【数学】2019届一轮复习人教A版等差数列、等比数列的基本问题学案

【数学】2019届一轮复习人教A版等差数列、等比数列的基本问题学案

等差数列、等比数列的基本问题 ‎【考点梳理】‎ ‎1.等差数列 ‎(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；‎ ‎(2)求和公式：Sn＝＝na1＋d；‎ ‎(3)性质：‎ ‎①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；‎ ‎②an＝am＋(n－m)d；‎ ‎③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，成等差数列.‎ ‎2.等比数列 ‎(1)通项公式：an＝a1qn－1(q≠0)；‎ ‎(2)求和公式：q＝1，Sn＝na1；q≠1，Sn＝＝；‎ ‎(3)性质：‎ ‎①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；‎ ‎②an＝am·qn－m；‎ ‎③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(Sm≠0)成等比数列.‎ ‎【题型突破】‎ 题型一、等差、等比数列的基本运算 ‎【例1】(1)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和.若S8＝4S4，则a10＝(　　)‎ A. B. C.10 D.12‎ ‎(2)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________.‎ ‎【答案】(1)B　(2)64‎ ‎【解析】(1)设等差数列的首项为a1，‎ 则S8＝8a1＋＝8a1＋28，‎ S4＝4a1＋＝4a1＋6，‎ 因为S8＝4S4，‎ 即8a1＋28＝16a1＋24，‎ 所以a1＝，则a10＝a1＋(10－1)d＝＋9＝.‎ ‎(2)由于{an}是等比数列，设an＝a1qn－1，其中a1是首项，q是公比.‎ 所以即解得 故an＝，‎ 所以a1·a2·…·an＝ ‎＝＝.‎ 当n＝3或4时，取得最小值－6，‎ 此时取得最大值26.‎ 所以a1·a2·…·an的最大值为64.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.第(2)题求解的思路是：先利用等比数列的通项公式构建首项a1与公比q的方程组，求出a1，q，得到{an}的通项公式，再将a1a2·…·an表示为n的函数，进而求最大值.‎ ‎2.等差(比)数列基本运算的解题途径：‎ ‎(1)设基本量a1和公差d(公比q).‎ ‎(2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量.‎ ‎【对点训练】‎ ‎(1)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________.‎ ‎(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝1＋2an(n≥2)，且a1＝2，则S20＝(　　)‎ A.219－1 B.221－2‎ C.219＋1 D.221＋2‎ ‎【答案】(1)1　(2)B ‎【解析】(1){an}为等差数列，a1＝－1，a4＝8＝a1＋3d＝－1＋3d，∴d＝3，∴a2＝a1＋d＝－1＋3＝2.‎ ‎{bn}为等比数列，b1＝－1，b4＝8＝b1·q3＝－q3，‎ ‎∴q＝－2，∴b2＝b1·q＝2.‎ 则＝＝1.‎ ‎(2)∵Sn＝1＋2an(n≥2)，且a1＝2，‎ ‎∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝1＋2an－(1＋2an－1)，化为an＝2an－1，‎ ‎∴数列{an}是等比数列，公比与首项都为2.‎ ‎∴S20＝＝221－2.‎ 题型二、等差(比)数列的性质 ‎【例2】(1)已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若log2a2＋log2a8＝2，则T9的值为(　　)‎ A.±512 B.512 C.±1 024 D.1 024‎ ‎(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－2，若数列{bn}满足bn＝10－log2an，则使数列{bn}的前n项和取最大值时的n的值为________.‎ ‎【答案】(1)A　(2)9或10‎ ‎【解析】(1)由log2a2＋log2a8＝2，得log2(a2a8)＝2，所以a2a8＝4，则a5＝±2，‎ 等比数列{an}的前9项积为T9＝a1a2…a8a9＝(a5)9＝±512.‎ ‎(2)∵Sn＝2an－2，∴n＝1时，a1＝2a1－2，解得a1＝2.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2－(2an－1－2)，‎ ‎∴an＝2an－1.‎ ‎∴数列{an}是公比与首项都为2的等比数列，∴an＝2n.‎ ‎∴bn＝10－log2an＝10－n.‎ 由bn＝10－n≥0，解得n≤10.‎ ‎∴使数列{bn}的前n项和取最大值时的n的值为9或10.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.利用等差(比)性质求解的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解.‎ ‎2.活用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题.‎ ‎【对点训练】‎ ‎(1)设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，则(　　)‎ A.d>0 B.d<0‎ C.a1d>0 D.a1d<0‎ ‎(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝5，Sm＝－11，Sm＋1＝21，则m等于(　　)‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎【答案】(1)D　(2)C ‎【解析】(1)因为数列{2a1an}为递减数列，‎ 所以2a1an<2a1an－1，则a1an

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