2020学年高一数学下册期末等比数列及其前n项和知识梳理

2020学年高一数学下册期末等比数列及其前n项和知识梳理

高一数学下学期期末备考等比数列及其前 n 项和 1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那 么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示，定义的表达 式为an＋1 an ＝q. (2)等比中项：如果 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项．即 G 是 a 与 b 的等比中项⇔a，G，b 成等比数列⇒G2＝ab. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1. (2)前 n 项和公式：Sn＝ na1，q＝1， a11－qn 1－q ＝a1－anq 1－q ，q≠1. 考点练习 考点一 等比数列的基本运算 例 1、(2019·甘肃兰州诊断)在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，a2，a4，a8 成等比数 列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝2an，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求 Tn. 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d， 则依题意有 a1＝1， a1＋3d2＝a1＋da1＋7d， 解得 d＝1 或 d＝0(舍去)，∴an＝1＋(n－1)＝n. (2)由(1)知 an＝n，∴bn＝2n，∴bn＋1 bn ＝2， ∴{bn}是首项为 2，公比为 2 的等比数列， ∴Tn＝21－2n 1－2 ＝2n＋1－2. 练习 1．(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计 算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份， 依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等 于12 2.若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为( ) A．3 2f B．3 22f C．12 25f D．12 27f 【答案】D [由题知，这十三个单音的频率构成首项为 f，公比为12 2的等比数列，则第 八个单音的频率为(12 2)7f＝12 27f.] 练习 2．等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 S3＝a2＋10a1，a5＝9，则 a1＝( ) A．1 3 B．－1 3 C．1 9 D．－1 9 【答案】C [由题知 q≠1，则 S3＝a11－q3 1－q ＝a1q＋10a1，得 q2＝9，又 a5＝a1q4＝9，则 a1＝1 9.] 练习 3．(全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足 a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则 a4＝________. 【答案】－8 [设等比数列{an}的公比为 q， ∵a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3， ∴a1(1＋q)＝－1，① a1(1－q2)＝－3.② ②÷①，得 1－q＝3，∴q＝－2.∴a1＝1， ∴a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.] 练习 4．(2019·山东沂水月考)在数列{an}中，a1＝1，点(an，an＋1)在直线 y＝2x 上，则 a4 的值为( ) A．7 B．8 C．9 D．16 【答案】B [∵点(an，an＋1)在直线 y＝2x 上， ∴an＋1＝2an.∵a1＝1≠0，∴an≠0， ∴{an}是首项为 1，公比为 2 的等比数列，∴a4＝1×23＝8.] 解决等比数列有关问题的两种常用思想 (1)方程的思想：等比数列中有五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列 方程(组)求关键量 a1 和 q，问题可迎刃而解． (2)分类讨论的思想：等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论，当 q＝1 时，{an} 的前 n 项和 Sn＝na1；当 q≠1 时，{an}的前 n 项和 Sn＝a11－qn 1－q ＝a1－anq 1－q . 考点二 等比数列的判定与证明 例 2、(2019·山东潍坊质检)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)设 bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 【答案】(1)证明 由 a1＝1 及 Sn＋1＝4an＋2， 得 a1＋a2＝S2＝4a1＋2. ∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3. 又 Sn＋1＝4an＋2， ① Sn＝4an－1＋2n≥2， ② 由①－②，得 an＋1＝4an－4an－1(n≥2)， ∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)． ∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)， 故{bn}是首项 b1＝3，公比为 2 的等比数列． (2)解 由(1)知 bn＝an＋1－2an＝3·2n－1， ∴an＋1 2n＋1 －an 2n＝3 4 ， 故 an 2n 是首项为1 2 ，公差为3 4 的等差数列． ∴an 2n＝1 2 ＋(n－1)·3 4 ＝3n－1 4 ， 故 an＝(3n－1)·2n－2. [变式探究] 若将本例中“Sn＋1＝4an＋2”改为“Sn＋1＝2Sn＋(n＋1)”，其他不变，求数列 {an}的通项公式． 解 由已知得 n≥2 时，Sn＝2Sn－1＋n. ∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＋1， ∴an＋1＝2an＋1， ∴an＋1＋1＝2(an＋1)，n≥2，(*) 又 a1＝1，S2＝a1＋a2＝2a1＋2，即 a2＋1＝2(a1＋1)， ∴当 n＝1 时(*)式也成立， 故{an＋1}是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列， ∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1. 等比数列的三种常用判定方法 (1)定义法：若an＋1 an ＝q(q 为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列． (2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0，且 a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成 an＝c·qn(c，q 均是不为 0 的常数，n∈N*)，则{an} 是等比数列． 练习 3、(全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； (2)若 S5＝31 32 ，求λ. 【答案】(1)证明 由题意得 a1＝S1＝1＋λa1， 故λ≠1，a1＝ 1 1－λ ，故 a1≠0. 由 Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1 得 an＋1＝λan＋1－λan， 即 an＋1(λ－1)＝λan. 由 a1≠0，λ≠0 得 an≠0，所以an＋1 an ＝ λ λ－1. 因此{an)是首项为 1 1－λ ，公比为 λ λ－1 的等比数列， 于是 an＝ 1 1－λ λ λ－1 n－1. (2)解 由(1)得 Sn＝1－ λ λ－1 n. 由 S5＝31 32 得 1－ λ λ－1 5＝31 32 ，即 λ λ－1 5＝ 1 32. 解得λ＝－1. 知识点总结 3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)． (2)若 m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)， 则 am·an＝ap·aq＝a2k. (3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}， 1 an ，{a2n}，{an·bn}， an bn (λ≠0)仍然 是等比数列． (4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an，an＋k，an＋2k，an＋3k，… 为等比数列，公比为 qk. 4．等比数列{an}的单调性 (1)满足 a1>0， q>1 或 a1<0， 00， 01 时，{an}是递减数列． (3)当 a1≠0， q＝1 时，{an}为常数列． (4)当 q<0 时，{an}为摆动数列． 5．与等比数列前 n 项和 Sn 相关的几个结论 (1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为 q. ①若共有 2n 项，则 S 偶∶S 奇＝q； ②若共有 2n＋1 项，则 S 奇－S 偶＝a1＋a2n＋1q 1＋q (q≠1 且 q≠－1)，S 奇－a1 S 偶 ＝q. (2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm⇔qn＝Sn＋m－Sn Sm (q 为公比)． 考点练习 考点三 等比数列的性质及应用 例 3、(2019·山东日照检测)已知等比数列{an}中，an＞0，a1，a99 为方程 x2－10x＋16＝0 的两根，则 a20·a50·a80＝( ) A．32 B．64 C．256 D．±6 【答案】B [因为 a1，a99 为方程 x2－10x＋16＝0 的两根，则 a1·a99＝16，又数列{an}是等 比数列，则 a20·a80＝a250＝a1·a99＝16，又 an＞0，所以 a20·a50·a80＝64.] 练习、(2019·河南郑州调研)已知数列{an}是等比数列，Sn 为其前 n 项和，若 a1＋a2＋a3＝4， a4＋a5＋a6＝8，则 S12 等于( ) A．40 B．60 C．32 D．50 【答案】B [由等比数列的性质可知，数列 S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9 是等比数列， 即数列 4,8，S9－S6，S12－S9 是等比数列，因此 S12＝4＋8＋16＋32＝60.] 等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类： (1)通项公式的变形． (2)等比中项的变形． (3)前 n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决 问题的突破口．