三视图高考类型题老师专用汇总

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三视图高考类型题老师专用汇总

1 三视图类型题 题型一 三视图识图 例 1 将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥,得到如图(2)所示的几何体,则该几何体的侧(左) 视图为(  ) 破题切入点 根据三视图先确定原几何体的直观图和形状,然后再解题. 答案 B 解析 还原正方体后,将 D1,D,A 三点分别向正方体右侧面作垂线.D1A 的射影为 C1B,且 为实线,B1C 被遮挡应为虚线. 题型二 空间几何体的表面积和体积 例 2 如图是某简单组合体的三视图,则该组合体的体积为(  ) A.36 3(π+ 2) B.36 3(π+2) C.108 3π D.108( 3π+2) 破题切入点 先根据三视图的结构特征确定几何体的构成——半圆锥与棱锥的组合体,然后 把三视图中的数据转化为该组合体的数字特征,分别求出对应几何体的体积,则两者体积之 和即该组合体的体积. 答案 B 解析 由俯视图,可知该几何体的底面由三角形和半圆两部分构成,结合正视图和侧视图可 知该几何体是由半个圆锥与一个三棱锥组合而成的,并且圆锥的轴截面与三棱锥的一个侧面 重合,两个锥体的高相等. 由三视图中的数据,可得该圆锥的底面半径 r=6,三棱锥的底面是一个底边长为 12,高为 6 2 的等腰三角形,两个锥体的高 h= 122-62=6 3, 故半圆锥的体积 V1=1 2×1 3π×62×6 3=36 3π. 三棱锥的底面积 S=1 2×12×6=36, 三棱锥的体积 V2=1 3Sh=1 3×36×6 3=72 3. 故该几何体的体积 V=V1+V2=36 3π+72 3 =36 3(π+2).故选 B. 题型三 立体几何中的计算综合问题 例 3 (2014·陕西)四面体 ABCD 及其三视图如图所示,平行于棱 AD,BC 的平面分别交四面体 的棱 AB,BD,DC,CA 于点 E,F,G,H. (1)求四面体 ABCD 的体积; (2)证明:四面体 EFGH 是矩形. 破题切入点 由三视图和几何体得知原几何体中各元素的量和性质来求解. (1)解 由该四面体的三视图可知,BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD =DC=2,AD=1, ∴AD⊥平面 BDC, ∴四面体 ABCD 体积 V=1 3×1 2×2×2×1=2 3. (2)证明 ∵BC∥平面 EFGH,平面 EFGH∩平面 BDC=FG,平面 EFGH∩平面 ABC=EH, ∴BC∥FG,BC∥EH,∴FG∥EH. 同理 EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG, ∴四边形 EFGH 是平行四边形, 又∵AD⊥平面 BDC,∴AD⊥BC,∴EF⊥FG. ∴四边形 EFGH 是矩形. 总结提高 (1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方 观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高. (2)三视图排列规则:俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样;侧视图放在正视图的右 面,高度和正视图一样,宽度与俯视图一样. (3)立体几何中有关表面积、体积的计算首先要熟悉几何体的特征,其次运用好公式,作好辅 3 助线等. 1.(2013·四川)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是(  ) 答案 D 解析 由三视图可知上部是一个圆台,下部是一个圆柱,选 D. 2.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图, 该零件由一个底面半径为 3 cm,高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原 来毛坯体积的比值为(  ) A.17 27 B.5 9 C.10 27 D.1 3 答案 C 解析 由三视图可知几何体是如图所示的两个圆柱的组合体.其中左面圆柱 的高为 4 cm,底面半径为 2 cm,右面圆柱的高为 2 cm,底面半径为 3 cm,则 组合体的体积 V1=π×22×4+π×32×2=16π+18π=34π(cm 3),原毛坯体积 V2=π×32×6=54π(cm3),则所求比值为54π-34π 54π =10 27. 3.(2014·浙江)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是(  ) 4 A.90 cm2 B.129 cm2 C.132 cm2 D.138 cm2 答案 D 解析 该几何体如图所示,长方体的长、宽、高分别为 6 cm,4 cm,3 cm, 直三棱柱的底面是直角三角形,边长分别为 3 cm,4 cm,5 cm,所以表面积 S=[2×(4×6+4×3)+3×6+3×3]+ (5 × 3+4 × 3+2 × 1 2 × 4 × 3) =99+39=138(cm2). 4.(2014·重庆)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(  ) A.54 B.60 C.66 D.72 答案 B 解析 由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形,由正视图和侧视图可以判断该几何 体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的.在长方体中分析还原,如图(1)所示,故 该几何体的直观图如图(2)所示.在图(1)中,直角梯形 ABPA1 的面积为1 2×(2+5)×4=14,计 算可得 A1P=5.直角梯形 BCC1P 的面积为1 2×(2+5)×5=35 2 .因为 A1C1⊥平面 A1ABP,A1P⊂平 面 A1ABP,所以 A1C1⊥A1P,故 Rt△A1PC1 的面积为1 2×5×3=15 2 . 又 Rt△ABC 的面积为1 2×4×3=6,矩形 ACC1A1 的面积为 5×3=15,故几何体 ABC-A1PC1 的表面积为 14+35 2 +15 2 +6+15=60. 5.两球 O1 和 O2 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的内部,且互相外切,若球 O1 与过点 A 的正方体的三个面相切,球 O2 与过点 C1 的正方体的三个面相切,则球 O1 和球 O2 的表面积 5 之和的最小值为(  ) A.(6-3 3)π B.(8-4 3)π C.(6+3 3)π D.(8+4 3)π 答案 A 解析 设球 O1,O2 的半径分别为 r1,r2, 由题意知 O1A+O1O2+O2C1= 3, 而 O1A= 3r1,O1O2=r1+r2,O2C1= 3r2, ∵ 3r1+r1+r2+ 3r2= 3.∴r1+r2=3- 3 2 , 从而 S1+S2=4πr21+4πr22=4π(r21+r22) ≥4π· (r1+r2)2 2 =(6-3 3)π. 6.已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= 3,∠ASC=∠BSC=30°,则棱 锥 S—ABC 的体积为(  ) A.3 3 B.2 3 C. 3 D.1 答案 C 解析 如图,过 A 作 AD 垂直 SC 于 D,连接 BD. 由于 SC 是球的直径,所以∠SAC=∠SBC=90°,又∠ASC=∠BSC =30°,又 SC 为公共边, 所以△SAC≌△SBC. 由于 AD⊥SC,所以 BD⊥SC. 由此得 SC⊥平面 ABD. 所以 VS—ABC=VS—ABD+VC—ABD=1 3S△ABD·SC. 由于在 Rt△SAC 中,∠ASC=30°,SC=4, 所以 AC=2,SA=2 3,由于 AD=SA·CA SC = 3. 同理在 Rt△BSC 中也有 BD=SB·CB SC = 3. 又 AB= 3,所以△ABD 为正三角形, 所以 VS—ABC=1 3S△ABD·SC=1 3×1 2×( 3)2·sin 60°×4= 3,所以选 C. 7.(2014·辽宁)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为(  ) 6 A.8-2π B.8-π C.8-π 2 D.8-π 4 答案 B 解析 这是一个正方体切掉两个1 4圆柱后得到的几何体, 如图,几何体的高为 2, V=23-1 4×π×12×2×2=8-π. 8.已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图均由直角三角形与半圆构成,俯视 图由圆与内接三角形构成,根据图中的数据可得几何体的体积为(  ) A. 2π 3 +1 2 B.4π 3 +1 6 C. 2π 6 +1 6 D.2π 3 +1 2 答案 C 解析 由三视图确定该几何体是一个半球体与三棱锥构成的组合体,如图, 其中 AP,AB,AC 两两垂直,且 AP=AB=AC=1,故 AP⊥平面 ABC,S△ABC =1 2AB×AC=1 2,所以三棱锥 P-ABC 的体积 V1=1 3×S△ABC×AP=1 3×1 2×1 =1 6,又 Rt△ABC 是半球底面的内接三角形,所以球的直径 2R=BC= 2, 解得 R= 2 2 ,所以半球的体积 V2=1 2×4π 3 ×( 2 2 )3= 2π 6 ,故所求几何体的体积 V=V1+V2=1 6 7 + 2π 6 . 9.(2014·北京)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的棱长为________. 答案 2 2 解析 根据三视图还原几何体,得如图所示的三棱锥 P-ABC. 由三视图的形状特征及数据,可推知 PA⊥平面 ABC,且 PA=2. 底面为等腰三角形,AB=BC, 设 D 为 AC 的中点,AC=2, 则 AD=DC=1,且 BD=1, 易得 AB=BC= 2,所以最长的棱为 PC, PC= PA2+AC2=2 2. 10.已知正三棱锥 P-ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3的球面上,若 PA,PB,PC 两两 相互垂直,则球心到截面 ABC 的距离为________. 答案  3 3 解析 如图,作 PM⊥平面 ABC,设 PA=a,则 AB= 2a,CM= 6 3 a, PM= 3 3 a. 设球的半径为 R, 所以 ( 3 3 a-R)2+( 6 3 a )2=R2, 将 R= 3代入上式, 解得 a=2,所以 d= 3-2 3 3= 3 3 . 11.已知一个圆锥的底面半径为 R,高为 H,在其内部有一个高为 x 的内接圆柱. (1)求圆柱的侧面积; (2)x 为何值时,圆柱的侧面积最大? 解 (1)作圆锥的轴截面,如图所示. 8 因为r R=H-x H ,所以 r=R-R Hx, 所以 S 圆柱侧=2πrx =2πRx-2πR H x2(0
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