2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册教案：第10章 10

2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册教案：第10章 10

www.ks5u.com ‎10.2　复数的运算 ‎10.2.1　‎复数的加法与减法 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.掌握复数的加、减法运算法则，能熟练地进行复数的加、减运算．(重点)‎ ‎2．理解复数加、减法运算的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．(难点、易混点)‎ 通过复数的加法与减法的学习，提升直观想象、数学运算素养.‎ ‎　‎ 我们知道，任意两个实数都可以相加、减，实数的加法运算还满足交换律与结合律．‎ 思考：复数中的加法应如何规定，也能满足类似于实数加法的交换律与结合律？‎ ‎1．复数代数形式的加、减法 ‎(1)运算法则 ‎①设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，‎ 则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.‎ ‎②两个共轭复数的和一定是实数．‎ ‎(2)加法运算律 设z1，z2，z3∈C，有①z1＋z2＝z2＋z1，‎ ‎②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．‎ 思考：如何正确理解复数代数形式的加法运算律的合理性？‎ ‎[提示]　可以从以下三个方面理解其合理性：‎ ‎(1)当b＝0，d＝0时，与实数加法法则一致；‎ ‎(2)验证实数加法运算的交换律、结合律，在复数集C中仍然成立；‎ ‎(3)符合向量加法的平行四边形法则．‎ ‎2．复数加、减法的几何意义 ‎(1)若复数z1，z2对应的向量分别为，.‎ 复数加法 的几何意义 复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数 复数减法的几何意义 复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数 ‎(2)||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|；‎ ‎||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|.‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)复数与向量一一对应． (　　)‎ ‎(2)复数与复数相加减后结果只能是实数． (　　)‎ ‎(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小． (　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×‎ ‎2．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是(　　)‎ A．2＋4i B．－2＋4i C．－4＋2i D．4－2i D　[依题意有＝＝－，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，即对应的复数为4－2i.故选D．]‎ ‎3．已知向量O1对应的复数为2－3i，向量O2对应的复数为3－4i，则向量对应的复数为__________．‎ ‎1－i　[＝O2－O1＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.]‎ ‎4．已知z1＝3＋4i，z2＝4－3i，则(z1＋z2)－(1＋2)＝__________.‎ ‎2i　[z1＋z2＝3＋4i＋4－3i＝7＋i，‎ 1＋2＝3－4i＋4＋3i＝7－i，‎ ‎∴(z1＋z2)－(1＋2)＝7＋i－(7－i)＝2i.]‎ 复数的加减法运算 ‎【例1】　(1)＋(2－i)－＝________.‎ ‎(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.‎ ‎(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，求z.‎ ‎(1)1＋i　[＋(2－i)－＝＋i＝1＋i.]‎ ‎(2)[解]　法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i.‎ 法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.‎ ‎(3)[解]　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，‎ 又|z|＋z＝1＋3i，所以＋x＋yi＝1＋3i，由复数相等得解得所以z＝－4＋3i.‎ 复数加、减法运算方法 ‎(1)复数加减运算法则的记忆 ‎①复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．‎ ‎②把i看作一个字母，类比多项式加减运算中的合并同类项．‎ ‎(2)当一个等式中同时含有|z|与z时，一般要用待定系数法，设z＝a＋bi(a，b∈R)．‎ ‎1．计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝________；‎ ‎(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝________；‎ ‎(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________.‎ ‎(1)6＋i　(2)－7＋7i　(3)－11i　[(1)(3＋5i)＋(3－4i)‎ ‎＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.‎ ‎(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋(2＋5)i ‎＝－7＋7i.‎ ‎(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)‎ ‎＝(5－2－3)＋(－6－2－3)i＝－11i.]‎ 复数加减法的几何意义 ‎【例2】　(1)已知复数z1＝2＋ai，z2＝a＋i(a∈R)，且复数z1－z2在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值范围是________．‎ ‎(2)已知z1，z2∈C，|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|.‎ ‎[思路探究]　(1)先求出z1－z2＝(2－a)＋(a－1)i，再根据复数z1－z2在复平面内对应的点位于第二象限得到关于a的不等式组，解不等式组即得a的取值范围．‎ ‎(2)由复数的几何意义，画出图形，利用平行四边形解决．‎ ‎(1)(2，＋∞)　[由题意得z1－z2＝(2－a)＋(a－1)i，‎ 因为复数z1－z2在复平面内对应的点位于第二象限，‎ 所以所以a＞2.]‎ ‎(2)[解]　设复数z1，z2，z1＋z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，Z，由|z1|＝|z2|＝1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形，在△OZ1Z 中，由余弦定理，得 cos∠OZ1Z＝＝－，‎ 所以∠OZ1Z＝120°，所以∠Z‎1OZ2＝60°，‎ 因此△OZ1Z2是正三角形，所以|z1－z2|＝|Z2Z1|＝1.‎ 若把本例(2)中的条件“|z1＋z2|＝”改为“|z1－z2|＝‎1”‎，则|z1＋z2|等于多少？‎ ‎[解]　设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，由|z1|＝|z2|＝1，|z1－z2|＝1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形OZ1ZZ2，OZ为对角线，△OZ1Z2为正三角形，由余弦定理，‎ 得|z1＋z2|2＝|z1|2＋|z2|2＋2|z1||z2|·cos∠Z‎1OZ2，‎ 因为∠Z‎1OZ2＝60°，‎ 所以|z1＋z2|＝.‎ 利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论 ‎(1)技巧 ‎①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．‎ ‎②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．‎ ‎(2)常见结论 在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：‎ ‎①为平行四边形．‎ ‎②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形．‎ ‎③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形．‎ ‎④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．‎ 复数加减法的几何意义的应用 ‎[探究问题]‎ ‎1．在实数范围内a－b＞0⇔a＞b恒成立，在复数范围内是否有z1－z2＞0⇒z1＞z2恒成立呢？‎ ‎[提示]　若z1，z2∈R，则z1－z2＞0⇒z1＞z2成立．否则z1－z2＞0D⇒/z1＞z2.‎ 如果z1＝1＋i，z2＝i，虽然z1－z2＝1＞0，但不能说1＋i大于i.‎ ‎2．复数|z1－z2|的几何意义是什么？‎ ‎[提示]　复数|z1－z2|表示复数z1，z2对应两点Z1与Z2间的距离．‎ ‎【例3】　复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,2,5＋3i，由A→B→C→D 按逆时针顺序作▱ABCD，求|.‎ ‎[思路探究]　首先由A，C两点坐标求解出AC的中点坐标，然后再由点B的坐标求解出点D的坐标．‎ ‎[解]　如图，设D(x，y)，F为▱ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为，‎ 所以即 所以点D对应的复数为z＝3＋4i，所以＝－＝3＋4i－2＝1＋4i，所以||＝.‎ ‎1．解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解．‎ ‎2．复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．‎ ‎2．已知z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值．‎ ‎[解]　由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数z对应的点Z与复数－3＋4i对应的点C之间的距离等于1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C(－3,4)为圆心，半径等于1的圆．而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离，‎ 又|OC|＝5，所以点Z到原点O的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4.‎ 即|z|最大值＝6，|z|最小值＝4.‎ 知识：‎ ‎1．复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．‎ ‎2．两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数．‎ ‎3．向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用向量加法“首尾相接”和向量减法“指向被减向量”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)．‎ 方法：‎ 复数加减混合运算的技巧 ‎(1)类比实数的加减运算，若有括号，则先计算括号内的；若没有括号，则从左到右依次进行计算．‎ ‎(2)算式中出现的字母，要先确定其是不是实数，再确定复数的实部和虚部，最后把实部、虚部分别相加减．‎ ‎1．若实数x，y满足(x＋i)＋(1－yi)＝2，则xy的值为(　　)‎ A．1 B．‎2 C．－2 D．－1‎ A　[依题意，得∴∴xy＝1.]‎ ‎2．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　)‎ A．－1＋i　 B．1－i　　　C．i　　　D．－i A　[(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故选A．]‎ ‎3．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是(　　)‎ A．－2 B．‎4 C．3 D．－4‎ B　[z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B．]‎ ‎4．实部为5，模与复数4－3i的模相等的复数的个数为________个．‎ ‎1　[依题意设z＝5＋bi，则|z|＝，‎ 而|4－3i|＝＝5，‎ 所以＝5，即b＝0.]‎ ‎5．在复平面内，点A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i.以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，求点D对应的复数z4及AD的长．‎ ‎[解]　如图，由复数加减法的几何意义，知＝＋，‎ ‎∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，‎ ‎∴z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i，‎ ‎∴|AD|＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2.‎