中考专题垂直平分线与角平分线

中考专题垂直平分线与角平分线

线段的垂直平分线 知识要点详解 ‎1、线段垂直平分线的性质 ‎（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点这条线段两个端点的距离相等. 定理的数学表示：如图1，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若点C在直线m上，则AC＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 ‎（2）线段关于它的垂直平分线对称.‎ ‎2、线段垂直平分线性质定理的逆定理 ‎（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若AC＝BC，则点C在直线m上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.‎ ‎3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线分别是△ABC三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线相交于一点O，且OA＝OB＝OC.‎ 定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.‎ 经典例题：‎ 例1　如图1，在△ABC中，BC＝‎8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于‎18cm，则AC的长等于（　　）‎ ‎　　A．‎6cm　 　　 B．‎8cm C．‎10cm　　 D．‎‎12cm B 针对性练习：‎ 已知：1)如图，AB=AC=‎14cm,AB的垂直 平分线交AB于点D，交BC于点 A E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC= D 2) 如图，AB=AC=‎14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点 E，如果BC=‎8cm，E B C 那么△EBC的周长是 ‎ 如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28度，‎ 那么∠EBC是 ‎ ‎ ‎ 例2. 已知：如图所示，AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，求证：BE=CE。‎ B 针对性练习：‎ 已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分线,OA=OC ‎ 求证：点O在BC的垂直平分线 N A ‎ ‎ ‎ ‎ O C B 例3. 在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC的底角∠B的大小为_______________。‎ B 针对性练习：‎ ‎1. 在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角B的大小为________________。‎ 例4、如图8，已知AD是△ABC的BC边上的高，且∠C＝2∠B，‎ 求证：BD＝AC＋CD.‎ 证明：‎ 课堂练习：‎ ‎1.如图，AC=AD，BC=BD，则（ ）‎ A.CD垂直平分AD B.AB垂直平分CD ‎ C.CD平分∠ACB D.以上结论均不对 ‎2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，‎ 那么，这个三角形是（ ）‎ A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 ‎3.下列命题中正确的命题有（ ）‎ ‎①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎4.如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，‎ 如果AC=‎5 cm，BC=‎4cm，那么△DBC的周长是（ ）‎ A‎.6 cm B‎.7 cm C‎.8 cm D‎.9 cm ‎5.已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，‎ 求证：AO⊥BC.‎ ‎6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线 MN分别交BC、AB于点M、N. 求证：CM=2BM. ‎ 课后作业：‎ ‎1. 如图7，在△ABC中，AC＝27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△ACE的周长为50，求BC边的长.‎ ‎2. 已知：如图所示，∠ACB，∠ADB都是直角，且AC=AD，P是AB上任意一点，求证：CP=DP。‎ 角平分线 知识要点详解 ‎4、角平分线的性质定理：‎ 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. ‎ 定理的数学表示：如图4，已知OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，若CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，则CF＝DF. ‎ 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；‎ 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.‎ ‎5、角平分线性质定理的逆定理：‎ 角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. ‎ 定理的数学表示：如图5，已知点P在∠AOB的内部，且PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，若PC＝PD，则点P在∠AOB的平分线上. ‎ 定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 ‎ 注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.‎ ‎6、关于三角形三条角平分线的定理：‎ ‎（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：‎ 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.‎ 定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线，那么：① AP、BQ、CR相交于一点I；② 若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI. ‎ 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.‎ ‎（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：‎ 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.‎ ‎7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线 （2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.‎ 经典例题：已知：如图，点B、C在∠A的两边上，且AB=AC，P为∠A内一点，PB=PC， PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F。求证：PE=PF B 针对性练习：‎ 已知：如图所示PA、PC分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA平分线，它们交于P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F，求证：BP为∠MBN的平分线。‎ 例2、如图10，已知在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，E为BC中点，连接AE、DE，DE平分∠ADC，求证：AE平分∠BAD.‎ 课堂笔记：‎ B 针对性练习：‎ 如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF。‎ 例3、如图11-1，已知在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，且∠BAD与∠BCD互补，‎ 求证：AD＝CD.‎ ‎1. △ABC中，AB=AC，AC的中垂线交AB于E，△EBC的周长为‎20cm，AB=2BC，则腰长为________________。‎ ‎2. 如图所示，AB//CD，O为∠A、∠C的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于______________。‎ ‎３已知：如图，∠B=∠C=900，DM平分∠ADC， ‎ AM平分∠DAB 。求证： M B=MC 课后作业：‎ ‎1.如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.‎ 求证：AD平分∠BAC.‎ ‎2. 如图所示，直线表示三条互相交叉的公路，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）‎ ‎ A. 一处 B. 二处 C. 三处 D. 四处