‎ 如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知直线．点A是直线上的一个动点，且点A的横坐标为．以A为顶点的抛物线与直线的另一个交点为点B．‎ ‎ (1) 当时，求抛物线的解析式和AB的长；‎ ‎(2) 当点B到直线OA的距离达到最大时，直接写出此时点A的坐标；‎ ‎ (3) 过点A作垂直于轴的直线交直线于点C．以C为顶点的抛物线与直线的另一个交点为点D．‎ ‎ ①当AC⊥BD时，求的值；‎ ‎②若以A，B，C，D为顶点构成的图形是凸四边形，直接写出满足条件的的取值范围．‎ 图2‎ 备用图 北京市西城区2013年初三二模 ‎ 数学试卷参考答案及评分标准 2013.6‎ 一、选择题（本题共32分，每小题4分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 C C B A B A B D 二、填空题（本题共16分，每小题4分）‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎ ‎ ‎5‎ ‎2n+3‎ 阅卷说明：第12题第一、第二个空各1分，第三个空2分.‎ 三、解答题（本题共30分，每小题5分）‎ ‎13．解：原式= ……………………………………………… 4分 ‎ =． ……………………………………………… 5分 ‎14．证明：∵点C是线段AB的中点，‎ ‎ ∴AC=BC. …………………………1分 ‎ ∵∠ECA=∠DCB，‎ ‎ ∴∠ECA+∠ECD=∠DCB+∠ECD，‎ ‎ 即∠ACD=∠BCE. …………………2分 ‎ 在△ACD和△BCE中，‎ ‎ ‎ ‎ ∴△ACD≌△BCE. ……………………………………………… 4 分 ‎ ∴AD=BE . ……………………………………………… 5分 ‎15．解：‎ ‎ …………………………………………… 2分 ‎ . …………………………………………………… 3分 ‎ ∵， 即， ……………………………………………4分 ‎∴原式. ……………………………… 5分 ‎16．解：(1) ∵关于的一元二次方程有实数根，‎ ‎ ∴. ….….…..…..…………..……………………1分 ‎ ∴. …..….….…..…………..……………………2分 ‎ (2) ∵为负整数，‎ ‎ ∴. .….……..…..…………..…………………… 3分 ‎_‎ ‎_‎ ‎ 此时方程为. .…….…..…………………4分 解得x1= 3，x2= 4. .…….…..…………………5分 ‎17．解：设租用4座游船条，租用6座游船条. .….…..…..…………………… 1分 依题意得 ….………..……………………3分 解得 ..…………..……………………4分 答：该公司租用4座游船5条，6座游船3条. .….….…..…..…………………5分 ‎18．解：(1) 80； ……………………………………………………………………1分 ‎ (2) 54； ……………………………………………………………………3分 ‎(3) ． …………………………………………………………………… 5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）‎ ‎19．解：(1)∵点C(,4)在直线上，‎ ‎ ∴，解得. ……………… 1分 ‎∵点A(,0)与C(3,4)在直线上， ‎ ‎∴ ……………… 2分 解得 ‎∴一次函数的解析式为. ……………………………………… 3分 ‎(2) 点D的坐标为(,)或(,). ……………………………………… 5分 阅卷说明：两个点的坐标各1分.‎ ‎20．解：(1)在Rt△BCD中，∠BCD=90°，BC=2，tan∠BDC= ，‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴CD=. …………………………………… 1分 ‎ ∴由勾股定理得BD== . ……… 2 分 ‎ (2)如图，过点D作DE⊥AB交BA延长线于点E .‎ ‎ ∵∠BAD=135°，‎ ‎ ∴∠EAD=∠ADE=45°.‎ ‎ ∴AE=ED . ………………………………………………………………… 3分 ‎ 设AE=ED= x ，则AD= x .‎ ‎ ∵DE2+BE2=BD2，‎ ‎_‎ ‎ ∴x2+(x+2)2=()2. ………………………………………………… 4分 ‎ 解得x1= 3(舍)，x2=1 .‎ ‎ ∴AD= x = . ………………………………………………………… 5分 ‎21．(1)证明：连接OD . ‎ ‎∵DE是⊙O的切线，‎ ‎ ∴DE⊥OD，即∠ODE=90° . ……………………………………………1分 ‎ ∵AB是⊙O的直径，‎ ‎ ∴O是AB的中点.‎ ‎ 又∵D是BC的中点， .‎ ‎ ∴OD∥AC . ‎ ‎∴∠DEC=∠ODE= 90° .‎ ‎∴DE⊥AC . ……………………………………………………………… 2分 ‎ (2)连接AD .‎ ‎∵OD∥AC，‎ ‎∴. …………………………………………………………………… 3分 ‎ ∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB= ∠ADC =90° .‎ ‎ 又∵D为BC的中点，‎ ‎∴AB=AC.‎ ‎∵sin∠ABC= =，‎ ‎ 故设AD=3x , 则AB=AC=4x , OD=2x . ………………………………………… 4分 ‎∵DE⊥AC，‎ ‎∴∠ADC= ∠AED= 90°.‎ ‎∵∠DAC= ∠EAD，‎ ‎∴△ADC∽△AED.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴. ………………………………………………………………… 5分 ‎22．解：(1)=； ……………………………………… 1分 ‎(2)=，=； ……………………………………… 3分 ‎(3) ∵点经过变换得到的对应点与点重合，‎ ‎∴.‎ ‎∵点在直线上，‎ ‎∴.‎ ‎∴ ……………………………………… 4分 即 ‎∵为任意的实数，‎ ‎∴ 解得 ‎ ‎∴，. ……………………………………… 5分 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）‎ ‎23．解：(1) AO的长为，△BOD的面积为 1； ………………………… 2分 ‎(2) ∵A，B两点在函数的图象上，‎ ‎ ∴点A，B的坐标分别为，. ………………… 3分 ‎∵AO=AB，‎ 由勾股定理得，，‎ ‎ ∴.‎ ‎ 解得或. …………………………………………… 4分 ‎∵，‎ ‎∴. ………………… 5分 ‎(3) ∵OC=4，‎ ‎ ∴点A的坐标为.‎ ‎ ∴. ‎ ‎ 设点B的坐标为，‎ ‎ ∵BE⊥轴于点E，BD⊥轴于点D，‎ ‎ ∴四边形ODBE为矩形，且，‎ 点M的纵坐标为，点N的横坐标为.‎ ‎∵点M，N在函数的图象上，‎ ‎∴点M的坐标为，点N的坐标为. ‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴， ………………………… 6分 其中.‎ ‎∵，而，‎ ‎∴当时，的最大值为1. …………………………………… 7分 图1‎ ‎24．解：(1)补全图形见图1， ………1分 ‎ EF与HM的数量关系是EF=HM ； ………2分 ‎ (2)连接MF（如图2）.‎ ‎ ∵AD，CE分别平分∠BAC和∠ACB，‎ 且∠BAC=120°，‎ ‎ ∴∠1=∠2=60°，∠3=∠4.‎ ‎ ∵AB=AC，‎ 图2‎ ‎ ∴AD⊥BC.‎ ‎ ∵NG⊥EC，‎ ‎ ∴∠MDC =∠NGM =90°.‎ ‎ ∴∠4+∠6=90°，∠5+∠6=90°.‎ ‎∴∠4=∠5.‎ ‎∴∠3=∠5.‎ ‎ ∵NA=NC，∠2=60°，‎ ‎∴△ANC是等边三角形.‎ ‎∴AN=AC.‎ ‎ 在△AFN和△AMC中，‎ ‎ ‎ ‎∴△AFN≌△AMC. …………………………………………… 3分 ‎∴AF=AM.‎ ‎∴△AMF是等边三角形.‎ ‎∴AF=FM，∠7=60°.‎ ‎∴∠7=∠1.‎ ‎∴FM∥AE.‎ ‎∵FH∥CE，‎ ‎∴四边形FHEM是平行四边形. ……………………………………… 4分 ‎∴EH=FM.‎ ‎∴AF=EH. …………………………………………… 5分 ‎ (3) GM的长为. …………………………………………… 7分 ‎25．解：(1) ∵点A在直线上，且点A的横坐标为0，‎ ‎∴点A的坐标为.‎ ‎∴抛物线的解析式为. …………………………… 1分 ‎∵点B在直线上，‎ ‎∴设点B的坐标为.‎ ‎∵点B在抛物线:上，‎ ‎∴.‎ 解得或.‎ ‎∵点A与点B不重合，‎ ‎∴点B的坐标为. …………………………… 2分 ‎∴由勾股定理得AB=. …………………… 3分 ‎ (2) 点A的坐标为. …………………………… 4分 ‎ (3) ①方法一：设AC，BD交于点E，直线分别与轴、轴交于点P和Q（如图1）.则点P和点Q的坐标分别为， .‎ 图1‎ ‎∴OP=OQ=2.‎ ‎∴∠OPQ =45°.‎ ‎∵AC⊥轴，‎ ‎∴AC∥轴.‎ ‎∴∠EAB =∠OPQ =45°.‎ ‎∵∠DEA =∠AEB=90°，AB =，‎ ‎∴EA=EB =1.‎ ‎∵点A在直线上，且点A的横坐标为，‎ ‎∴点A的坐标为.‎ ‎∴点B的坐标为. ‎ ‎∵AC∥轴，‎ ‎∴点C的纵坐标为. ‎ ‎∵点C在直线上，‎ ‎∴点C的坐标为. ‎ ‎∴抛物线的解析式为. ‎ ‎∵BD⊥AC，‎ ‎∴点D的横坐标为.‎ ‎∵点D在直线上，‎ ‎∴点D的坐标为. …………………………………………… 5分 ‎∵点D在抛物线：上，‎ ‎∴.‎ 解得或. ‎ ‎∵当时，点C与点D重合，‎ ‎∴. …………………………………………… 6分 图2‎ ‎ 方法二：设直线与轴交于点P，过点A作轴的平行线，过点B作轴的平行线，交于点N.（如图2）‎ 则∠ANB=90°，∠ABN=∠OPB.‎ 在△ABN中，BN=ABcos∠ABN，AN=ABsin∠ABN.‎ ‎∵在抛物线随顶点A平移的过程中，‎ AB的长度不变，∠ABN的大小不变，‎ ‎∴BN和AN的长度也不变，即点A与点B的横坐标 的差以及纵坐标的差都保持不变.‎ 同理，点C与点D的横坐标的差以及纵坐标的差也保持不变.‎ 由(1)知当点A的坐标为时，点B的坐标为，‎ ‎∴当点A的坐标为时，点B的坐标为. ‎ ‎∵AC∥轴，‎ ‎∴点C的纵坐标为. ‎ ‎∵点C在直线上，‎ ‎∴点C的坐标为. ‎ 令，则点C的坐标为. ‎ ‎∴抛物线的解析式为. ‎ ‎∵点D在直线上，‎ ‎∴设点D的坐标为. ‎ ‎∵点D在抛物线：上，‎ ‎∴.‎ 解得或.‎ ‎∵点C与点D不重合，‎ ‎∴点D的坐标为.‎ ‎∴当点C的坐标为时，点D的坐标为.‎ ‎∴当点C的坐标为时，点D的坐标为. …… 5分 ‎∵BD⊥AC，‎ ‎∴.‎ ‎∴. …………………………………………… 6分 ‎②的取值范围是或. ………………………………… 8分 说明：设直线与交于点M.随着点A从左向右运动，从点D与点M重合，到点B与点M重合的过程中，以A，B，C，D为顶点构成的图形不是凸四边形.‎