2020_2021学年新教材高中数学第3章不等式3

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2020_2021学年新教材高中数学第3章不等式3

‎3.1 不等式的基本性质 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.结合已有的知识,理解不等式的6个基本性质.(重点)‎ ‎2.会用不等式的性质证明(解)不等式.(重点)‎ ‎3.会用不等式的性质比较数(或式)的大小和求取值范围.(难点)‎ 通过不等式性质的应用,培养逻辑推理素养.‎ 和你的同桌做个游戏:假设有四只盛满水的圆柱形水桶A,B,C,D,桶A,B的底面半径均为a,高分别为a和b,桶C,D的底面半径为b,高分别为a和b(其中a≠b).你们各自从中取两只水桶,得水多者为胜.如果让你先取,你有必胜的把握吗?‎ ‎1.不等式 ‎(1)不等式的定义 用数学符号“>”“<”“≥”“≤”“≠”连接两个数或代数式,这些含有这些不等号的式子叫做不等式.‎ ‎(2)关于a≥b和a≤b的含义 ‎①不等式a≥b应读作:“a大于或等于b”,其含义是a>b或a=b,等价于“a不小于b”,即若a>b或a=b中有一个正确,则a≥b正确.‎ ‎②不等式a≤b应读作:“a小于或等于b”,其含义是a‎ ‎<‎ ‎≥‎ ‎≤‎ ‎≤‎ ‎≥‎ ‎≥‎ ‎≤‎ ‎2.两个实数的大小比较 ‎(1)如果a-b是正数,那么a>b;即a-b>0⇔a>b;‎ ‎(2)如果a-b等于0,那么a=b;即a-b=0⇔a=b;‎ ‎(3)如果a-b是负数,那么ab,则bb⇔bb,b>c,则a>c;(传递性)‎ - 11 -‎ 性质3:若a>b,则a+c>b+c;(加法保号性)‎ 性质4:若a>b,c>0,则ac>bc;(乘正保号性)‎ 若a>b,c<0,则acb,c>d,则a+c>b+d;(同向可加性)‎ 性质6:若a>b>0,c>d>0,则ac>bd;(全正可乘性)‎ 性质7:如果a>b>0,那么an>bn(n∈N*).(拓展)‎ 提醒:不等式的基本性质是不等式变形的依据,也是解不等式的根据,同时还是证明不等式的理论基础.‎ ‎(1)在应用不等式时,一定要搞清它们成立的前提条件,不可强化或弱化成立的条件.‎ ‎(2)要注意每条性质是否具有可逆性.‎ ‎1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)若ac>bc,则a>b. (  )‎ ‎(2)若a+c >b+d,则a>b,c>d. (  )‎ ‎(3)若a>b,则<. (  )‎ ‎[答案] (1)× (2)× (3)×‎ ‎2.已知a1,a2∈,记M=a‎1a2, N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是(  )‎ A.MN C.M=N D.不确定 B [由题意得M-N=a‎1a2-a1-a2+1=>0,故M>N.故选B.]‎ ‎3.若x>y,且x+y=2,则下列不等式一定成立的是(  )‎ A.x2<y2 B.< C.x2>1 D.y2<1‎ C [因为x>y,且x+y=2,所以2x>x+y=2,即x>1,则x2>1,故选C.]‎ 利用不等式的性质判断和解不等式 ‎【例1】 (1)对于实数a,b,c,给出下列命题:‎ ‎①若a>b,则ac2>bc2;‎ ‎②若aab>b2;‎ ‎③若a>b,则a2>b2;‎ - 11 -‎ ‎④若a.‎ 其中正确命题的序号是 .‎ ‎(2)求解关于x的不等式ax+1>0(a∈R),并用不等式的性质说明理由.‎ ‎(1)②④ [对于①∵c2≥0,∴只有c≠0时才成立,①不正确;‎ 对于②,aab;ab2,∴②正确;‎ 对于③,若0>a>b,则a2-2,但(-1)2<(-2)2,∴③不正确;‎ 对于④,∵a-b>0,∴(-a)2>(-b)2,即a2>b2.‎ 又∵ab>0,∴>0,∴a2·>b2·,∴>,④正确.‎ 所以正确答案的序号是②④.]‎ ‎(2)[解] 不等式ax+1>0(a∈R)两边同时加上-1得 ax>-1 (不等式性质3),‎ 当a=0时,不等式为0>-1恒成立,所以x∈R,‎ 当a>0时,不等式两边同时除以a得 x>- (不等式性质4),‎ 当a<0时,不等式两边同时除以a得 x<- (不等式性质4).‎ 综上:当a=0时,不等式的解集为R,当a>0时,不等式的解集为,当a<0时,不等式的解集为.‎ ‎1.利用不等式判断正误的两种方法 ‎①直接法:对于说法正确的,要利用不等式的相关性质证明;对于说法错误的只需举出一个反例即可.‎ ‎②特殊值法:注意取值一定要遵循三个原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算;三是所取的值要有代表性.‎ ‎2.利用不等式的性质解不等式,要求步步有据,特别是解含有参数的不等式更加要把握好分类讨论的标准.因为参数的范围不同,不等式的解集不同,所以对于参数的不同范围得到的解集都是独立的,不能求并集.‎ ‎1.已知a<b<c且a+b+c=0,则下列不等式恒成立的是(  )‎ - 11 -‎ A.a2<b2<c2 B.ab2<cb2‎ C.ac<bc D.ab<ac C [∵a+b+c=0且a<b<c,∴a<0,c>0,∴ac<bc,故选C.]‎ ‎2.若关于x的不等式ax+b>0的解集为(-∞,2),则不等式bx-a>0的解集为 .‎  [因为关于x的不等式ax+b>0的解集为(-∞,2),所以a<0,且x=2是方程ax+b=0的实数根,所以‎2a+b=0,即b=-‎2a,由bx-a>0得-2ax-a>0,因为a<0,所以x>-,即不等式bx-a>0的解集为.]‎ 利用不等式的性质比较代数式的大小 ‎[探究问题]‎ ‎1.如果a,b之间的大小关系分别为a>b,a=b,ab,则a-b>0,反之也成立;‎ 若a=b,则a-b=0,反之也成立;‎ 若ab,则>1吗?反之呢?‎ ‎[提示] 若a>b,当b<0时,<1,‎ 即a>b>1;‎ 若>1,则-1>0,即>0,‎ ‎∴a-b>0,b>0或a-b<0,b<0,‎ 即>‎1a>b,反之也不成立.‎ ‎【例2】 已知x<1,比较x3-1与2x2-2x的大小.‎ ‎[思路点拨] ―→―→ ‎[解] x3-1-(2x2-2x)‎ ‎=x3-2x2+2x-1‎ ‎=(x3-x2)-(x2-2x+1)‎ ‎=x2(x-1)-(x-1)2‎ ‎=(x-1)(x2-x+1)‎ - 11 -‎ ‎=(x-1),‎ ‎∵x<1,∴x-1<0,‎ 又∵+>0,‎ ‎∴(x-1)<0,‎ ‎∴x3-1<2x2-2x.‎ ‎1.(变条件)本例条件“x<‎1”‎变为“x≥‎1”‎,比较x3-1与2x2-2x的大小.‎ ‎[解] x3-1-(2x2-2x)=(x-1)(x2-x+1)=(x-1),‎ ‎∵x≥1,∴x-1≥0,又+>0,‎ ‎∴(x-1)≥0,‎ ‎∴x3-1≥2x2-2x.‎ ‎2.(变题)已知:a >0, b >0, 比较+与的大小.‎ ‎[解] (作差法)-==,‎ 因为a >0, b >0,所以>0,‎ 所以+>.‎ ‎(作商法)因为a >0, b >0,所以+与同为正数,‎ 所以=,‎ 所以-1=>0,‎ 即>1,‎ 因为>0,所以+>.‎ ‎(综合法)因为a >0, b >0,所以a+b>0,‎ - 11 -‎ 所以(a+b)=+=2++>1,‎ 所以+>.‎ ‎1.作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 ‎(1)作差法比较的步骤:作差→变形→定号→结论.‎ ‎(2)变形的方法:①因式分解;②配方;③通分;④分母或分子有理化(针对无理式中的二次根式);⑤分类讨论.‎ ‎2.作商法比较大小的三个步骤 ‎(1)作商变形;‎ ‎(2)与1比较大小;‎ ‎(3)得出结论.‎ 提醒:作商法比较大小仅适用同号的两个数.‎ ‎3.综合法需要结合具体的式子的特征实施,本题思路为:A>B>0⇔A·>1.‎ ‎3.已知实数a,b,c满足b+c=6-‎4a+‎3a2,c-b=4-‎4a+a2,则a,b,c的大小关系是(  )‎ A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b A [∵c-b=4-‎4a+a2=(a-2)2≥0,∴c≥b.‎ 又b+c=6-‎4a+‎3a2,∴2b=2+‎2a2,∴b=a2+1,‎ ‎∴b-a=a2-a+1=+>0,∴b>a,∴c≥b>a.故选A.]‎ ‎4.已知a,b∈R,试比较a2-ab与3ab-4b2的大小.‎ ‎[解] 因为a,b∈R,所以(a2-ab)-(3ab-4b2)=a2-4ab+4b2=(a-2b)2,‎ 当a=2b时,a2-ab= 3ab-4b2,‎ 当a≠2b时,a2-ab> 3ab-4b2.‎ 证明不等式 ‎【例3】 (1)已知a>b,e>f,c>0,求证:f-ac b >0, m>0,求证:<.‎ - 11 -‎ ‎[证明] (1)∵a>b,c>0,∴ac>bc.‎ ‎∴-ac<-bc,∵f b >0, m>0,所以b-a<0,a+m>0,‎ 所以-==<0,‎ 所以<;‎ ‎(不等式的性质)因为a> b >0, m>0,‎ 所以am> bm, a+m>0,ab>0,‎ ‎ 所以am+ab>ab+bm,即a(b+m)>b(a+m),‎ 所以<.‎ ‎1.利用不等式的性质证明不等式(综合法)的注意事项 ‎(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.‎ ‎(2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.‎ ‎2.作差法也可以应用于证明不等式.‎ ‎3.第二题的结论源于生活背景的提炼:在含糖b克的a克糖水中放入m克的糖,结果糖水变甜了.本质上是浓度变大了.‎ ‎5.若bc-ad≥0,bd>0.求证:≤.‎ ‎[证明] ∵bc-ad≥0,∴ad≤bc,bd>0,‎ ‎∴≤,∴+1≤+1,∴≤.‎ ‎6.已知a>b>m>0,求证:<.‎ ‎[证明] (作差法)因为a>b>m>0,‎ 所以b-a<0,b-m>0,‎ 所以-==<0,‎ 所以<;‎ ‎(不等式的性质)因为a>b>m>0,所以am>bm,b-m>0,‎ - 11 -‎ 所以-bm>-am,‎ 所以ab-bm>ab-am,即b(a-m)>a(b-m),‎ 所以<.‎ 不算式性质的应用 ‎【例4】 已知10,∴>,即乙的购买方式更优惠.]‎ ‎5.若a>b>0,c.‎ ‎[证明] ∵c-d>0,‎ 又a>b>0,∴a-c>b-d>0,‎ 则(a-c)2>(b-d)2>0,即<.‎ 又e<0,∴>.‎ - 11 -‎
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