【数学】2020届一轮复习人教B版空间位置关系的判断与证明学案

【数学】2020届一轮复习人教B版空间位置关系的判断与证明学案

‎　空间位置关系的判断与证明 ‎[全国卷3年考情分析]‎ 年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ ‎2018‎ 直线与平面所成的角、正方体的截面·T12‎ 求异面直线所成的角·T9‎ 面面垂直的证明·T19(1)‎ 面面垂直的证明·T18(1)‎ 线面垂直的证明·T20(1)‎ ‎2017‎ 面面垂直的证明·T18(1)‎ 求异面直线所成的角·T10‎ 圆锥、空间线线角的求解·T16‎ 线面平行的证明·T19(1)‎ 面面垂直的证明·T19(1)‎ ‎2016‎ 求异面直线所成的角·T11‎ 空间中线、面位置关系的判定与性质·T14‎ 线面平行的证明·T19(1)‎ 面面垂直的证明·T18(1)‎ 翻折问题、线面垂直的证明·T19(1)‎ ‎(1)高考对此部分的命题较为稳定，一般为“一小一大”或“一大”，即一道选择题(或填空题)和一道解答题或只考一道解答题．‎ ‎(2)选择题一般在第9～11题的位置，填空题一般在第14题的位置，多考查线面位置关系的判断，难度较小．‎ ‎(3)解答题多出现在第18或19题的第一问的位置，考查空间中平行或垂直关系的证明，难度中等．‎ 空间点、线、面的位置关系 ‎[大稳定]‎ ‎1.已知α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是(　　)‎ A．垂直　　　　　　　　 　B．相交 C．异面 D．平行 解析：选D　因为α是一个平面，m，n是两条直线，‎ A是一个点，m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，‎ 所以n在平面α内，m与平面α相交，‎ 且A是m和平面α相交的点，‎ 所以m和n异面或相交，一定不平行．‎ ‎2.已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：‎ ‎①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；‎ ‎③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.‎ 其中正确的命题是(　　)‎ A．①④ B．③④‎ C．①② D．①③‎ 解析：选A　对于①，若α∥β，m⊥α，则m⊥β，又l⊂β，所以m⊥l，故①正确，排除B.对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β.故④正确．故选A.‎ ‎3.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有(　　)‎ A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH C．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF 解析：选B　根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，‎ 得AH⊥平面EFH，B正确；‎ ‎∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；‎ ‎∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF⊂平面AEF，∴平面HAG⊥AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确；‎ 由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确．故选B.‎ ‎4.(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　如图，连接BE，因为AB∥CD，所以AE与CD所成的角为∠EAB.在Rt△ABE中，设AB＝2，则BE＝，则tan ∠EAB＝＝，所以异面直线AE与CD所成角的正切值为.‎ ‎[解题方略] 判断与空间位置关系有关命题真假的3种方法 ‎(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断．‎ ‎(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定．‎ ‎(3)借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断．‎ ‎[小创新]‎ ‎1.设l，m，n为三条不同的直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　当l⊥α时，l垂直于α内的任意一条直线，由于m，n⊂α，故“l⊥m且l⊥n”成立，反之，因为缺少m，n相交的条件，故不一定能推出“l⊥α”，故选A.‎ ‎2.某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如下检查项目．‎ 项目①：折叠状态下(如图1)，检查四条桌腿长相等；‎ 项目②：打开过程中(如图2)，检查OM＝ON＝O′M′＝O′N′；‎ 项目③：打开过程中(如图2)，检查OK＝OL＝O′K′＝O′L′；‎ 项目④：打开后(如图3)，检查∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°；‎ 项目⑤：打开后(如图3)，检查AB＝CD＝A′B′＝C′D′.‎ 在检查项目的组合中，可以判断“桌子打开之后桌面与地面平行”的是(　　)‎ A．①②③⑤ B．②③④⑤‎ C．②④⑤ D．③④⑤‎ 解析：选B　A选项，项目②和项目③可推出项目①，若∠MON>∠M′O′N′，则MN较低，M′N′较高，所以不平行，错误；B选项，因为∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，所以平面ABCD∥平面A′B′C′D′，因为AB＝A′B′，所以AA′平行于地面，由②③⑤知，O1O1′∥AA′∥平面MNN′M′，所以桌面平行于地面，故正确；C选项，由②④⑤得，OM＝ON，O‎1A⊥AA′，O1′A′⊥AA′，AB＝A′B′，所以AA′∥BB′，但O‎1A与O1′A′是否相等不确定，所以不确定O1O1′与BB′是否平行，又O1O1′∥MN，所以不确定BB′与MN 是否平行，故错误；D选项，OK＝OL＝O′K′＝O′L′，所以AA′∥BB′，但不确定OM与ON，O′M′，O′N′的关系，所以无法判断MN与地面的关系，故错误．综上，选B.‎ ‎3.(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCDA1B‎1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB‎1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为(　　)‎ A．8 B．6 C．8 D．8 解析：选C　如图，连接AC1，BC1，AC.∵AB⊥平面BB‎1C1C，‎ ‎∴∠AC1B为直线AC1与平面BB‎1C1C所成的角，∴∠AC1B＝30°.又AB＝BC＝2，在Rt△ABC1中，AC1＝＝4.在Rt△ACC1中，CC1＝＝＝2，‎ ‎∴V长方体＝AB×BC×CC1＝2×2×2＝8.‎ ‎4.(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为________．‎ 解析：如图，∵SA与底面成45°角，‎ ‎∴△SAO为等腰直角三角形．‎ 设OA＝r，‎ 则SO＝r，SA＝SB＝r.‎ 在△SAB中，cos ∠ASB＝，‎ ‎∴sin ∠ASB＝，‎ ‎∴S△SAB＝SA·SB·sin ∠ASB ‎＝×(r)2×＝5，‎ 解得r＝2，‎ ‎∴SA＝r＝4，即母线长l＝4，‎ ‎∴S圆锥侧＝πrl＝π×2×4＝40π.‎ 答案：40π 空间平行、垂直关系的证明 ‎[析母题]‎ ‎[典例]　如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：‎ ‎(1)PA⊥底面ABCD；‎ ‎(2)BE∥平面PAD；‎ ‎(3)平面BEF⊥平面PCD.‎ ‎[证明]　(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，‎ 且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA⊂平面PAD，‎ ‎∴PA⊥底面ABCD.‎ ‎(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，‎ ‎∴AB∥DE，且AB＝DE.‎ ‎∴四边形ABED为平行四边形．‎ ‎∴BE∥AD.‎ 又∵BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，‎ ‎∴BE∥平面PAD.‎ ‎(3)∵AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形．‎ ‎∴BE⊥CD，AD⊥CD，‎ 由(1)知PA⊥底面ABCD.‎ ‎∴PA⊥CD.‎ ‎∵PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，‎ ‎∴CD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，‎ ‎∴CD⊥PD.‎ ‎∵E和F分别是CD和PC的中点，‎ ‎∴PD∥EF，‎ ‎∴CD⊥EF.‎ 又BE⊥CD且EF∩BE＝E，‎ ‎∴CD⊥平面BEF.‎ 又CD⊂平面PCD，‎ ‎∴平面BEF⊥平面PCD.‎ ‎[练子题]‎ ‎1．在本例条件下，证明平面BEF⊥平面ABCD.‎ 证明：如图，连接AE，AC，‎ 设AC∩BE＝O，连接FO.‎ ‎∵AB∥CD，CD＝2AB，且E为CD的中点，‎ ‎∴AB綊CE.‎ ‎∴四边形ABCE为平行四边形．‎ ‎∴O为AC的中点，则FO綊PA，‎ 又PA⊥平面ABCD，‎ ‎∴FO⊥平面ABCD.又FO⊂平面BEF，‎ ‎∴平面BEF⊥平面ABCD.‎ ‎2．在本例条件下，若AB＝BC，求证BE⊥平面PAC.‎ 证明：如图，连接AE，AC，设AC∩BE＝O.‎ ‎∵AB∥CD，CD＝2AB，且E为CD的中点．‎ ‎∴AB綊CE.‎ 又∵AB＝BC，∴四边形ABCE为菱形，‎ ‎∴BE⊥AC.‎ 又∵PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，‎ ‎∴PA⊥BE.‎ 又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，‎ ‎∴BE⊥平面PAC.‎ ‎[解题方略]‎ ‎1．直线、平面平行的判定及其性质 ‎(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.‎ ‎(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.‎ ‎(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.‎ ‎(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.‎ ‎2．直线、平面垂直的判定及其性质 ‎(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.‎ ‎(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.‎ ‎(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.‎ ‎(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.‎ ‎[多练强化]‎ ‎1.(2019届高三·郑州模拟)如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．‎ 求证：(1)BE∥平面DMF；‎ ‎(2)平面BDE∥平面MNG.‎ 证明：(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，‎ 连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，‎ 又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，‎ 所以BE∥平面DMF.‎ ‎(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，‎ 所以DE∥GN，‎ 又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，‎ 所以DE∥平面MNG.‎ 又M为AB的中点，N为AD的中点，‎ 所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，‎ 又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，‎ 所以BD∥平面MNG，‎ 又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，‎ 所以平面BDE∥平面MNG.‎ ‎2.如图，在四棱锥PABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，PA⊥AB，CD⊥AD，BC＝CD＝AD.‎ ‎(1)求证：PA⊥CD.‎ ‎(2)求证：平面PBD⊥平面PAB.‎ 证明：(1)因为平面PAB⊥平面ABCD，‎ 平面PAB∩平面ABCD＝AB，‎ 又因为PA⊥AB，‎ 所以PA⊥平面ABCD，‎ 又CD⊂平面ABCD，‎ 所以PA⊥CD.‎ ‎(2)取AD的中点为E，连接BE，‎ 由已知得，BC∥ED，且BC＝ED，‎ 所以四边形BCDE是平行四边形，‎ 又CD⊥AD，BC＝CD，所以四边形BCDE是正方形，‎ 连接CE，所以BD⊥CE.‎ 又因为BC∥AE，BC＝AE，‎ 所以四边形ABCE是平行四边形，‎ 所以CE∥AB，则BD⊥AB.‎ 由(1)知PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，‎ 又因为PA∩AB＝A，所以BD⊥平面PAB，‎ 因为BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAB.‎ 平面图形中的折叠问题 ‎[典例]　(2019届高三·湖北五校联考)如图①，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝AB＝2，E为AC的中点，将△ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直，如图②.在图②所示的几何体DABC中．‎ ‎(1)求证：BC⊥平面ACD；‎ ‎(2)点F在棱CD上，且满足AD∥平面BEF，求几何体FBCE的体积．‎ ‎[解]　(1)证明：∵AC＝ ＝2，‎ ‎∠BAC＝∠ACD＝45°，AB＝4，‎ ‎∴在△ABC中，BC2＝AC2＋AB2－‎2AC×AB×cos 45°＝8，‎ ‎∴AB2＝AC2＋BC2＝16，‎ ‎∴AC⊥BC，‎ ‎∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，‎ ‎∴BC⊥平面ACD.‎ ‎(2)∵AD∥平面BEF，AD⊂平面ACD，‎ 平面ACD∩平面BEF＝EF，‎ ‎∴AD∥EF，‎ ‎∵E为AC的中点，‎ ‎∴EF为△ACD的中位线，‎ 由(1)知，VFBCE＝VBCEF＝×S△CEF×BC，‎ S△CEF＝S△ACD＝××2×2＝，‎ ‎∴VFBCE＝××2＝.‎ ‎[解题方略]　平面图形折叠问题的求解方法 ‎(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．‎ ‎(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．‎ ‎[多练强化]‎ ‎　如图①，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F分别在线段BC，AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起，记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF，如图②.‎ ‎(1)求证：NC∥平面MFD；‎ ‎(2)若EC＝3，求证：ND⊥FC；‎ ‎(3)求四面体NEFD体积的最大值．‎ 解：(1)证明：∵四边形MNEF和四边形EFDC都是矩形，‎ ‎∴MN∥EF，EF∥CD，MN＝EF＝CD，∴MN綊CD.‎ ‎∴四边形MNCD是平行四边形，∴NC∥MD.‎ ‎∵NC⊄平面MFD，MD⊂平面MFD，‎ ‎∴NC∥平面MFD.‎ ‎(2)证明：连接ED，‎ ‎∵平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，平面MNEF∩平面ECDF＝EF，NE⊂平面MNEF，‎ ‎∴NE⊥平面ECDF.‎ ‎∵FC⊂平面ECDF，‎ ‎∴FC⊥NE.‎ ‎∵EC＝CD，∴四边形ECDF为正方形，∴FC⊥ED.‎ 又∵ED∩NE＝E，ED，NE⊂平面NED，‎ ‎∴FC⊥平面NED.‎ ‎∵ND⊂平面NED，∴ND⊥FC.‎ ‎(3)设NE＝x，则FD＝EC＝4－x，其中0

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