河北省易县中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

河北省易县中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

高二数学试卷（理科）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知等差数列中， ，则（ ）‎ A. 20 B. ‎30 ‎C. 40 D. 50‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 等差数列中，，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：A．‎ ‎2.已知中，,则满足此条件的三角形的个数是 ( )‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 无数个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由正弦定理得 即 即 ，‎ 所以符合条件的A有两个，故三角形有2个 故选C 点睛：此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值，掌握正弦函数的图象与性质，会根据三角函数值求对应的角.‎ ‎3.函数，如果，且，则（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据图象可知，，所以，所以 ，所以，因为图象经过，所以代入解析式可得，解得，所以。因为 ，所以这个区间内函数的对称轴为 ，又，所以 ，所以。‎ 故本题正确答案为C。‎ 点睛：本题主要考查的正弦型三角函数的图像和性质，根据三角函数的“五个关键点”可以从图像中得到，，求得函数的解析式，由，可知即得结果.‎ ‎4.数列中， ， （），那么（ ）‎ A. 1 B. ‎-2 ‎C. 3 D. -3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴是以6为周期的周期数列.‎ ‎∵2019=336×6+3，‎ ‎∴．‎ 故选B.‎ ‎5.将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）‎ A. ， 的最小值为 B. ， 的最小值为 C. ， 的最小值为 D. ， 的最小值为 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意得 ‎ 由题意得 所以，因此当时，的最小值为，选A.‎ 点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.‎ ‎6.在边长为1的正中， ， 是边的两个三等分点（靠近于点），等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：如图，‎ ‎，是边的两个三等分点，‎ 故选C.‎ 考点：平面向量数量积的运算 ‎7.若等差数列的前项和满足， ，则（ ）‎ A. B. ‎0 ‎C. 1 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据等差数列的性质仍成等差数列，则，则 ‎ ‎，，选B.‎ ‎8.如图，一货轮航行到处，测得灯塔在货轮的北偏东，与灯塔相距，随后货轮按北偏西的方向航行后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意可知：，‎ 与正东方向的夹角为，与正东方向的夹角为，‎ ‎，‎ 中利用正弦定理可得 货轮的速度 故选 ‎9.若均为单位向量，且，则的最小值为（ ）‎ A. B. ‎1 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ ‎ 则当与同向时最大，最小，此时=，所以 ‎=-1，所以的最小值为，‎ 故选A 点睛：本题考查平面向量数量积的性质及其运算律，考查向量模的求解，考查学生分析问题解决问题的能力，求出，表示出，由表达式可判断当与同向时，最小.‎ ‎10.已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影为（ ）‎ A. 0 B. 1‎ C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：在方向上的投影为，故选D.‎ 考点：向量的投影.‎ ‎11.如图，在中， ． 是的外心， 于， 于， 于，则 等于 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由正弦定理有 , 三角形外接圆半径,所以,在中, ,同理,所以 ,选D.‎ ‎12.若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为，由题设可得在上恒成立，令，则，又，且，故，所以问题转化为不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立。令函数，则，应选答案D。‎ 点睛：本题的求解过程自始至终贯穿着转化与化归的数学思想，求函数的导数是第一个转化过程，换元是第二个转化过程；构造二次函数是第三个转化过程，也就是说为达到求出参数的取值范围，求解过程中大手笔地进行三次等价的转化与化归，从而使得问题的求解化难为易、化陌生为熟悉、化繁为简，彰显了数学思想的威力。‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.已知公比不为1的等比数列的首项，前项和为，若是与的等差中项，则__________．‎ ‎【答案】2017‎ ‎【解析】‎ 由题设可得，又，故，则，应填答案。‎ ‎14.__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎ .‎ ‎15.已知向量，其中，若与共线，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两个向量平行的充要条件，写出向量的坐标之间的关系，之后得出，利用基本不等式求得其最小值，得到结果.‎ ‎【详解】∵， ，其中，且与共线 ‎∴，即 ‎∴，当且仅当即时取等号 ‎∴的最小值为.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关向量共线的条件，涉及到的知识点有向量共线坐标所满足的条件，利用基本不等式求最值，属于简单题目.‎ ‎16.已知为数列的前项和，若且，设，则的值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据是等比数列得出，利用数列项与和的关系，求得，从而得出，利用裂项相消法求出答案.‎ ‎【详解】由可知，数列是首项为，公比为2的等比数列，‎ 所以.‎ 时， .‎ ‎.‎ 时, ‎ ‎.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列通项公式，数列项与和的关系，裂项相消法求和，属于简单题目.‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17.设等差数列的前项和为，已知.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和为，并求使得取得最大值的序号的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）或时，取得最大值.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）在等差数列中，由，即可求得首项和公差，从而得通项公式；‎ ‎（2）由等差数列求和公式可得，结合二次函数的单调性可求最值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）在等差数列中，由，‎ 解得，所以数列的通项公式为.‎ ‎（2）由（1），‎ 因为 ，所以或时，取得最大值.‎ ‎18.在中，角所对的边分别是，已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，且，求的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：利用正弦定理和余弦定理及三角形面积公式解斜三角形是高考高频考点，利用正弦定理和余弦定理进行边转角或角转边是常用的方法，本题利用正弦定理“边转角”后，得出角C，第二步利用余弦定理求出边a，c，再利用面积公式求出三角形的面积.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由正弦定理，得，‎ 因为，解得，． ‎ ‎（2）因为．‎ 由余弦定理，得，解得．‎ 的面积．‎ ‎【点睛】利用正弦定理和余弦定理及三角形面积公式解斜三角形是高考高频考点，利用正弦定理和余弦定理进行边转角或角转边是常用的方法，已知两边及其夹角求第三边或已知三边求任意角使用于心定理，已知两角及任意边或已知两边及一边所对的角借三角形用正弦定理，另外含经常利用三角形面积公式以及与三角形的内切圆半径与三角形外接圆半径发生联系，要灵活使用公式.‎ ‎19.如图，在中， ，角的平分线交于点，设,其中是直线的倾斜角。‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的长 ‎【答案】（1）；（2）5.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由直线的倾斜角概念可得，，由二倍角公式可求得，，故而可求得；（2）由正弦定理得，由得，联立方程组得结果.‎ 试题解析：（1）∵是直线的倾斜角,，又，故，， 则，‎ ‎∴， ‎ ‎（2）由正弦定理，得，即，∴，又 ，∴， 由上两式解得， ‎ 又由，得，∴． ‎ ‎20.已知是函数（）的一条对称轴，且的最小正周期为.‎ ‎（1）求值和的单调递增区间；‎ ‎（2）设角为的三个内角，对应边分别为，若， ，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1） ，（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由三角函数的辅助角公式，得，求得，又由为对称轴，求得，进而得到则，得出函数的解析式，即可求解函数的单调递增区间；‎ ‎（2）由（1）和，求得，在利用正弦定理，化简得，利用角的范围，即可求解答案．‎ ‎【详解】（1），所以. ‎ 因为对称轴，所以，即，‎ 则，则，所以.‎ 令，‎ 所以的单调递增区间为.‎ ‎（2），所以，则，‎ 由正弦定理得，为外接圆半径，‎ 所以，‎ ‎∵，，．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的综合应用，以及正弦定理的应用，其中解答中根据题设条件求解函数的解析式，熟记三角函数的恒等变换和三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎ ‎21.已知等比数列前项和为，且， .‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若， ，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)由题意求得首项和公比，据此可得数列的通项公式为；‎ ‎(2)错位相减可得数列的前项和.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设数列的公比为，∵，，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，∴或，‎ ‎∵，∴，，∴；‎ ‎（2），，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴.‎ ‎22.已知数列的前项和为，且， .‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和为.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用和项与通项关系，当时，，将条件转化为项之间递推关系：，再构造等比数列：，根据等比数列定义及通项公式求得，即得；注意验证当时是否满足题意，（2）由于可裂成相邻两项之差：，所以利用裂项相消法求数列的前项和.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为，故当时，；‎ 当时，，两式对减可得；经检验，当时也满足；‎ 故，故数列是以3为首项，3为公比的等比数列，故，即 .‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，‎ 故.‎ 点睛：裂项相消法是指将数列通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.‎ ‎ ‎