【数学】2020届北京一轮复习通用版6-2等差数列作业

【数学】2020届北京一轮复习通用版6-2等差数列作业

‎6.2　等差数列 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 ‎1.等差数列的有关概念及运算 ‎1.理解等差数列的概念 ‎2.掌握等差数列的通项公式和前n项和公式 ‎3.了解等差数列与一次函数的关系 ‎2018北京,9‎ 求等差数列的通项公式 ‎★★★‎ ‎2016北京,12‎ 等差数列中的基本运算 ‎2.等差数列的性质及其应用 能利用等差数列的性质解决相应的问题 ‎2014北京,12‎ 等差数列前n项和的最值 等差中项的概念 ‎★★★‎ 分析解读　　从北京高考的情况来看,本节一直是热点,主要考查等差数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式、等差中项等相关内容.本节内容在高考中的分值为5分左右,属于中低档题.常以选择题、填空题的形式出现.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　等差数列的有关概念及运算 ‎1.已知等差数列{an}满足a1=1,an+2-an=6,则a11等于(　　)‎ A.31　　　　B.32　　　　C.61　　　　D.62‎ 答案　A　‎ ‎2.(2013课标Ⅰ,7,5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=(　　)‎ A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6‎ 答案　C　‎ ‎3.已知等差数列{an}一共有9项,前4项和为3,最后3项和为4,则中间一项的值为(　　)‎ A.‎17‎‎20‎　　　　B.‎59‎‎60‎　　　　C.1　　　　D.‎‎67‎‎66‎ 答案　D　‎ 考点二　等差数列的性质及其应用 ‎4.在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则a2+a14的值为(　　)‎ A.6　　　　B.12　　　　C.24　　　　D.48‎ 答案　D　‎ ‎5.在等差数列{an}中,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n项和,则使Sn取得最大值时n的值为(　　)‎ A.21　　　　B.20　　　　C.19　　　　D.18‎ 答案　B　‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　等差数列的基本运算技巧 ‎1.数列{an}为递增的等差数列,a1=f(x+1),a2=0,a3=f(x-1),其中f(x)=x2-4x+2,则数列{an}的通项公式为(　　)‎ A.an=n-2　　　　B.an=2n-4　　　　C.an=3n-6　　　　D.an=4n-8‎ 答案　B　‎ ‎2.在等差数列{an}中,2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24,则S13+2a7=(　　)‎ A.17　　　　B.26　　　　C.30　　　　D.56‎ 答案　C　‎ ‎3.(2018上海,6,4分)记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=0,a6+a7=14,则S7=　　　　. ‎ 答案　14‎ 方法2　等差数列的判定方法 ‎4.(2014陕西,14,5分)已知f(x)=x‎1+x,x≥0,若f1(x)=f(x), fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N+,则f2 014(x)的表达式为　　　　　　　　　　　　　　　. ‎ 答案　f2 014(x)=‎x‎1+2 014x ‎5.已知数列{an}满足a1=‎1‎‎2‎,且an+1=‎2‎an‎2+‎an.‎ ‎(1)求证:数列‎1‎an是等差数列;‎ ‎(2)若bn=anan+1,求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 解析　(1)证明:∵an+1=‎2‎an‎2+‎an,∴‎1‎an+1‎=‎2+‎an‎2‎an,‎ ‎∴‎1‎an+1‎-‎1‎an=‎1‎‎2‎,‎ ‎∴数列‎1‎an是以2为首项,‎1‎‎2‎为公差的等差数列.‎ ‎(2)由(1)知an=‎2‎n+3‎,∴bn=‎4‎‎(n+3)(n+4)‎=4‎1‎n+3‎‎-‎‎1‎n+4‎,‎ ‎∴Sn=4×‎‎1‎‎4‎‎-‎‎1‎‎5‎‎+‎1‎‎5‎‎-‎‎1‎‎6‎+…+‎‎1‎n+3‎‎-‎‎1‎n+4‎ ‎=4×‎1‎‎4‎‎-‎‎1‎n+4‎=nn+4‎.‎ 方法3　等差数列前n项和的最值问题的求解方法 ‎6.(2014江西,13,5分)在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为　　　　　　　. ‎ 答案　‎‎-1,-‎‎7‎‎8‎ ‎7.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a3+a8+a13=C,a4+a14=2C,其中C<0,则Sn在n等于　　　　时取到最大值. ‎ 答案　7‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　自主命题·北京卷题组 考点一　等差数列的有关概念及运算 ‎1.(2018北京,9,5分)设{an}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{an}的通项公式为　　　　　　. ‎ 答案　an=6n-3‎ ‎2.(2016北京,12,5分)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6=　　　　. ‎ 答案　6‎ ‎3.(2012北京,10,5分)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=‎1‎‎2‎,S2=a3,则a2=　　　　;Sn=　　　　. ‎ 答案　1;‎1‎‎4‎n(n+1)‎ ‎4.(2015北京,16,13分)已知等差数列{an}满足a1+a2=10,a4-a3=2.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)设等比数列{bn}满足b2=a3,b3=a7.问:b6与数列{an}的第几项相等?‎ 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d.‎ 因为a4-a3=2,所以d=2.‎ 又因为a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4.‎ 所以an=4+2(n-1)=2n+2 (n=1,2,…).‎ ‎(2)设等比数列{bn}的公比为q.‎ 因为b2=a3=8,b3=a7=16,‎ 所以q=b‎3‎b‎2‎=2,所以b1=4.‎ 所以b6=4×26-1=128.‎ 由128=2n+2得n=63.‎ 所以b6与数列{an}的第63项相等.‎ 思路分析　(1)由已知可求得a1和公差d,即可求得{an}的通项公式.‎ ‎(2)由已知求得b2,b3,进而求得{bn}的首项和公比q,即得b6的值,再由an=b6列方程求得n.‎ 考点二　等差数列的性质及应用 ‎1.(2015北京,6,5分)设{an}是等差数列.下列结论中正确的是(　　)‎ A.若a1+a2>0,则a2+a3>0‎ B.若a1+a3<0,则a1+a2<0　　　　C.若0‎a‎1‎a‎3‎ D.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0‎ 答案　C　‎ ‎2.(2014北京,12,5分)若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=　　　　时,{an}的前n项和最大. ‎ 答案　8‎ B组　统一命题、省(区、市)卷题组 考点一　等差数列的有关概念及运算 ‎1.(2018课标Ⅰ,4,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=(　　)‎ A.-12　　　　B.-10　　　　C.10　　　　D.12‎ 答案　B　‎ ‎2.(2017课标Ⅰ,4,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为(　　)‎ A.1　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.8‎ 答案　C　‎ ‎3.(2017课标Ⅲ,9,5分)等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为(　　)‎ A.-24　　　　B.-3　　　　C.3　　　　D.8‎ 答案　A　‎ ‎4.(2016课标Ⅰ,3,5分)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=(　　)‎ A.100　　　　B.99　　　　C.98　　　　D.97‎ 答案　C　‎ ‎5.(2015课标Ⅰ,7,5分)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和.若S8=4S4,则a10=(　　)‎ A.‎17‎‎2‎　　　　B.‎19‎‎2‎　　　　C.10　　　　D.12‎ 答案　B　‎ ‎6.(2015重庆,2,5分)在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6=(　　)‎ A.-1　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.6‎ 答案　B　‎ ‎7.(2014福建,3,5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于(　　)‎ A.8　　　　B.10　　　　C.12　　　　D.14‎ 答案　C　‎ ‎8.(2017课标Ⅱ,15,5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则‎∑‎k=1‎n‎1‎Sk=　　　　. ‎ 答案　‎‎2nn+1‎ ‎9.(2016江苏,8,5分)已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+a‎2‎‎2‎=-3,S5=10,则a9的值是　　　　. ‎ 答案　20‎ ‎10.(2015安徽,13,5分)已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+‎1‎‎2‎(n≥2),则数列{an}的前9项和等于　　　　. ‎ 答案　27‎ ‎11.(2016天津,18,13分)已知{an}是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的n∈N*,bn是an和an+1的等比中项.‎ ‎(1)设cn=bn+1‎‎2‎-bn‎2‎,n∈N*,求证:数列{cn}是等差数列;‎ ‎(2)设a1=d,Tn=‎∑‎k=1‎‎2n(-1)kbk‎2‎,n∈N*,求证:‎∑‎k=1‎n‎1‎Tk<‎1‎‎2‎d‎2‎.‎ 证明　(1)由题意得bn‎2‎=anan+1,有cn=bn+1‎‎2‎-bn‎2‎=an+1·an+2-anan+1=2dan+1,因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2,‎ 所以{cn}是等差数列.‎ ‎(2)Tn=(-b‎1‎‎2‎+b‎2‎‎2‎)+(-b‎3‎‎2‎+b‎4‎‎2‎)+…+(-b‎2n-1‎‎2‎+b‎2n‎2‎)‎ ‎=2d(a2+a4+…+a2n)‎ ‎=2d·n(a‎2‎+a‎2n)‎‎2‎=2d2n(n+1).‎ 所以‎∑‎k=1‎n‎1‎Tk=‎1‎‎2‎d‎2‎‎∑‎k=1‎n‎1‎k(k+1)‎=‎1‎‎2‎d‎2‎‎∑‎k=1‎n‎1‎k‎-‎‎1‎k+1‎=‎1‎‎2‎d‎2‎·‎1-‎‎1‎n+1‎<‎1‎‎2‎d‎2‎.‎ 考点二　等差数列的性质及应用 ‎1.(2015课标Ⅱ,5,5分)设Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1+a3+a5=3,则S5=(　　)‎ A.5　　　　B.7　　　　C.9　　　　D.11‎ 答案　A　‎ ‎2.(2014辽宁,9,5分)设等差数列{an}的公差为d.若数列{‎2‎a‎1‎an}为递减数列,则(　　)‎ A.d>0　　　　B.d<0　　　　C.a1d>0　　　　D.a1d<0‎ 答案　D　‎ ‎3.(2015广东,10,5分)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=　　　　. ‎ 答案　10‎ C组　教师专用题组 ‎1.(2016浙江,8,5分)如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*.(P≠Q表示点P与Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积,则(　　)‎ A.{Sn}是等差数列　　　　B.{Sn‎2‎}是等差数列　　　　C.{dn}是等差数列　　　　D.{dn‎2‎}是等差数列 答案　A　‎ ‎2.(2014天津,5,5分)设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1=(　　)‎ A.2　　　　B.-2　　　　C.‎1‎‎2‎　　　　D.-‎‎1‎‎2‎ 答案　D　‎ ‎3.(2013辽宁,4,5分)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题:‎ p1:数列{an}是递增数列;‎ p2:数列{nan}是递增数列;‎ p3:数列ann是递增数列;‎ p4:数列{an+3nd}是递增数列.‎ 其中的真命题为(　　)‎ A.p1,p2　　　　B.p3,p4　　　　C.p2,p3　　　　D.p1,p4‎ 答案　D　‎ ‎4.(2013安徽,7,5分)设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=(　　)‎ A.-6　　　　B.-4　　　　C.-2　　　　D.2‎ 答案　A　‎ ‎5.(2015陕西,13,5分)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为　　　　. ‎ 答案　5‎ ‎6.(2017江苏,19,16分)对于给定的正整数k,若数列{an}满足:an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{an}是“P(k)数列”.‎ ‎(1)证明:等差数列{an}是“P(3)数列”;‎ ‎(2)若数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{an}是等差数列.‎ 证明　(1)证明:因为{an}是等差数列,设其公差为d,则an=a1+(n-1)d,‎ 从而,当n≥4时,an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3,‎ 所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an,‎ 因此等差数列{an}是“P(3)数列”.‎ ‎(2)数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此,‎ 当n≥3时,an-2+an-1+an+1+an+2=4an,①‎ 当n≥4时,an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an.②‎ 由①知,an-3+an-2=4an-1-(an+an+1),③‎ an+2+an+3=4an+1-(an-1+an).④‎ 将③④代入②,得an-1+an+1=2an,其中n≥4,‎ 所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d'.‎ 在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d',‎ 在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d',‎ 所以数列{an}是等差数列.‎ 评析本小题主要考查等差数列的定义、通项公式等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.‎ 方法总结　数列新定义型创新题的一般解题思路:‎ ‎1.阅读审清“新定义”;‎ ‎2.结合常规的等差数列、等比数列的相关知识,化归、转化到“新定义”的相关知识;‎ ‎3.利用“新定义”及常规的数列知识,求解证明相关结论.‎ ‎【三年模拟】‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.(2018北京通州期中,4)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a2+a5=4,S7=21,则a7的值为(　　)‎ A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.9‎ 答案　D　‎ ‎2.(2019届北京人大附中期中,6)设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,若a1=d=1,则Sn‎+8‎an的最小值为(　　)‎ A.10　　　　B.‎9‎‎2‎　　　　C.‎7‎‎2‎　　　　D.‎1‎‎2‎+2‎‎2‎ 答案　B　‎ ‎3.(2019届中央民大附中10月月考,3)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则S7等于(　　)‎ A.14　　　　B.28　　　　C.56　　　　D.112‎ 答案　C　‎ ‎4.(2019届北京海淀期中,4)在等差数列{an}中,a1=1,a‎6‎a‎5‎=2,则公差d的值是(　　)‎ A.-‎1‎‎3‎　　　　B.‎1‎‎3‎　　　　C.-‎1‎‎4‎　　　　D.‎‎1‎‎4‎ 答案　A　‎ ‎5.(2019届北京十四中10月月考,5)我国古代名著《九章算术》中有这样一段话:“今有金锤,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,中间三尺重几何.”意思是:“现有一根金锤,长5尺,头部1尺,重4斤,尾部1尺,重2斤,且从头到尾,每一尺的重量构成等差数列,问中间三尺共重多少斤?”(　　)‎ A.6斤　　　　B.7斤　　　　C.8斤　　　　D.9斤 答案　D　‎ 二、填空题(每小题5分,共40分)‎ ‎6.(2019届北京海淀期中文,10)等差数列{an}中,a1=5,a2+a5=0,则{an}中为正数的项的个数为　　　　. ‎ 答案　3‎ ‎7.(2019届北京朝阳期中文,10)已知等差数列{an}的公差d=2,且满足a7=a3+a4,则a1=　　　　. ‎ 答案　2‎ ‎8.(2017北京朝阳期末,9)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S2=a3,则a2=　　　　,S10=　　　　. ‎ 答案　4;110‎ ‎9.(2018北京西城一模,10)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1=2,S4=20,则a3=　　　　,Sn=　　　　. ‎ 答案　6;n2+n ‎10.(2018北京顺义二模,10)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若a1=-1,S10=35,则a20=　　　　. ‎ 答案　18‎ ‎11.(2018北京一七一中学期中,10)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a5+a6=8,a9+a10=24,则公差d=　　　　,S10=　　　　. ‎ 答案　2;40‎ ‎12.(2018北京通州期中,10)在等差数列{an}中,若a5+a7=4,a6+a8=-2,则数列{an}的公差为　　　　,其前n项和Sn的最大值为　　　　. ‎ 答案　-3;57‎ ‎13.(2017北京东城一模,11)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若S3=12,a2+a4=4,则S6=　　　　.  ‎ 答案　6‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎14.(2018北京昌平二模,16)已知数列{an}满足a1=1,a2=‎1‎‎2‎,数列{bn}是公差为2的等差数列,且bnan+1+an+1=nan.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式;‎ ‎(2)求数列{an}的前n项和Sn.‎ 解析　(1)因为bnan+1+an+1=nan,‎ 所以b1a2+a2=a1.‎ 又因为a1=1,a2=‎1‎‎2‎,‎ 所以b1=1.‎ 所以数列{bn}的通项公式是bn=2n-1,n∈N*.‎ ‎(2)由(1)知bn=2n-1,因为bnan+1+an+1=nan.‎ 所以(2n-1)an+1+an+1=nan,则2nan+1=nan,‎ 得an+1‎an=‎1‎‎2‎(n∈N*).‎ 所以数列{an}是以1为首项,‎1‎‎2‎为公比的等比数列.‎ 故数列{an}的前n项和Sn=‎1-‎‎1‎‎2‎n‎1-‎‎1‎‎2‎=2-21-n,n∈N*.‎ ‎15.(2019届北京人大附中期中,16)已知等差数列{an}中,a1=-1,前12项和S12=186.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若数列{bn}满足bn=‎1‎‎2‎an,记数列{bn}的前n项和为Tn,若不等式Tn

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