山东省烟台市中考数学试卷解析

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山东省烟台市中考数学试卷解析

‎2012年山东省烟台市中考数学试卷解析 ‎ ‎ 一、选择题(本题共12个小题,每小题3分,满分36分)每小题都给出标号为A,B,C,D四个备选答案,其中有且只有一个是正确的.‎ ‎1.(2012•烟台)的值是(  )‎ ‎  A.4  B.2  C.﹣2  D.±2 考点:‎ 算术平方根。‎ 专题:‎ 常规题型。‎ 分析:‎ 根据算术平方根的定义解答.‎ 解答:‎ 解:∵22=4,‎ ‎∴=2.‎ 故选B.‎ 点评:‎ 本题考查了算术平方根的定义,是基础题,比较简单.‎ ‎2.(2012•烟台)如图是几个小正方体组成的一个几何体,这个几何体的俯视图是(  )‎ ‎  A.  B.  C.  D.‎ 考点:‎ 简单组合体的三视图。‎ 分析:‎ 俯视图是从上面看到的图形,共分三列,从左到右小正方形的个数是:1,1,1.‎ 解答:‎ 解:这个几何体的俯视图从左到右小正方形的个数是:1,1,1,‎ 故选:C.‎ 点评:‎ 此题主要考查了简单几何体的三视图,关键是掌握俯视图所看的方向:从上面看所得到的图形.‎ ‎3.(2012•烟台)不等式组的解集在数轴上表示正确的是(  )‎ ‎  A.  B.  C.  D.‎ 考点:‎ 在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组。‎ 专题:‎ 计算题。‎ 分析:‎ 先解不等式组得到﹣1<x≤2,然后根据在数轴上表示不等式的解集的方法即可得到正确答案.‎ 解答:‎ 解:‎ 解不等式①得,x≤2,‎ 解不等式②得x>﹣1,‎ 所以不等式组的解集为﹣1<x≤2.‎ 故选A.‎ 点评:‎ 本题考查了在数轴上表示不等式的解集:在数轴上,一个数的左边部分表示大于这个数,这个数用空心圈上,当含有等于这个数时,用实心圈上.也考查了解一元一次不等式组.‎ ‎4.(2012•烟台)如图,所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是(  )‎ ‎  A.  B.  C.  D.‎ 考点:‎ 中心对称图形;轴对称图形。‎ 分析:‎ 根据轴对称图形的概念:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴;把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心,进行分析可以选出答案.‎ 解答:‎ 解:A、不是轴对称图形,也不是中心对称图形.故本选项错误;‎ B、是轴对称图形,也是中心对称图形.故本选项错误;‎ C、不是轴对称图形,是中心对称图形.故本选项正确;‎ D、是轴对称图形,不是中心对称图形.故本选项错误.‎ 故选C.‎ 点评:‎ 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,图形旋转180度后与原图形重合.‎ ‎5.(2012•烟台)已知二次函数y=2(x﹣3)2+1.下列说法:①其图象的开口向下;②其图象的对称轴为直线x=﹣3;③其图象顶点坐标为(3,﹣1);④当x<3时,y随x的增大而减小.则其中说法正确的有(  )‎ ‎  A.1个  B.2个  C.3个  D.4个 考点:‎ 二次函数的性质。‎ 专题:‎ 常规题型。‎ 分析:‎ 结合二次函数解析式,根据函数的性质对各小题分析判断解答即可.‎ 解答:‎ 解:①∵2>0,∴图象的开口向上,故本小题错误;‎ ‎②图象的对称轴为直线x=3,故本小题错误;‎ ‎③其图象顶点坐标为(3,1),故本小题错误;‎ ‎④当x<3时,y随x的增大而减小,正确;‎ 综上所述,说法正确的有④共1个.‎ 故选A.‎ 点评:‎ 本题考查了二次函数的性质,主要考查了函数图象的开口方向,对称轴解析式,顶点坐标,以及函数的增减性,都是基本性质,熟练掌握性质是解题的关键.‎ ‎6.(2012•烟台)如图,在平面直角坐标中,等腰梯形ABCD的下底在x轴上,且B点坐标为(4,0),D点坐标为(0,3),则AC长为(  )‎ ‎  A.4  B.5  C.6  D.不能确定 考点:‎ 等腰梯形的性质;坐标与图形性质;勾股定理。‎ 专题:‎ 数形结合。‎ 分析:‎ 根据题意可得OB=4,OD=3,从而利用勾股定理可求出BD,再有等腰梯形的对角线相等的性质可得出AC的值.‎ 解答:‎ 解:如图,连接BD,‎ 由题意得,OB=4,OD=3,‎ 故可得BD=5,‎ 又ABCD是等腰梯形,‎ ‎∴AC=BD=5.‎ 故选B.‎ 点评:‎ 此题考查了等腰梯形的性质及勾股定理,解答本题的关键是熟练掌握等腰梯形对角线相等的性质,难度一般.‎ ‎7.(2010•通化)在共有15人参加的“我爱祖国”演讲比赛中,参赛选手要想知道自己是否能进入前8名,只需要了解自己的成绩以及全部成绩的(  )‎ ‎  A.平均数  B.众数  C.中位数  D.方差 考点:‎ 统计量的选择。‎ 专题:‎ 应用题。‎ 分析:‎ 根据题意可得:由中位数的概念,即最中间一个或两个数据的平均数;可知15人成绩的中位数是第8名的成绩.参赛选手要想知道自己是否能进入前8名,只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数,比较即可.‎ 解答:‎ 解:由于总共有15个人,第8位选手的成绩是中位数,要判断是否进入前8名,故应知道自己的成绩和中位数.‎ 故选C.‎ 点评:‎ 此题主要考查统计的有关知识,主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义.‎ ‎8.(2012•烟台)下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是(  )‎ ‎  A.x2+2x﹣4=0  B.x2﹣4x+4=0  C.x2+4x+10=0  D.x2+4x﹣5=0‎ 考点:‎ 根与系数的关系。‎ 专题:‎ 计算题。‎ 分析:‎ 找出四个选项中二次项系数a,一次项系数b及常数项c,计算出b2﹣4ac的值,当b2﹣4ac大于等于0时,设方程的两个根为x1,x2,利用根与系数的关系x1+x2=﹣求出各项中方程的两个之和,即可得到正确的选项.‎ 解答:‎ 解:A、x2+2x﹣4=0,‎ ‎∵a=1,b=2,c=﹣4,‎ ‎∴b2﹣4ac=4+16=20>0,‎ 设方程的两个根为x1,x2,‎ ‎∴x1+x2=﹣=﹣2,本选项不合题意;‎ B、x2﹣4x+4=0,‎ ‎∵a=1,b=﹣4,c=4,‎ ‎∴b2﹣4ac=16﹣16=0,‎ 设方程的两个根为x1,x2,‎ ‎∴x1+x2=﹣=4,本选项不合题意;‎ C、x2+4x+10=0,‎ ‎∵a=1,b=4,c=10,‎ ‎∴b2﹣4ac=16﹣40=﹣28<0,‎ 即原方程无解,本选项不合题意;‎ D、x2+4x﹣5=0,‎ ‎∵a=1,b=4,c=﹣5,‎ ‎∴b2﹣4ac=16+20=36>0,‎ 设方程的两个根为x1,x2,‎ ‎∴x1+x2=﹣=﹣4,本选项符号题意,‎ 故选D 点评:‎ 此题考查了一元二次方程根与系数的关系,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2﹣4ac≥0时,方程有解,设方程的两个解分别为x1,x2,则有x1+x2=﹣,x1x2=.‎ ‎9.(2012•烟台)一个由小菱形组成的装饰链,断去了一部分,剩下部分如图所示,则断去部分的小菱形的个数可能是(  )‎ ‎  A.3  B.4  C.5  D.6‎ 考点:‎ 规律型:图形的变化类。‎ 专题:‎ 规律型。‎ 分析:‎ 答案中断去的菱形个数均为较小的正整数,由所示的图形规律画出完整的装饰链,可得断去部分的小菱形的个数.‎ 解答:‎ 解:‎ 如图所示,断去部分的小菱形的个数为5,‎ 故选C.‎ 点评:‎ 考查图形的变化规律;按照图形的变化规律得到完整的装饰链是解决本题的关键.‎ ‎10.(2012•烟台)如图,⊙O1,⊙O,⊙O2的半径均为2cm,⊙O3,⊙O4的半径均为1cm,⊙O与其他4个圆均相外切,图形既关于O1O2所在直线对称,又关于O3O4所在直线对称,则四边形O1O4O2O3的面积为(  )‎ ‎  A.12cm2  B.24cm2  C.36cm2  D.48cm2‎ 考点:‎ 相切两圆的性质;菱形的判定与性质。‎ 专题:‎ 探究型。‎ 分析:‎ 连接O1O2,O3O4,由于图形既关于O1O2所在直线对称,又因为关于O3O4所在直线对称,故O1O2⊥O3O4,O、O1、O2共线,O、O3、O4共线,所以四边形O1O4O2O3的面积为O1O2×O3O4.‎ 解答:‎ 解:连接O1O2,O3O4,‎ ‎∵图形既关于O1O2所在直线对称,又关于O3O4所在直线对称,‎ ‎∴O1O2⊥O3O4,O、O1、O2共线,O、O3、O4共线,‎ ‎∵⊙O1,⊙O,⊙O2的半径均为2cm,⊙O3,⊙O4的半径均为1cm ‎∴⊙O的直径为4,⊙O3,的直径为2,‎ ‎∴O1O2=2×8=8,O3O4=4+2=6,‎ ‎∴S四边形O1O4O2O3=O1O2×O3O4=×8×6=24cm2.‎ 故选B.‎ 点评:‎ 本题考查的是相切两圆的性质,根据题意得出O1O2⊥O3O4,O、O1、O2共线,O、O3、O4共线是解答此题的关键.‎ ‎11.(2012•烟台)如图是跷跷板示意图,横板AB绕中点O上下转动,立柱OC与地面垂直,设B点的最大高度为h1.若将横板AB换成横板A′B′,且A′B′=2AB,O仍为A′B′的中点,设B′点的最大高度为h2,则下列结论正确的是(  )‎ ‎  A.h2=2h1  B.h2=1.5h1  C.h2=h1  D.h2=h1‎ 考点:‎ 三角形中位线定理。‎ 专题:‎ 探究型。‎ 分析:‎ 直接根据三角形中位线定理进行解答即可.‎ 解答:‎ 解:如图所示:‎ ‎∵O为AB的中点,OC⊥AD,BD⊥AD,‎ ‎∴OC∥BD,‎ ‎∴OC是△ABD的中位线,‎ ‎∴h1=2OC,‎ 同理,当将横板AB换成横板A′B′,且A′B′=2AB,O仍为A′B′的中点,设B′点的最大高度为h2,则h2=2OC,‎ ‎∴h1=h2.‎ 故选C.‎ 点评:‎ 本题考查的是三角形中位线定理,即三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.‎ ‎12.(2012•烟台)如图,矩形ABCD中,P为CD中点,点Q为AB上的动点(不与A,B重合).过Q作QM⊥PA于M,QN⊥PB于N.设AQ的长度为x,QM与QN的长度和为y.则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是(  )‎ ‎  A.  B.  C.  D.‎ 考点:‎ 动点问题的函数图象。‎ 分析:‎ 根据三角形面积得出S△PAB=PE×AB;S△PAB=S△PAQ+S△PQB=×QN•PB+×PA×MQ,进而得出y=,即可得出答案.‎ 解答:‎ 解:连接PQ,作PE⊥AB垂足为E,‎ ‎∵过Q作QM⊥PA于M,QN⊥PB于N ‎∴S△PAB=PE×AB;‎ S△PAB=S△PAQ+S△PQB=×QN•PB+×PA×MQ,‎ ‎∵矩形ABCD中,P为CD中点,‎ ‎∴PA=PB,‎ ‎∵QM与QN的长度和为y,‎ ‎∴S△PAB=S△PAQ+S△PQB=×QN•PB+×PA×MQ=PB(QM+QN)=PBy,‎ ‎∴S△PAB=PE×AB=PBy,‎ ‎∴y=,∵PE=AD,∴PB,AB,PB都为定值,‎ ‎∴y的值为定值,符合要求的图形为D,‎ 故选:D.‎ 点评:‎ 此题主要考查了动点函数的图象,根据已知得出y=,再利用PE=AD,PB,AB,PB都为定值是解题关键.‎ 二、填空题(本题共6个小题,每小题3分,满分18分)‎ ‎13.(2012•烟台)计算:tan45°+cos45°= 2 .‎ 考点:‎ 特殊角的三角函数值。‎ 分析:‎ 首先把特殊角的三角函数值代入,然后进行二次根式的计算即可求解.‎ 解答:‎ 解:原式=1+×=1+1=2.‎ 故答案是:2.‎ 点评:‎ 本题考查了特殊角的三角函数值,正确记忆特殊角的三角函数值是关键.‎ ‎14.(2012•烟台)▱ABCD中,已知点A(﹣1,0),B(2,0),D(0,1).则点C的坐标为 (3,1) .‎ 考点:‎ 平行四边形的性质;坐标与图形性质。‎ 专题:‎ 计算题。‎ 分析:‎ 画出图形,根据平行四边形性质求出DC∥AB,DC=AB=3,根据D的纵坐标和CD=3即可求出答案.‎ 解答:‎ 解:‎ ‎∵平行四边形ABCD中,已知点A(﹣1,0),B(2,0),D(0,1),‎ ‎∴AB=CD=2﹣(﹣1)=3,DC∥AB,‎ ‎∴C的横坐标是3,纵坐标和D的纵坐标相等,是1,‎ ‎∴C的坐标是(3,1),‎ 故答案为:(3,1).‎ 点评:‎ 本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质的应用,能根据图形进行推理和求值是解此题的关键,本题主要考查学生的观察能力,用了数形结合思想.‎ ‎15.(2012•烟台)如图为2012年伦敦奥运会纪念币的图案,其形状近似看作为正七边形,则一个内角为  度(不取近似值)‎ 考点:‎ 多边形内角与外角。‎ 分析:‎ 根据正多边形的定义可得:正多边形的每一个内角都相等,则每一个外角也都相等,首先由多边形外角和为360°可以计算出正七边形的每一个外角度数,再用180°﹣一个外角的度数=一个内角的度数.‎ 解答:‎ 解:正七边形的每一个外角度数为:360°÷7=()°‎ 则内角度数是:180°﹣()°=()°,‎ 故答案为:.‎ 点评:‎ 此题主要考查了正多边形的内角与外角,关键是掌握正多边形的每一个内角都相等.‎ ‎16.(2012•烟台)如图所示的圆面图案是用相同半径的圆与圆弧构成的.若向圆面投掷飞镖,则飞镖落在黑色区域的概率为  .‎ 考点:‎ 几何概率。‎ 分析:‎ 计算出黑色区域的面积与整个图形面积的比,利用几何概率的计算方法解答即可.‎ 解答:‎ 解:∵黑色区域的面积占了整个图形面积的,‎ 所以飞镖落在黑色区域的概率为;‎ 故答案为:.‎ 点评:‎ 此题考查了几何概率,一般地,对于古典概型,如果试验的基本事件为n,随机事件A所包含的基本事件数为m,我们就用来描述事件A出现的可能性大小,称它为事件A的概率,记作P(A),即有 P(A)=.‎ ‎17.(2012•烟台)一副三角板叠在一起如图放置,最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上,BC与DE交于点M.如果∠ADF=100°,那么∠BMD为 85 度.‎ 考点:‎ 三角形内角和定理。‎ 分析:‎ 先根据∠ADF=100°求出∠MDB的度数,再根据三角形内角和定理得出∠BMD的度数即可.‎ 解答:‎ 解:∵∠ADF=100°,∠EDF=30°,‎ ‎∴∠MDB=180°﹣∠ADF﹣∠EDF=180°﹣100°﹣30°=50°,‎ ‎∴∠BMD=180°﹣∠B﹣∠MDB=180°﹣45°﹣50°=85°.‎ 故答案为:85.‎ 点评:‎ 本题考查的是三角形内角和定理,即三角形内角和是180°.‎ ‎18.(2012•烟台)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=2.将△ABC绕顶点A顺时针方向旋转至△AB′C′的位置,B,A,C′三点共线,则线段BC扫过的区域面积为  .‎ 考点:‎ 扇形面积的计算;旋转的性质。‎ 专题:‎ 探究型。‎ 分析:‎ 先根据Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=2求出BC及AC的长,再根据S阴影=AB扫过的扇形面积﹣BC扫过的扇形面积.‎ 解答:‎ 解:∵Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=2,‎ ‎∴BC=AB=×2=1,AC=2×=,‎ ‎∴∠BAB′=150°,‎ ‎∴S阴影=AB扫过的扇形面积﹣BC扫过的扇形面积=﹣=.‎ 故答案为:.‎ 点评:‎ 本题考查的是扇形的面积公式,根据题意得出S阴影=AB扫过的扇形面积﹣BC扫过的扇形面积是解答此题的关键.‎ 三、解答题(本大题共8个小题,满分66分)‎ ‎19.(2012•烟台)化简:.‎ 考点:‎ 分式的混合运算。‎ 分析:‎ 首先利用分式的加法法则计算括号内的式子,然后把除法转化成乘法,即可求解.‎ 解答:‎ 解:原式=‎ ‎=‎ ‎=‎ 点评:‎ 本题考查了分式的混合运算,正确理解运算顺序,理解运算法则是关键.‎ ‎20.(2012•烟台)第三届亚洲沙滩运动会服务中心要在某校选拔一名志愿者.经笔试、面试,结果小明和小颖并列第一.评委会决定通过抓球来确定人选.抓球规则如下:在不透明的布袋里装有除颜色之外均相同的2个红球和1个绿球,小明先取出一个球,记住颜色后放回,然后小颖再取出一个球.若取出的球都是红球,则小明胜出;若取出的球是一红一绿,则小颖胜出.你认为这个规则对双方公平吗?请用列表法或画树状图的方法进行分析.‎ 考点:‎ 列表法与树状图法。‎ 分析:‎ 根据题意列表,再根据概率公式分别求出都是红球和一红一绿的概率,即可求出答案.‎ 解答:‎ 解:根据题意,用A表示红球,B表示绿球,列表如下:‎ 由此可知,共有9种等可能的结果,其中,两红球及一红一绿各有4种结果,‎ P(都是红球)=,‎ P(1红1绿球)=,‎ 因此,这个规则对双方是公平的.‎ 点评:‎ 此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.‎ ‎21.(2012•烟台)某市为了鼓励居民节约用电,采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费.月用电量不超过200度时,按0.55元/度计费;月用电量超过200度时,其中的200度仍按0.55元/度计费,超过部分按0.70元/度计费.设每户家庭月用电量为x度时,应交电费y元.‎ ‎(1)分别求出0≤x≤200和x>200时,y与x的函数表达式;‎ ‎(2)小明家5月份交纳电费117元,小明家这个月用电多少度?‎ 考点:‎ 一次函数的应用。‎ 专题:‎ 经济问题。‎ 分析:‎ ‎(1)0≤x≤200时,电费y=0.55×相应度数;‎ x>200时,电费y=0.55×200+超过200的度数×0.7;‎ ‎(2)把117代入x>200得到的函数求解即可.‎ 解答:‎ 解:(1)当0≤x≤200时,y与x的函数表达式是y=0.55x;‎ 当x>200时,y与x的函数表达式是 y=0.55×200+0.7(x﹣200),‎ 即y=0.7x﹣30;‎ ‎(2)因为小明家5月份的电费超过110元,‎ 所以把y=117代入y=0.7x﹣30中,得x=210.‎ 答:小明家5月份用电210度.‎ 点评:‎ 考查一次函数的应用;得到超过200度的电费的计算方式是解决本题的易错点.‎ ‎22.(2012•烟台)某市园林处去年植树节在滨海路两侧栽了A,B,C三个品种的树苗.栽种的A,B,C三个品种树苗数量的扇形统计图如图(1),其中B种树苗数量对应的扇形圆心角为120°.今年植树节前管理员调查了这三个品种树苗的成活率情况,准备今年从三个品种中选成活率最高的品种再进行栽种.经调查得知:A品种的成活率为85%,三个品种的总成活率为89%,但三个品种树苗成活数量统计图尚不完整,如图(2).‎ 请你根据以上信息帮管理员解决下列问题:‎ ‎(1)三个品种树苗去年共栽多少棵?‎ ‎(2)补全条形统计图,并通过计算,说明今年应栽哪个品种的树苗.‎ 考点:‎ 条形统计图;扇形统计图。‎ 专题:‎ 图表型。‎ 分析:‎ ‎(1)根据成活率求出A种树苗栽种的棵数,再用A种树苗的栽种棵数除以所占的百分比,进行计算即可得解;‎ ‎(2)根据总成活率求出三种树苗成活的棵数,然后减去A、C两种的成活棵数即可得到B种树苗成活的棵数,即可补全条形统计图;根据B种树苗数量对应的扇形圆心角为120°求出B种树苗栽种的棵数,然后求出其成活率,再求出C种树苗的成活率,根据成活率即可作出正确选择.‎ 解答:‎ 解:(1)A品种树苗棵数为1020÷85%=1200(棵),‎ 所以,三个品种树苗共栽棵数为1200÷40%=3000(棵);‎ ‎(2)B品种树苗成活棵数为 ‎3000×89%﹣1020﹣720=930(棵),‎ 补全条形统计图,如图,…(7分) B品种树苗成活率为×100%=93%;‎ C品种树苗成活率为×100%=×100%=90%.‎ 所以,B品种成活率最高,今年应栽B品种树苗.‎ 点评:‎ 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小,本题易错点在于要先利用成活率求出A种树苗栽种的棵数.‎ ‎23.(2012•烟台)如图,在平面直角坐标系中,A,B两点的纵坐标分别为7和1,直线AB与y轴所夹锐角为60°.‎ ‎(1)求线段AB的长;‎ ‎(2)求经过A,B两点的反比例函数的解析式.‎ 考点:‎ 反比例函数综合题。‎ 分析:‎ ‎(1)过点A,B作AC⊥x轴,BD⊥AC,垂足分别为点C,D,根据A、B两点纵坐标求AD,解直角三角形求AB;‎ ‎(2)根据A点纵坐标设A(m,7),解直角三角形求BD,再表示B点坐标,将A、B两点坐标代入y=中,列方程组求k的值即可.‎ 解答:‎ 解:(1)分别过点A,B作AC⊥x轴,BD⊥AC,垂足分别为点C,D,‎ 由题意,知∠BAC=60°,AD=7﹣1=6,‎ ‎∴AB===12;‎ ‎(2)设过A,B两点的反比例函数解析式为y=,A点坐标为(m,7), ‎∵BD=AD•tan60°=6,‎ ‎∴B点坐标为(m+6,1),‎ ‎∴,‎ 解得k=7,‎ ‎∴所求反比例函数的解析式为y=.‎ 点评:‎ 本题考查了反比例函数的综合运用.关键是明确点的坐标与直角三角形的三边关系,反比例函数图象上点的坐标特点.‎ ‎24.(2012•烟台)如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点E,CF⊥AF,且CF=CE.‎ ‎(1)求证:CF是⊙O的切线;‎ ‎(2)若sin∠BAC=,求的值.‎ 考点:‎ 切线的判定;圆周角定理;相似三角形的判定与性质。‎ 分析:‎ ‎(1)首先连接OC,由CD⊥AB,CF⊥AF,CF=CE,即可判定AC平分∠BAF,由圆周角定理即可得∠BOC=2∠BAC,则可证得∠BOC=∠BAF,即可判定OC∥AF,即可证得CF是⊙O的切线;‎ ‎(2)由垂径定理可得CE=DE,即可得S△CBD=2S△CEB,由△ABC∽△CBE,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,易求得△CBE与△ABC的面积比,继而可求得的值.‎ 解答:‎ ‎(1)证明:连接OC.‎ ‎∵CE⊥AB,CF⊥AF,CE=CF,‎ ‎∴AC平分∠BAF,即∠BAF=2∠BAC.‎ ‎∵∠BOC=2∠BAC,‎ ‎∴∠BOC=∠BAF.‎ ‎∴OC∥AF.‎ ‎∴CF⊥OC.‎ ‎∴CF是⊙O的切线.‎ ‎(2)解:∵AB是⊙O的直径,CD⊥AB,‎ ‎∴CE=ED,∠ACB=∠BEC=90°.‎ ‎∴S△CBD=2S△CEB,∠BAC=∠BCE,‎ ‎∴△ABC∽△CBE.‎ ‎∴==(sin∠BAC)2==.‎ ‎∴=.‎ 点评:‎ 此题考查了切线的判定、垂径定理、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理等知识.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.‎ ‎25.(2012•烟台)(1)问题探究 如图1,分别以△ABC的边AC与边BC为边,向△ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2,过点C作直线KH交直线AB于点H,使∠AHK=∠ACD1作D1M⊥KH,D2N⊥KH,垂足分别为点M,N.试探究线段D1M与线段D2N的数量关系,并加以证明.‎ ‎(2)拓展延伸 ‎①如图2,若将“问题探究”中的正方形改为正三角形,过点C作直线K1H1,K2H2,分别交直线AB于点H1,H2,使∠AH1K1=∠BH2K2=∠ACD1.作D1M⊥K1H1,D2N⊥K2H2,垂足分别为点M,N.D1M=D2N是否仍成立?若成立,给出证明;若不成立,说明理由.‎ ‎②如图3,若将①中的“正三角形”改为“正五边形”,其他条件不变.D1M=D2N是否仍成立?(要求:在图3中补全图形,注明字母,直接写出结论,不需证明)‎ 考点:‎ 全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;正方形的性质;正多边形和圆。‎ 专题:‎ 几何综合题。‎ 分析:‎ ‎(1)根据正方形的每一个角都是90°可以证明∠AHK=90°,然后利用平角等于180°以及直角三角形的两锐角互余证明∠D1CK=∠HAC,再利用“角角边”证明△ACH和△CD1M全等,根据全等三角形对应边相等可得D1M=CH,同理可证D2N=CH,从而得证;‎ ‎(2)①过点C作CG⊥AB,垂足为点G,根据三角形的内角和等于180°和平角等于180°证明得到∠H1AC=∠D1CM,然后利用“角角边”证明△ACG和△CD1M全等,根据全等三角形对应边相等可得CG=D1M,同理可证CG=D2N,从而得证;‎ ‎②结论仍然成立,与①的证明方法相同.‎ 解答:‎ ‎(1)D1M=D2N.…(1分) 证明:∵∠ACD1=90°,‎ ‎∴∠ACH+∠D1CK=180°﹣90°=90°,‎ ‎∵∠AHK=∠ACD1=90°,‎ ‎∴∠ACH+∠HAC=90°,‎ ‎∴∠D1CK=∠HAC,…(2分)‎ 在△ACH和△CD1M中,,‎ ‎∴△ACH≌△CD1M(AAS),‎ ‎∴D1M=CH,…(3分)‎ 同理可证D2N=CH,‎ ‎∴D1M=D2N;…(4分)‎ ‎(2)①证明:D1M=D2N成立.…(5分)‎ 过点C作CG⊥AB,垂足为点G,‎ ‎∵∠H1AC+∠ACH1+∠AH1C=180°,‎ ‎∠D1CM+∠ACH1+∠ACD1=180°,‎ ‎∠AH1C=∠ACD1,‎ ‎∴∠H1AC=∠D1CM,…(6分)‎ 在△ACG和△CD1M中,,‎ ‎∴△ACG≌△CD1M(AAS),‎ ‎∴CG=D1M,…(7分)‎ 同理可证CG=D2N,‎ ‎∴D1M=D2N;…(8分)‎ ‎②作图正确.…(9分)‎ D1M=D2N还成立.…(10分)‎ 点评:‎ 本题考查了全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,正方形的性质,正多边形的性质,读懂题意,证明得到∠D1CK=∠HAC(或H1AC=∠D1CM)是证明三角形全等的关键,也是解决本题的难点与突破口.‎ ‎26.(2012•烟台)如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0),C(3,0),D(3,4).以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C.动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动.同时动点Q从点C出发,沿线段CD向点D运动.点P,Q的运动速度均为每秒1个单位.运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.‎ ‎(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;‎ ‎(2)过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,△ACG的面积最大?最大值为多少?‎ ‎(3)在动点P,Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C,Q,E,H为顶点的四边形为菱形?请直接写出t的值.‎ 考点:‎ 二次函数综合题。‎ 分析:‎ ‎(1)根据矩形的性质可以写出点A得到坐标;由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方程为y=a(x﹣1)2+4,然后将点C的坐标代入,即可求得系数a的值(利用待定系数法求抛物线的解析式);‎ ‎(2)利用待定系数法求得直线AC的方程y=﹣2x+6;由图形与坐标变换可以求得点P的坐标(1,4﹣t),据此可以求得点E的纵坐标,将其代入直线AC方程可以求得点E或点G的横坐标;然后结合抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE=4﹣、点A到GE的距离为,C到GE的距离为2﹣;最后根据三角形的面积公式可以求得 S△ACG=S△AEG+S△CEG=﹣(t﹣2)2+1,由二次函数的最值可以解得t=2时,S△ACG的最大值为1;‎ ‎(3)因为菱形是邻边相等的平行四边形,所以点H在直线EF上.‎ 解答:‎ 解:(1)A(1,4).…(1分)‎ 由题意知,可设抛物线解析式为y=a(x﹣1)2+4‎ ‎∵抛物线过点C(3,0),‎ ‎∴0=a(3﹣1)2+4,‎ 解得,a=﹣1,‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2+4,即y=﹣x2+2x+3.…(2分)‎ ‎(2)∵A(1,4),C(3,0),‎ ‎∴可求直线AC的解析式为y=﹣2x+6.‎ ‎∵点P(1,4﹣t).…(3分) ‎∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中,解得点E的横坐标为x=1+.…(4分)‎ ‎∴点G的横坐标为1+,代入抛物线的解析式中,可求点G的纵坐标为4﹣.‎ ‎∴GE=(4﹣)﹣(4﹣t)=t﹣.…(5分)‎ 又点A到GE的距离为,C到GE的距离为2﹣,‎ 即S△ACG=S△AEG+S△CEG=•EG•+•EG(2﹣)‎ ‎=•2(t﹣)=﹣(t﹣2)2+1.…(7分)‎ 当t=2时,S△ACG的最大值为1.…(8分)‎ ‎(3)t=或t=20﹣8.…(12分)‎ ‎(说明:每值各占(2分),多出的值未舍去,每个扣1分)‎ 点评:‎ 本题考查了二次函数的综合题.其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析式,待定系数法求一次函数的解析式以及三角形面积的求法.‎
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