海南省东方市民族中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

海南省东方市民族中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 东方市民族中学2019-2020学年第一学期 高一数学期中试卷 一、选择题（12*5=60分）‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意可知，集合B由集合A中元素为正数的元素组成的集合，‎ 结合集合可得：.‎ 本题选择D选项.‎ ‎2.已知集合，则下列式子表示正确的有（ ）‎ ‎①；②；③；④.‎ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分析可得集合A＝{﹣3，3}，依次分析4个式子：对于①由元素与集合的关系可得正确；②符号使用错误；③由空集的性质可得其正确；④|由于任何集合都是其本身的子集，可得其正确；综合可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，集合A＝{x|x2﹣9＝0}＝{﹣3，3}，依次分析4个式子：‎ 对于①3∈A、3是集合A的元素，正确；‎ ‎②{3}∈A、{3}是集合，有{3}⊆A，错误；‎ ‎③∅⊆A、空集是任何集合的子集，正确；‎ ‎④、任何集合都是其本身的子集，正确；‎ 共有3个正确；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查集合的包含关系的判定以及元素与集合的关系，解答的关系是正确求出集合A．‎ ‎3.已知集合，集合，集合，若，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}，利用集合C＝{x|mx+1＞0}，（A∪B）⊆C，分类讨论，可得结论．‎ ‎【详解】由题意，A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}，‎ ‎∵集合C＝{x|mx+1＞0}，（A∪B）⊆C，‎ ‎①m＜0，x，∴2，∴m，∴m＜0；‎ ‎②m＝0时，C＝R,成立；‎ ‎③m＞0，x，∴1，∴m≤1，∴0＜m≤1，‎ 综上所述，m≤1，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．‎ ‎4.设则“且”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 即不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：若x≥2且y≥2，则x2≥4，y2≥4，所以x2+y2≥8，即x2+y2≥4；若x2+y2≥4，则如（-2，-2）满足条件，但不满足x≥2且y≥2．所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分而不必要条件．故选A．‎ 考点：本题考查充分、必要、冲要条件．‎ 点评：本题也可以利用几何意义来做：“”表示为以原点为圆心，2为半径的圆外的点，包括圆周上的点，“且”表示横坐标和纵坐标都不小于2的点．显然，后者是前者的一部分，所以选A．这种做法比分析中的做法更形象、更直观．‎ ‎5.设, 则 “”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】由一定可得出；但反过来，由不一定得出，如，故选A.‎ ‎【考点定位】本小题主要考查充分必要条件、不等式的性质等基础知识，熟练掌握这两部分的基础知识是解答好本类题目的关键.‎ ‎6.若，满足，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化，利用对应系数解方程求得，再利用不等式性质求范围即可 ‎【详解】，则 ，则 故选：B ‎【点睛】本题考查不等式的性质，考查方程思想的应用，是基础题 ‎7.（多选）已知、均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A选项，利用基本不等式和可得出该不等式的正误；B选项，将不等式左边展开，然后利用基本不等式可验证该选项中的不等式是否成立；C选项，利用基本不等式以及可验证该选项中的不等式是否成立；D选项，取特殊值验证该选项中的不等式是否成立.‎ ‎【详解】对于A，，当且仅当时等号同时成立；对于B，，当且仅当时取等号；‎ 对于C，，当且仅当时取等号；‎ 对于D，当，时，，，，‎ 所以 故选AD.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式验证不等式是否成立，再利用基本不等式时要注意条件“一正、二定、三相等”的成立，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎8.若关于的二次不等式的解集为实数集，则实数的取值范围是（ ）‎ A. 或 B. ‎ C. 或 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为的解集为实数集，所以，故选B．‎ 考点：不等式的求解．‎ ‎9.不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将不等式进行等价转化，用其等价的不等式组求解．‎ ‎【详解】不等式⇔，故可解得x＞﹣2且x≠1‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查不等式的解法，本题形式较特殊，可根据其符号直接转化，省去了分类讨论这一过程，方法值得学习．‎ ‎10.定义在R上的偶函数，在上是增函数，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，函数为偶函数，所以，又因为在上是增函数，所以，即，故选B．‎ 考点：1、函数的奇偶性及其应用；2、函数的单调性及其应用．‎ ‎【易错点晴】本题考查了函数的奇偶性、函数的单调性及其应用，属于基础题，解答本题的关键是利用函数的奇偶性，转化函数值，再利用函数的单调性进行比较大小关系，其中利用函数的奇偶性的转化思想是解题的一个易错点和难点．‎ ‎11.函数的定义域为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式组即可得答案．‎ 详解】由，解得：﹣5≤x≤﹣2．‎ ‎∴函数的定义域为：[﹣5，﹣2]．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．‎ ‎12.函数的最值的情况是（ ）‎ A. 没有最大值，也没有最小值 B. 最小值为1，没有最大值 C. 最大值为1，没有最小值 D. 最大值为2，最小值为1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 去绝对值化简函数，即可得最值情况 ‎【详解】，则 单增，故有最小值1‎ ‎，无最大值 故选：B ‎【点睛】本题考查分段函数及应用，考查函数的最值，是基础题 二、填空题（4*5=20分）‎ ‎13.已知，则与的大小关系是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由结合题意和均值不等式的结论即可比较两者的大小关系，注意等号成立的条件.‎ ‎【详解】，，，，‎ 当且仅当，即时等号成立.‎ 故.‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式及其应用，属于中等题.‎ ‎14.若，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ f（x）+2f（﹣x）＝3x+2， f（﹣x）+2f（x）＝﹣3x+2解方程组即可解决．‎ ‎【详解】f（x）+2f（﹣x）＝3x+2 ①‎ f（﹣x）+2f（x）＝﹣3x+2 ②‎ ‎①﹣②×2：f（x）＝-3x，‎ 故答案为：-3x．‎ ‎【点睛】本题考查构造方程组的解析式的方法，较容易．‎ ‎15.若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由f(x)＝－x2＋2ax得对称轴为x＝a，在[1,2]上是减函数，所以a≤1，又由g(x)＝在[1,2]上是减函数，所以a>0，综合得a的取值范围为(0,1]．‎ ‎16.已知函数，，并且最小值为，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知，函数f（x）在区间[1，a]上单调递减，结合二次函数的对称轴求出实数a的取值范围．‎ ‎【详解】函数f（x）＝x2﹣4x+8＝（x﹣2）2+4，x∈[1，a]，并且函数f（x）的最小值为f（a），‎ 又∵函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，∴1＜a≤2，‎ 故答案为：（1，2]．‎ ‎【点睛】本题考查二次函数函数的单调区间，联系二次函数的图象特征，体现转化的数学思想．‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17.已知全集，集合，．‎ ‎（1）求，；‎ ‎（2）已知集合，若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1），或 或；‎ ‎（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据集合的基本运算即可求A∩B，（∁UA）∪B；‎ ‎（2）∁UB，求出根据C⊆∁UB，建立条件关系即可求实数a的取值范围．‎ ‎【详解】（1）全集，集合，，‎ 则，所以，‎ 或 或；‎ ‎（2）集合，，‎ 则．因为，‎ 所以需满足或，故或，‎ 所以实数的取值范围是或．‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的基本运算，考查集合间的关系，注意数轴法的应用及端点值，是易错题．‎ ‎18.已知函数.‎ ‎（1）证明：函数在上单调递增；‎ ‎（2）求在上的值域．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用单调性定义判断即可 ‎（2）根据函数的单调性即可求出值域．‎ ‎【详解】（1）证明：设，‎ 则.‎ 因为，所以，，‎ 即，所以，所以，即，‎ 所以在上单调递增．‎ ‎（2）解：由（1）知上单调递增，‎ 所以，，‎ 所以的值域为.‎ ‎【点睛】本题主要考查用单调性定义来证明函数单调性，以及函数的值域，考查推理能力，属于基础题．‎ ‎19.首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本(元)与月处理量(吨)之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．‎ ‎（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨平均处理成本最低？‎ ‎（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？‎ ‎【答案】（1）该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元/吨；（2）该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知得平均处理成本为，得到关系式后利用基本不等式求得平均处理成本的最小值，并根据基本不等式等号成立条件求得每月处理量；（2）获利，根据二次函数图象可求得，可知不获利，同时求得国家至少补贴元.‎ ‎【详解】（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为：‎ 当且仅当，即时取等号 月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为元/吨 ‎（2）不获利 设该单位每月获利为元 ‎ ‎ 故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴元才能不亏损 ‎【点睛】本题考查构造函数模型解决实际问题，主要涉及的内容是利用基本不等式求解函数的最值、利用二次函数图象求解最值的问题.‎ ‎20.已知f(x)＝x2－bx＋c且f(1)＝0，f(2)＝－3.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)求的解析式及其定义域．‎ ‎【答案】（1）；（2） 定义域为 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用和的函数值列方程组，解方程组可求得的值.（2）先求得的解析式，然后根据解析式求函数的定义域.‎ ‎【详解】(1)由 解得 ‎∴f(x)＝x2－6x＋5.‎ ‎(2)f()＝()2－＋5‎ ‎＝－＋5.‎ 由x＋1>0，得定义域为(－1，＋∞)．‎ ‎【点睛】本小题主要考查二次函数待定系数法求解析式，考查函数对应法则以及定义域的求法.属于中档题.‎ ‎21.已知是定义在上的奇函数．‎ ‎（）若，求，的值．‎ ‎（）若是函数的一个零点，求函数在区间上的值域．‎ ‎【答案】（1）,；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）由奇函数的定义可得，即可解出的值，将代入解析式即可得到的值；（2）将代入可得的值，化简可得函数，由和的单调性可得函数的单调性，故而可得函数的值域.‎ 试题解析：（1）由题意，，所以，所以，因为，所以=3，所以．‎ ‎（2）因为是函数的一个零点，所以，，‎ 所以，因为函数和在区间上都是单调递减，所以函数在区间上单调递减，所以在区间上，，．所以函数在区间上的值域为.‎ ‎22.设函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，且对任意正实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)恒成立，已知f(2)＝1，且x>1时，f(x)>0.‎ ‎(1)求f()的值；‎ ‎(2)判断y＝f(x)在(0，＋∞)上的单调性并给出证明；‎ ‎(3)解不等式f(2x)>f(8x－6)－1.‎ ‎【答案】（1）-1 ； （2）见解析； （3）{x|}．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先给x,y取值，当x＝y＝1时，求出 f(1)＝0. 当x＝2，y＝时，即可求出f()的值.(2) y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，再利用单调性的定义证明.(3) 由(1)知，f()＝－1，所以f(8x－6)－1＝f(8x－6)＋f()，得到f(2x)>f(4x－3)，再利用函数的单调性解不等式得解.‎ ‎【详解】(1)对于任意x，y∈R都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，‎ ‎∴当x＝y＝1时，有f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0.‎ 当x＝2，y＝时，有f(2×)＝f(2)＋f()，‎ 即f(2)＋f()＝0，又f(2)＝1，∴f()＝－1.‎ ‎(2)y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，证明如下：‎ 设01，故f()>0，‎ 即f(x2)>f(x1)，故f(x)在(0，＋∞)上为增函数．‎ ‎(3)由(1)知，f()＝－1，∴f(8x－6)－1＝f(8x－6)＋f()‎ ‎＝f( (8x－6))＝f(4x－3) ‎ ‎∴f(2x)>f(4x－3)，‎ ‎∵f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，∴ ‎ 解得解集为{x|}．‎ ‎【点睛】(1)本题主要考查函数的单调性的判断和证明，考查函数的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. (2) 用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎