高考专题平面向量中的三角形四心问题题型总结

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高考专题平面向量中的三角形四心问题题型总结

专题:平面向量中三角形“四心”问题题型总结 在三角形中,“四心”是一组特殊的点,它们的向量表达形式具有许多重要的性质,在近年高考试题中,总会出现一些新颖别致的问题,不仅考查了向量等知识点,而且培养了考生分析问题、解决问题的能力.现就“四心”作如下介绍:‎ ‎1.“四心”的概念与性质 ‎(1)重心:三角形三条中线的交点叫重心.它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为2∶1.在向量表达形式中,设点G是△ABC所在平面内的一点,则当点G是△ABC的重心时,有++=0或=(++)(其中P为平面内任意一点).反之,若++=0,则点G是△ABC的重心.在向量的坐标表示中,若G,A,B,C分别是三角形的重心和三个顶点,且分别为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则有x=,y=.‎ ‎(2)垂心:三角形三条高线的交点叫垂心.它与顶点的连线垂直于对边.在向量表达形式中,若H是△ABC的垂心,则·=·=·或2+2=2+2=2+2.反之,若·=·=·,则H是△ABC的垂心.‎ ‎(3)内心:三角形三条内角平分线的交点叫内心.内心就是三角形内切圆的圆心,它到三角形三边的距离相等.在向量表达形式中,若点I是△ABC的内心,则有||·+||·+||·=0.反之,若||·+||·+||·=0,则点I是△ABC的内心.‎ ‎(4)外心:三角形三条边的中垂线的交点叫外心.外心就是三角形外接圆的圆心,它到三角形的三个顶点的距离相等.在向量表达形式中,若点O是△ABC的外心,则(+)·=(+)·=(+)·=0或||=||=||.反之,若||=||=||,则点O是△ABC的外心.‎ ‎2.关于“四心”的典型例题 ‎[例1] 已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个动点,若动点P满足=+λ(+),λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的________心.‎ ‎[解析] 由原等式,得-=λ(+),即=λ(+),根据平行四边形法则,知+是△ABC的中线所对应向量的2倍,所以点P的轨迹必过△ABC的重心.‎ ‎[答案] 重 ‎[点评] 探求动点轨迹经过某点,只要确定其轨迹与三角形中的哪些特殊线段所在直线重合,这可从已知等式出发,利用向量的线性运算法则进行运算得之.‎ ‎[例2] 已知△ABC内一点O满足关系+2+3=0,试求S△BOC∶S△COA∶S△AOB 之值.‎ ‎[解] 延长OB至B1,使BB1=OB,延长OC至C1,使CC1=2OC,连接AB1,AC1,B1C1,如图所示,‎ 则=2,=3,由条件,得++=0,所以点O是△AB1C1的重心.从而S△B1OC1=S△C1OA=S△AOB1=S,其中S表示△AB1C1的面积,‎ 所以S△COA=S,S△AOB=S,S△BOC=S△B1OC=×S△B1OC1=S.‎ 于是S△BOC∶S△COA∶S△AOB=∶∶=1∶2∶3.‎ ‎[点评] 本题条件+2+3=0与三角形的重心性质++=0十分类似,因此我们通过添加辅助线,构造一个三角形,使点O成为辅助三角形的重心,而三角形的重心与顶点的连线将三角形的面积三等分,从而可求三部分的面积比.‎ ‎[引申推广] 已知△ABC内一点O满足关系λ1+λ2+λ3=0,则S△BOC∶S△COA∶S△AOB=λ1∶λ2∶λ3.‎ ‎[例3] 求证:△ABC的垂心H、重心G、外心O三点共线,且|HG|=2|GO|.‎ ‎[证明] 对于△ABC的重心G,易知=,‎ 对于△ABC的垂心H,设=m(++),则 ‎=+m(++)=(m-1) +m+m.‎ 由·=0,得[(m-1) +m+m](-)=0,‎ ‎(m-1) ·(-)+m(2-2)=0,‎ 因为||=||,‎ 所以(m-1) ·(-)=0.但与不一定垂直,所以只有当m=1时,上式恒成立.所以=++,从而=,得垂心H、重心G、外心O三点共线,且||=2||.‎ ‎[引申推广]‎ 重心G与垂心H的关系:=(++).‎ ‎[点评] 这是著名的欧拉线,提示了三角形的“四心”之间的关系.我们选择恰当的基底向量来表示它们,当然最佳的向量是含顶点A、B、C的向量.‎ ‎[例4] 设A1,A2,A3,A4,A5 是平面内给定的5个不同点,则使++++=0成立的点M的个数为(  )‎ A.0    B.1   ‎ C.5    D.10‎ ‎[解析] 根据三角形中的“四心”知识,可知在△ABC中满足++=0的点只有重心一点,利用类比的数学思想,可知满足本题条件的点也只有1个.‎ ‎[答案] B ‎[点评] 本题以向量为载体,考查了类比与化归,归纳与猜想等数学思想.本题的详细解答过程如下:对于空间两点A,B来说,满足+=0的点M是线段AB的中点;对于空间三点A,B,C来说,满足++=0,可认为是先取AB的中点G,再连接CG,在CG上取点M,使MC=2MG,则M满足条件,且唯一;对于空间四点A,B,C,D来说,满足+++=0,可先取△ABC的重心G,再连接GD,在GD上取点M,使DM=3MG,则M满足条件,且唯一,不妨也称为重心G;与此类似,对于空间五点A,B,C,D,E来说,满足++++=0,可先取空间四边形ABCD的重心G,再连接GE,在GE上取点M,使EM=4MG,则M满足条件,且唯一.‎
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