五四制六年级数学辅导全一册
大柱子老师
第一讲：丰富的图形世界
【考点归类】
考点一、常见的几何体分类及其特点：
长方体： 有 顶点， 条棱， 个面，且各面都是 （正方形是特殊的长方形）正方体是特殊的 。
棱 柱：上下两个面称为棱柱的 ，其它各面称为 ，长方体是 。
圆 柱：有上下两个底面和一个侧面，两个底面是 的圆。
圆 锥：有一个 和一个 ，且侧面展开图是 。 球 ：由 围成的几何体
考点二、.图形是由 、 、 构成。点动成 ，线动成 ，面动成 。面与面相交得到 ，线与线相交得
到 。面动成体可以通过平移和旋转实现。例如：五棱柱、圆柱分别可以看作是由五边形或圆沿着竖直方向平移形
成。圆柱又可以看作是 绕着一边旋转一周形成。
考点三、展开与折叠
（1）正方体的展开图
正方体有 ，需要剪 刀才能展开成平面图形。
（2）圆柱、圆锥、正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥、正三棱柱的展开图
考点四、截一个几何体
（1）用一个截面去截长方体或正方体，截面可能是等腰三角形、等边三角形、但不可能是 三角形，也可能是正
方形，长方形，梯形，五边形等，最多可截得 边形。
（2）用一个截面去截圆柱，截面可能是正方形，长方形，梯形、圆或椭圆。
（3）用一个截面去截圆锥，截面可能是等腰三角、圆、抛物线形或椭圆。
大柱子老师
（4）三棱锥的截面可以是三角形、长方形、四边形。其中四边形可以是特殊的矩形、梯形。
考点五、三视图
我们从不同方向观察物体时，从正面看到的图形叫做主视图，从左边看到的图形叫做左视图，从上面看到的视图
叫做俯视图。
三种视图之间的关系：主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等。
考点六、生活中的平面图形
（1）多边形：由不在 直线上的线段 相连组成的封闭图形.
扇 形：由 和经过这条弧的端点的 组成的图形。
（2）从一个多边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成
个三角形，可以得到 条对角线。
从一个多边形内部的任意一点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成 个三角形。
从一个多边形边上除顶点外的任意一点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成 个三角
形。
（3）一个 n 边形一共有 2
)3( nn
条对角线。
【典型例题】
例 1、 观察下图，请把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的几何体选出来( )
例 2、一个几何体全部展开后铺在平面上，不可能是（ ）
A、一个三角形 B、一个圆 C、三个正方形 D、一个小圆和半个大圆
例 3、有一个正方体的六个面上分别写养 1，2，3，4，5，6 这 6 个数，根据图中 ABC 三个图中所写数字想一想“？”处的
数字是什么？
例 4、画出下列立方体的三视图，
例 5 下图是用小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形的数字表亦该位置的小立方块的个数，请画出它的主视图和左
视图。
例 6 用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示。这样的几何体只有一种吗？它最少需要多少个小立
方块？最多需要多少个小立方块？
大柱子老师
【练习巩固】
1. 圆柱体是由____个面围成，这些面相交共得_____条线，它们是 线.
2. 用一个平面去截某一几何体，若截面是圆，则原来的几何体可能是 .
3. 将半圆绕直径旋转一周，形成的几何体是_______；将直角三角形以一条直角边为轴旋转一周，形成的几何体是
________；假如我们把笔尖看作一个点,当笔尖在纸上移动时,就能画出线,说明了_______.
4. 如果一个几何体的主视图、左视图、俯视图都完全相同的是 ．
5. 如果长方体从一顶点出发的三条棱长分别为 2，3，4，则该长方体的
表面积为 ，体积为 .
6.如图，这是一个正方开体的展开图，则“喜”代表的面所相对的面．．．．的号码是 ．
7.平面内有 5 个点，每两个点都用直线连接起来，则最多可得______条直线， 最少可得______条直
线。
平面内的三条直线可把平面分割成最少______部分，最多_____部分
8.如下图是由四个相同的小立方体组成的立体图形的主视图和左视图，那么原立体图形可能是 ．（把下图中正
确的立体图形的序号都填在横线上）
9.一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其主视图和左视图如图所示，则这个几何体最多可由_______个这样的
正方体组成。
10.将一个长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，现有一个长为 4cm、宽为3cm的长方形，分别．．
绕它的长、宽所在的直线旋转一周．．．．．．．．．．．．．．．，得到的圆柱体的体积分别是多少？（友情提示： 2V r h，其中 r 代表圆柱
底面半径， h 代表圆柱高）（结果保留 ）
11.正方体是由六个平面图形围成的立体图形，
设想沿着正方体的一些棱将它剪开，就可以
把正方体剪成一个平面图形，但同一个正方
体，按不同的方式展开所得的平面展开图是
不一样的，下面的图形是由 6 个大小一样的
正方形，拼接而成的，请问这些图形中哪些
可以折成正方体？试试看
12.已知正方体的顶点 A 处有一只蜘蛛，B 处有一只小虫，如图所示，请你在图上作出一种由 A 到 B 的最短路径，使得这
只小蜘蛛能在最短时间内捉住这只小虫子.
我 喜
欢 数
学 课
6 题图
主视图 左视图
① ② ③ ④
图 16
B
A
大柱子老师
【课堂演练】
一、填空题
1、面与面相交成___，线与线相交得到___，点动成____，线动成_____，面动成____
2、下面是两种立体图形的展开图．请分别写出这两个立体图形的名称：________，___________
3、下图所示的三个几何体的截面分别是：(1)_________；(2)__________；(3)___________．
4、已知三棱柱有 5 个面、6 个顶点、9 条棱，四棱柱有 6 个面、8 个顶点、
12 条棱，五棱柱有 7 个面、10 个顶点、15 条棱，……，由此可以推测 n 棱
柱有_____个面，____个顶点，_____条棱。
5、当下面这个图案被折起来组成一个正方体，数字_______会在
与数字 2 所在的平面相对的平面上
6、从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个点和其余各顶点，可以把这个多边形分割成 10 个三角形，则这个多边
形的边数为_____。
7、用小正方块搭一个几何体，使它的主视图、俯视图如图所示，这样的几何体只有一种吗？最少需几块？最多需几
块？
二、选择题
8、下面几何体的截面图不可能是圆的是 （ ）
A、圆柱 B、圆锥 C、球 D、棱柱
9、将左边的正方体展开能得到的图形是 （ ）
10、将半圆绕它的直径旋转一周形成的几何体是 （ ）
A、圆柱 B、圆锥 C、球 D、正方体
11、用一个平面去截一个正方体，截面可能是（ ）
A、七边形 B、圆 C、长方形 D、圆锥
12、一个直立在水平面上的圆柱体的主视图、俯视图、左视图分别是 （ ）
A 长方形 、圆、长方形 B、长方形、长方形、圆
C、圆、长方形、长方形 D、长方形、长主形、圆
【课堂演练】
一、选择题
1. 长方形的长为6厘米，宽为4厘米，若绕着它的宽旋转一周得到的圆柱的体积为（ ）立方厘米.
(A)36 （B）72 （C）96 （D）144
2. 下面是某物体的三视图,则这个物体是( ).
正视图 右视图 俯视图
(A)圆锥 (B)棱锥 (C)三棱锥 (D)三棱柱
3. 将长方形截去一个角，剩余几个角（ ）.
（A） 三个角 （B） 四个角 （C） 五个角 （D）不能确定
4. 下面的四个图形,能折叠成三棱柱的有( )个.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
大柱子老师
5. 下列几何体的截面是（ ）.
（A） （B） （C） （D）
6. 从上面看下图，能看到的结果是图形（ ）.
（C）
（A） （B）
（D）
7. 下图是( )的平面展开图 .
(A)六棱柱(B)五棱柱(C)四棱柱(D)五棱锥
8. 下列各图中,( )是四棱柱的侧面展开图.
(A) (B) (C) (D)
9. 下列四个圆,哪个是左边圆锥的俯视图( ).
(A) (B) (C) (D)
10. 指出图中几何体截面的形状符号 ( )
（A） （B） （C） （D）
11. 一个平面去截一只篮球，截面是（ ）．
（A）圆 （B）三角形 （C）正方形 （D）非圆的曲线
12. 下列立体图形中,_______锥体的 ( ).
(A) (B) (C) (D)
13. 对于一个多面体来说,欧拉公式是指( ).
(A)顶点数+棱数-面数=2 (B)顶点数+面数-棱数=2
(C)棱数+面数-顶点数=2 (D)不同于ABC的结论
14. 下列图形中是正方体的展开图的是（ ）
(A) （B） （C） （D）
15. 指出图中几何体截面的形状符号 ( )
大柱子老师
二、填空题（每小题 2 分，共 30 分）
1. 从_____,_____和______三个不同的方向看一个物体,得到的图形称为______图.
2. 如图是一个正方体的展开图，和C面的对面是______面．
A
D B
E F
C
3. 一个三棱柱，它由 个三角形和 个 形围成.
4. 如图所示的圆锥，从它的前面、上面、左面三个方向看到的图形分别是 、 、 .
5. 竖直放置的三棱柱，用水平的平面去截，所得截面是 .
6. 柱体包括____,_____,锥体包括____,_____.
7. 圆柱是由 个底面和 个曲面所组成的，它的侧面展开图是 .
8. 一个圆柱体的侧面展开图的边为4π cm的正方形,则它的表面积为______cm2.
9. 举出主视图是圆的三个物体的例子．
10. 雨点从高空落下形成的轨迹说明了 ； 车轨快速旋转时看起来象个圆面，这说明
了 ； 一枚硬币在光滑的桌面上快速旋转形成一个球，这说明了 .
11. 下列图形中是柱体的是_____(填代码即可);______是圆柱,_______是棱柱.
(a) (b) (c) (d)
12. 若棱柱的底面是一个8边形，则它的侧面必有_____个长方形，它一共有_____面．
13. 直接写出下列立体图形的形状.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
14. 每一个多边形都可以分割成若干个_____形,一个n边形,至少可以将它分成____个三角形.三角,(n-2)
15. 长方体是由____个面围成的，它有_____个顶点，经过每个顶点有____条边．
三、解答题（每小题 4 分，共 40 分）
1. 如图所示是由几个小立方块所搭的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，请画出
相应几何体的主视图和左视图：
1 1
1
2
2. 用平面截一个正方体，能截出梯形截面吗？若能在图上画一画；若不能，请说明理由.
3. 用平面去截一个几何体，如果截面是正方形，你能想像出原来的几何体可能是什么吗？如果截面是圆呢？
4. 请问右图是一个什么几何体的展开图？
大柱子老师
5. 在下图中,有多少个不同的四边形?此图看起来有点像什么?
6. 下列物体与哪些立体图形类似,并说明理由.
(1)数学课本(2)易拉罐(3)金字塔(4)日光灯(5)八角亭(6)大喇叭
(7) 乒乓球(8)足球
7. 请把图5的十字形纸片剪两刀,然后拼成大小相等的两个五边形.
8. 如图所示的立体图形，画出它的主视图、左视图和俯视图.
9. 画出蓝球的三视图．
10. 至少找出下列几何体的4个共同点
第二讲 有理数
【考点归类】
考点一、有理数的基础知识
1，大于 0 的数是正数，小于 0 的数是负数；在同一个问题中，正数和负数表示相反意义；相反意义的量：南北；东西；
上下；左右；上升下降；高低；增长减少等
2，0 即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；不是有理数；
3，整数和分数统称有理数；有理数的分类:
按符号分 ①
负分数
负整数负有理数
零
正分数
正整数正有理数
有理数 按整数分数 ②
负分数
正分数分数
负整数
零
正整数
整数
有理数
(3)自然数 = 0 和正整数； a＞0 = a 是正数； a＜0 = a 是负数；
a≥0 = a 是正数或 0 a 是非负数； a≤ 0 = a 是负数或 0 = a 是非正数.
1，在小学我们知道，数的分类为整数和分数。如 1,8,39,…是整数， 1
3
， 3
4
，11
5
…是分数。上一节我们学习了另一种
新数：负数。那么整数就有正整数、负整数，分数就有了正分数、负分数；正整数、0、负整数和正分数、负分数我们
统称为有理数，有新的分类：
按符号（正或负）来作为划分标准的：
大柱子老师
负分数
负整数负有理数
正分数
正整数正有理数
有理数 0
按形式（整或分）来分类可分为：
），，负分数（如：
），，，正分数（如：
分数
），，，负整数（如：
），，，正整数（如：
整数
有理数
7
66.32
14
3.53
2
2
1
321
0
321
【练习巩固】
1，以下是一位同学的分类方法，你认为他的分类的结果正确吗？为什么？
负分数
负整数负有理数
正分数
正整数正有理数
有理数
；
2．把下列各数填入相应的大括号内：
-7，0.125， 1
2
，-3 ，3，0，50%，-0.3
（1）整数的有{ }（2）分数的有{ }
（3）负分数的有{ }（4）非负数的有{ }
（5）有理数的有{ }
考点二、数轴
1，数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.
2，数轴三要素：原点、正方向、单位长度。
3，所有的有理数都可以用数轴上的点来表示。但数轴上的点不只表示有理数，还有没学过的无理数。
4，通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向。
【练习巩固】
下列所画数轴对不对？如果不对，指出错在哪里．
①
4 52 31
②
-1 0 2 31
③
-1-2 0 21
④
0
⑤
-1 0 1
⑥
-1-2 0-3 21
⑦
-1-2 0 21
试一试：用你画的数轴上的点表示 4，1.5，-3，- 7
3
，0
一，判断题：
1、数轴上离开原点距离越大的点，表示的数越大。
2、所有的有理数都可以用数轴上的点来表示。
3、数轴上表示-3 的点在原点的左侧（规定向右的方向为正方向）。
4、因为零表示不存在，所以数轴上没有零这个点。
5、数轴上到原点的距离小于 2 的整数有 1 个。
二，填空题：
（1）、规定了 ________ 、 、 的直线叫做数轴。
大柱子老师
b0a
（2）、在数轴上离开原点 4 个长度单位的点表示的数是 ___________ 。
（ 3 ） 、 数 轴 上 与 原 点 之 间 的 距 离 小 于 5 的 表 示 整 数 的 点 共 有 _______ 个 ， 它 们 分别
是 。
（4）、在数轴上，点 A 表示-11，点 B 表示 10，那么离开原点较远的是 ______ 点。
（5）、在数轴上点 M 表示
2
12 ，那么与 M 点相距 4 个单位长度的点表示的数是
考点三、相反数
1，只有符号不同的两个数叫相反数．如 1 和-1 是相反数，但是 1 和-2 就不是相反数；
2，互为相反数的两个数在数轴上的对应点关于原点对称．
3，规定 0 的相反数就是 0；求一个数或者一个式子的相反数，就直接给他加括号，然后括号前面加一个“－”；如 a-b
的相反数是-（a-b）=b-a；a+b 的相反数是-（a+b）=-a-b；
4，互为相反数的两个数的和为 0，如 a 和 b 互为相反数，则有 a+b=0.
１．观察下列数：6 和-6，
3
22 和- ，7 和－7，
7
5 和－ ，并把它们在数轴上标出．
【练习巩固】
一、选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A．带“＋号”和带“－”号的数互为相反数
B．数轴上原点两侧的两个点表示的数是相反数
C．和一个点距离相等的两个点所表示的数一定互为相反数
D．一个数前面添上“－”号即为原数的相反数
2．下列说法错误的是（ ）
A．+（-3）的相反数是 3； B．-（+3）的相反数是 3
C．-（-8）的相反数是-8； D．-（+ 1
8
）的相反数是 8
3．有下列几种说法： ⑴ －5 是相反数；⑵ 5 和－5 都是相反数；⑶ 5 是－5 的相反数；⑷ －5 和 5 互为相反数.其中
正确的说法是（ ）
A. ⑴ ⑵ B. ⑵ ⑷ C. ⑴ ⑷ D. ⑶ ⑷
4．一个数的相反数大于它本身，这个数是（ ）
A．有理数 B．正数 C．负数 D．非负数
5．a-b 的相反数是（ ）
A．a+b B．-（a+b） C．b-a D．-a-b
二、填空题
6．-（-6.3）的相反数是________．
7．化简（1），-（- 3
2
）=________； （2），+（+ 1
5
）=_______；
（3），+[-（+1）]=________； （4），-[-（-5）]=_________．
8．若-a= 1
3
，则 a=_______，若-a=-7.7，则 a=________．
9．若-（b-2）是负数，则 b-2________0．
10．比较大小：
4
3 ______ ;8
7 )3
2( ______ );4
3(
)14.3( ______ )π( ．
11．如图所示，有理数 a，b 的位置．
（1）a______b； （2）-a________-b；
（3）-a_______b； （4）-b______+a．
考点四、绝对值
1，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作|a|；
2，正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0，也是本身。两个负数，绝对值大的反而小。
如 a>0，那么|a|=a；a<0，那么|a|=-a；如果 a=0，那么|a|=0。
3，|a|是重要的非负数，即|a|≥0；所以如果|a|+|b|+|c|=0，那么有 a=0，b=0，c=0；
4， 0a1a
a ； 0a1a
a ；
大柱子老师
5，一组数 6 与-6，3.5 与-3.5，1 和-1，它们是一对互为________，•它们的__________不同，__________相同．
【总结】 例如 6 和-6 两个数在数轴上的两点虽然分布在原点的两边，•但它们到原点的距离相等，如果我们不考虑两
点在原点的哪一边，只考虑它们离开原点的距离，这个距离都是 6，我们就把这个距离叫做 6 和－6 的绝对值．
想一想 （1）-3 的绝对值是什么？
（2）+
7
32 的绝对值是多少？
当 a 是正数时，|a|= a ；
当 a 是负数时，|a|= -a ；
当 a=0 时，|a|= 0 ；
3，正数大于 0,0 大于负数，正数大于负数；
4，两个负数，绝对值大的反而小。 例如：1 0,0 -1,1 -1，-1 -2 ；
【练习巩固】
1．下列各式中，等号不成立的是( )．
(A)｜－5｜＝5 (B)－｜5｜＝－｜－5｜
(C)｜－5｜＝｜5｜ (D)－｜－5｜＝5
2． |3
2| 的相反数是( )．
(A) 2
3 (B) 2
3 (C) 3
2 (D) 3
2
3．下列判断中，错误的是( )．
(A)一个正数的绝对值一定是正数 (B)一个负数的绝对值一定是正数
(C)任何数的绝对值都是正数 (D)任何数的绝对值都不是负数
4．填表：
有理数 －9 3.75 4
3 0 －0.001 －1
绝对值
相反数
5．一个正数的绝对值是______；______数的绝对值是它的相反数；______的绝对值是零；绝对值最小的数是______．
6． ______7.3 ； ______0 ； ______3.3 ； ______75.0 ．
7．一个数的绝对值是
3
2 ，那么这个数为______．
8. 若 5x + 3y =0 ，求 2x+y 的值
【典型例题】
例 1：如图，若数轴上的两点 A，B 表示的数分别为 a, b，则下列结论正确的是（ ）
A． 02
b a B. 0ab
C．2a + b > 0 D. 0ab
例 2：若 0, 0, 0,a b a b 将 , , ,a b a b按从小到大的顺序排列。
例 3：妈妈在女儿现在年龄时，女儿已满 2 岁，而当女儿到妈妈现在年龄时，妈妈满 80 岁，母女俩相差多少岁？
例 4：1. 一个数的相反数非负，则这个数是_________.2. （1） 2m 的相反数是________.（2）m, n 互为相反数，则
8 7 ( )ab m n= _________（3）m, n 互为相反数，a, b 互为倒数，则 1999 20001999 2000 ________m n ab
【练习巩固】
1.有理数- 1
a
一定不是( )A．正整数． B．负整数．C．负分数． D．0．
2，若a+1＜0，则在下列每组四个数中，按从小到大的顺序排列的一组是 ( )
大柱子老师
A．a，-1，1，-a．B．-a，-1，1，a．C．-1，-a，a，1．D．-1，a，1，-a．
3，a=-123.4-(-123.5)，b=123.4-123.5，c=123.4-(-123.5)，则 ( )
A．c＞b＞a． B．c＞a＞b．C．a＞b＞c． D．b＞c＞a．
4．若a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，那么下列式子中结果是正数的是 ( )
A．(a-b)(ab+a)． B．(a+b)(a-b)．C．(a+b)(ab+a)． D．(ab-b)(a+b)．
5．a，b，c，m都是有理数，并且a+2b+3c=m，a+b+2c=m，那么b与c ( )
A．互为相反数． B．互为倒数． C．互为负倒数． D．相等．
6,．a，b，c在数轴上的位置如图25所示,则下列代数式中其值为正的一个是 ( )
A. 1 ()a a cb
; B. 11()cabc
; C.(1-a)(c-b); D.ac(1-bc).
7,绝对值小于100的所有被3除余1的整数之和等于 ( )
A．0． B．-32．C．33． D．-33．
8. 1 9 9 4
1 9 9 4
的值的负倒数是( )
A.4 1
3
; B.- 3
13
; C.1; D.-1.
9, 1 1 1 1 1 1
1001 1000 1002 1001 1002 1000 =________.
10,.有理数a,b,c,d使 abcd
abcd
=-1,则 a b c d
a b c d 的最大值是_______.
【课堂演练】
1. 若｜a＋b|＝－（a＋b）,下列结论正确的是（ ）
A：a＋b≤0 B：a＋b<0 C：a ＋b=0 D：a＋b>0
2.如果 a<0,那么 a 和它的相反数的差的绝对值等于（ ）
A：a B：0 C：－a D：－2a
3.下列说法错误的个数是( )
①一个数的绝对值的相反数一定是负数;②只有负数的绝对值是它的相反数
③正数和零的绝对值都等于它本身;④互为相反数的两个数的绝对值相等
A：3 个 B：2 个 C：1 个 D：0 个
4. －2
3 的相反数是 ；倒数是 ；绝对值是 。
5. 在数轴上,离开表示数 2 的点距离是 3 的点表示的数是_______。
6．绝对值大于 1 而小于 4 的整数有 。
7．若 y+5>0,且│y+5│=14,那么 y=________。
8. 若│x│=2,│y│=3,则│x+y│的值为 。
9. 若│x-3│+│y+4│+│z-5│=0,求代数式 z-3y+x 的值.
10、已知 a,b 互为相反数，c,d 互为倒数，m 的倒数等于它本身，则 mmbam
cd )( 的结果是________
考点五、有理数的加法
1.有理数的加法法则
加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
1) 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
2) 互为相反数的两个数相加得 0；
大柱子老师
3) 一个数同 0 相加，仍得这个数。
例 1：计算
111 7 3 2 4 6 3 2 2 4 3.2 033
； ； ；
2.有理数加法的运算律（难点）
（1）加法交换律：a b b a
（2）加法结合律： a b c a b c
在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到简化的目的，通常有下列规律：
（1）互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”
（2）符号相同的数先相加——“同号结合法”
（3）分母相同的数先相加——“同分母结合法”
（4）几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”
（5）整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”
例 2：计算
111 3 232
；
2 26 14 16 18 ；
3 18.56 5.16 1.44 5.16 18.56
114 4.1 10.1 724
1 1 15 2 3 52 2 3
；
316 0.75 0.125 2 448
例 3：某出租车下午从停车场出发，沿着东西方向的大街进行汽车出租，到晚上 6 时，行驶记录如下（规定向东记为正，
向西记为负，单位：千米）
10 3 4 2 8 5 2 8 12 5 7 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
（1）到晚上 6 时，出租汽车在什么位置？
（2）若汽车每千米耗油 0.06 升，则从停车场出发到晚上 6 时，出租汽车共耗油多少升？
例 4：计算
1 2 3 4 5 6 99 100 ……
考点六、有理数的减法
1.有理数的减法法则（重点）
减去一个数，等于加这个数的相反数
例 5：计算
1 2 3 ; 2 0 3.72 2.72 4 ;
413373
2.有理数的加减混合运算（重点）
有理数加减混合运算的方法和步骤：
大柱子老师
（1）运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，然后省略加号和括号；
（2）运用加法交换律、加法结合律，使运算简便。
例 6：计算
（1） 9 10 2 8 3 ；
（2） （2） 5.13 4.62 8.47 2.3 ；
（3）
3 7 1 2 14 2 6 3
【典型例题】
题型一：有理数的加减混合计算
例 1：把 10 8 6 4 写成省略括号和加号的和的形式，并把表示和的算式读出来
例 2：计算
第1章 40 27 19 24 32 ； （2）
1 3 5 1
3 4 6 2
题型二：有理数减法的实际应用
例 3：某工厂 2009 年第一季度的效益如下：一月份获利润 150 万元，二月份比一月份少获利润 70 万元，三月份亏损 5
万元。
（1）一月份比三月份多获利润___________万元；
（2）第一季度该工厂共获利润___________万元。
题型三：有理数的加减在实际生活中的应用
例 4：某市冬季的一天，最高气温为 6 摄氏度，最低气温为-11 摄氏度，这天晚上的天气预报说，将有一股冷空气袭击该
市，第二天气温将下降 10 摄氏度~12 摄氏度，请你利用以上信息，估计第二天该市的最高气温不会高于多少？最低气温
不会低于多少？
例 5：以地面为基准，A 处高+2.5m，B 处高-17.8m，C 处高-32.4m。问：
第三节 A 处比 B 处高多少？
第四节 B 处和 C 处哪个地方高？高多少？
第五节 A 处和 C 处哪个地方低？低多少？
题型四：规律探究创新题
例 6：计算
1 2 3 4 5 6 99 100 ……
考点七、有理数的乘除
1、乘法法则
1、运用有理数的乘法法则计算时，符号的确定应与有理数加法法则的符号确定区别开来.有理数的乘法法则分三种情
况：
（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘.
大柱子老师
即①a＞0,b＞0,a·b＞0;②a＜0,b＜0,a·b＞0;③a＞0,b＜0,a·b＜0;④a＜0,b＞0,a·b＜0.
（2）多个数相乘时，积的符号由负因数的个数确定，当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个
时，积为正.
如（+16）×（－1）×（－
4
3 ）×（－2）=－（16×1×
4
3 ×2）=－24.而（－16）×（－1）×（－ ）×（－2）=16×1× ×2=24.×
××××
（3）无论几个数相乘，若有一个因数为 0，积就为 0.
如（－3）×0× )7
1( × )9
48( =0 反之，
①、若 a·b=0,则 a=0 或 b=0,这就是说，两数相乘，积为 0 时，这两个因数中至少有一个是 0.
②、任何数同+1 相乘，仍得任何数.同－1 相乘，得这个数的相反数.
如：（+1）× )8
1( =
8
1 ，（－1）× )8
1( = 8
1
乘法的交换律.：两个数相乘，交换因数的位置，积不变；
乘法的结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变；
分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两数相乘，再把积相加。
例 1 计算
（1）（－5）×（+3） （2）（－8）×（－7）
（3）（
5
13 ）×0 （4）0×π
例 2 计算
（1）（ +7）×（－8）× )88
21( ×0× )3
29( ×（－4.25）
（2）16×（－52）×0.5×（－0.25）
（3） )6
5
12
1
4
3
3
2( ×12
（4） 918
1799
【练习巩固】
一、填空题
1、如果 a＞0，b＜0,则 ab＿＿0.2、绝对值不大于 5 的所有负整数的积是＿＿＿。
3、如果 ab＞0,那么∣a＋b∣＿＿∣a∣＋∣b∣ 4、四个互不相等的整数 a.b.c.d.它们的积 abcd=9. 那么 a＋b＋c＋
d=＿＿。
5、–2.75 的相反数的倒数是＿＿＿。 -3 的倒数是＿＿＿。6、五个有理数的积是负数，那么这五个有理数中至少
有＿＿个负数。
7、如果 a＋b＜0, 且 ab＜0, 那么 8、若∣a∣=1,∣b∣=4, 且 ab＜0, 那么 a＋b=＿＿.
9、5×（-4.8）＋∣-2.3∣=＿＿＿＿。10、.a>0,b<0,则 ab_______0.
11、|a+2|=1,则a=_______.12、几个不等于0的有理数相乘，它们的积的符号如何确定_______.
13、(－2)×(－2)×(－2)×(－2)的积的符号是_______.14、若 0ba ，且 ba ，则 a 0。
15、若 3a ， 5b ，且a、b异号，则 ba 。16、当n是奇数时，
个n
)1()1)(1)(1(
。
17、计算 )5()18()2( 。18、绝对值小于8的所有的整数的和是 。
19、绝对值大于 1，小于 4 的所有整数的积是______。20、绝对值不大于 5 的所有负整数的积是______。
21、两个非零有理数相乘，同号得_____，异号得_____.22、零与任意负数的乘积得_____.
23、两数相除同号_____，异号_____.24、一个数的倒数是它本身，这个数是_____.
25、非零有理数与其倒数的相反数的乘积为_____.26、几个不等于0的数相乘，积的符号由______的个数决定.
27、自然数中，若两数之和为奇数，则这两个数_____.28、若两个自然数之积为偶数，则这两个数_____.
大柱子老师
29、若一个数的绝对值等于3，则这个数为______.30、如果a＞0，b＞0，c＜0，d＜0，则：
a·b·c·d____0 b
a
+1
2 d
c
____0 c
a
+ d
b
____0 （填写“＞”或“＜”号）
二、选择题
1.若mn>0,则m,n（ ）A.都为正 B.都为负C.同号 D.异号
2.已知ab<|ab|,则有（ ）A.ab<0 B.a
0,b<0 D.a<00 C.mn≤0 D.mn≥0
4.下列结论正确的是（ ）A.－1
3 ×3=1 B.|－|1
7 ×1
7 =－ 1
49
C.－1乘以一个数得到这个数的相反数
D.几个有理数相乘，同号得正
5.若 ab>0,则必有( )A.a>0, b>0 B.a<0,b<0 C.a>0,b<0 D.a.b 同号
6.若 ab=0,则必有( )A.a=b=0 B.a=0 C.a,b 至少有一个为 0 D.a.b 最多有一个为 0
7.一个有理数和它的相反数之积( )A.符号为正 B.符号为负 C.不大于零 D.不小于零
8.下列说法错误的是( )
A.一个数同 0 相乘,仍得 0 B.一个数同 1 相乘,仍得原数
C.一个数同-1 相乘,得原数的相反数 D.互为相反数的积为 1
9.如果a，b满足 0 ba ， 0ba ，则下列式子正确的是（ ）
A. ba B. ba C. 当 0a ， 0b 时， ba D. 当 0a ， 0b 时， ba
10.下列说法正确的是（ ）
A. 两个数的积大于每一个因数
B. 两个有理数的积的绝对值等于这两个数的绝对值的积
C. 两个数的积是0，则这两个数都是0
D. 一个数与它的相反数的积是负数
11.两个有理数的积是负数，和为零，则这两个有理数（ ）
A. 一个为零，另一个为正数 B. 一个为正数，另一个为负数
C. 一个为零，另一个为负数 D. 互为相反数
12.如果两个有理数在数轴上的对应点在原点的同侧,那么这两个有理数的积( )
A.一定为正 B.一定为负 C.为零 D. 可能为正,也可能为负
13.若干个不等于 0 的有理数相乘,积的符号( )
A.由因数的个数决定 B.由正因数的个数决定
C.由负因数的个数决定 D.由负因数和正因数个数的差为决定
14.下列说法正确的是（ ）
A、同号两数相乘，取原来的符号 B、两个数相乘，积大于任何一个乘数
C、一个数与 0 相乘仍得这个数 D、一个数与－1 相乘，积为该数的相反数
三、解答题
1、计算
1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 12 2 3 3 4 4
2、如果 a,b,c 满足 a+b+c=0,abc＞0，问 a,b,c 中有几个正数？为什么？
3、已知|a|=5,|b|=2,ab<0.求：1、3a+2b的值.2、ab的值.
4、上午6点水箱里的温度是78℃，此后每小时下降4.5℃,求下午2点水箱内的温度.
5、在某地区，夏季高山上的温度从山脚起每升高100米平均降低0.8 ℃,已知山脚的温度是24 ℃,山顶的温度是4 ℃,
试求这座山的高度.
2、倒数的概念
(1)定义：乘积为1的两个有理数互为倒数．即：ab＝1 a、b互为倒数
如：2和 2
1
互为倒数， － 3
2
和－ 2
3
互为倒数．
(2)倒数是它本身的数有：1和－1．
大柱子老师
(3)0的倒数：0没有倒数．
(4)互为倒数的两个数的特征．
①乘积为1 ②符号相同
一般地
aa 1 =1（a≠0）,也就是说 a 的倒数是
a
1 。
【练习巩固】
一、填空题
1. 2
11
的相反数是 ，倒数是 。2. 3
22
的倒数的相反数是 。
3.
)3
2
2
1(
的相反数是 ，倒数是 。
二. 选择题：
1. 一个数的倒数是它本身，则这个数是（ ）A. 1 B. 1 C. 0 D. 1
2. 若 0x ，则 x
x
的值是（ ） A. 1 B. 1 C. 0 D. 不能确定
3. 下列说法错误的是（ ）
A. 有理数m的倒数是 B. 两个数互为倒数，则这两个数的积是1
C. 两个数互为负倒数，则这两个数的积是 1 D. 0乘以任何数都等于0.
4．一个数的倒数是它本身，则这个数是（ ）A. 1 B. C. 0 D.
三、说出下列各数的倒数：1、－
4
3 、－（－4.5）、|－
2
3 | 1， —1， 1 ,3
1 ,3 5， —5， 2
3
，
2
3
3、有理数除法
(1)除以一个不等于 0 的数等于乘以这个数的倒数；0 除以任何一个不等于 0 的数都等于 0
（2）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
1、能整除时，一般根据法则 2，将商的符号确定后，直接将绝对值相除；
2、不能整除时，一般根据法则 1，将除数变为它的倒数，再用乘法；
几个非 0 的有理数相除，商的符号怎样确定?几个非 0 的有理数相除，商的符号由负数的个数决定：当负数的个数为奇
数时，商为负；当负数的个数为偶数时，商为正．
【练习巩固】
1.若1
x 有意义，则x_______ 2.若a>0,b<0,则a
b _______0,ab_______0.3.(－4)÷_______=－8,_______÷(－1
3 )=3.
4.一个数的2
5 是－16
5 ，这个数是_______.5.若a、b互为倒数，c、d互为相反数，则2c+2d－3ab=_______.6.（1）－
3
1 的
相反数是______，倒数是_______；（2）－2.6的相反数是_____，倒数是_____，绝对值是______；（3）若一个数的相
反数是－1
4
1 ，则这个数是______，这个数的倒数是______；（ 4）
5
3 的相反数的倒数是______；（ 5）若 a，b互为倒数，
则ab的相反数是______。7．若一个数的相反数为－2.5，则这个数是_____，它的倒数是_____8．倒数是它本身的数有
____，相反数是它本身的数有______9．若两个数a，b互为负倒数，则ab＝_____。
m
1
大柱子老师
10．当 x＝____时，代数式
2
1
x
没有意义。11．（1）如果 a>0，b<0，那么
b
a _____0；
（2）如果 a<0，b>0，那么 _____0；（3）如果 a<0，b<0，那么 _____0；（4）如果 a＝0，b<0，那么 _____0。
12、－2 的倒数是 ；－0.2 的倒数是 ，负倒数是 。13、被除数是 2
15
，除数是 12
11
的倒
数，则商是 。14、若ab
c <0， 0b ，则 a 0。15、若ab
c <0， 0ac ，则 b 0。
16、一个数的相反数是－5，则这个数的倒数是 。17、若 a·（－5）＝
5
8 ，则 a＝ 。
二、选择题
1.如果两个有理数的商等于0，则（ ）
A.两个数中有一个数为0 B.两数都为0
C.被除数为0，除数不为0 D.被除数不为0，除数为0
2.下列运算错误的是（ ）
A. 1
3 ÷(－3)=3×(－3) B.－5÷(－1
2 )=－5×(－2)
C.8－(－2)=8+2 D.0÷3=0
3.mn为相反数，则下列结论中错误的是（ ）
A.2m+2n=0 B.mn=－m2
C.|m|=|n| D. m
n =－1
4、下列说法正确的是（ ）
A.几个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负
B.几个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负
C.几个有理数相乘，当积为负数时，负因数有奇数个
D.几个有理数相乘，当负因数有偶数个时，积为负
5、如果两数之和等于零，且这两个数之积为负数，那么这两个数只能是（ ）
A.两个互为相反数的数
B.符号不同的两个数
C.不为零的两个互为相反数的数
D.不是正数的两个数
6、如果一个数的绝对值与这个数的商等于－1，则这个数是（ ）
A.正数 B.负数 C.非正 D.非负
7、下列说法错误的是（ ）
A.正数的倒数是正数
B.负数的倒数是负数
C.任何一个有理数a的倒数等于1
a
D.乘积为－1的两个有理数互为负倒数
8、如果abcd＜0，a+b=0，cd＞0，那么这四个数中负因数的个数至少有
（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
9、如果两个有理数a、b互为相反数，则a、b一定满足的关系为（ ）
A.a·b=1 B.a·b=－1 C.a+b=0 D.a－b=0
10、设a、b、c为三个有理数，下列等式成立的是（ ）
A.a(b+c)=ab+c B.(a+b)·c=a+b·c
C.(a－b)·c=ac+bc D.(a－b)·c=ac－bc
11、若 ab≠0, 则
|||| b
b
a
a 的取值不可能是（ ）
Ａ、０ Ｂ、１ Ｃ、２ Ｄ、－２
12、若 a+b＜0，不
a
b ＞0 则下列结论成立的（ ）
·“奇负偶正”的应用·
1、如下符号的化简（指负号的个
数与结果符号的关系），如：
-{+[-(-2)]}= -2
2、连乘式的积（指负因数的个数
与结果符号的关系），如：
(-1)×(-2)×(-3)×(+4)=-24
(-1)×(-2)×(-3)×(-4)=24
3、负数的乘方(指乘方的指数与
结果符号的关系)，如：
(-2)3=-8, (-3)2=9
4、分数的符号法则（指的是分
子、分母及分数本身三个符号
中，同时改变两个，值不变，但
改变一个或三个都改变时，分数
的值就变相反了），如：
2
1
2
1
2
1
；
b
a
b
a
b
a
大柱子老师
Ａ、a＞0,b＞0 B、a＜0,b＜0 C、a＞0,b＜0 D、a＜0,b＞0
13、下列说法错误的是（ ）
A．任何有理数都有倒数 B．互为倒数的两数的积等于 1
C．互为倒数的两数符号相同 D．1 和其本身互为倒数
14、两个有理数的商是正数，那么这两个数一定（ ）
A．都是负数 B．都是正数 C．至少一个是正数 D．两数同
号
三、判断题
1. -a
b = a
-b =－a
b . （ ）2.若a
b >0,则a>0,b>0. （ ） 3.若a=0,b≠0,则a
b =0. （ ）
考点八 有理数的乘方
一、基础知识
1.求几个相同因数的积的运算，叫做有理数的乘方。
即：an=aa…a(有 n 个 a)
2.从运算上看式子 aｎ，可以读作 ；
从结果上看式子 aｎ可以读作 .
二、知识题库
1. 33= ；（
2
1 ）2= ；-52= ；22 的平方是 ；
2.下列各式正确的是（ ）
A. 225 ( 5) B. 1996( 1) 1996
C. 2003( 1) ( 1) 0 D. 99( 1) 1 0
3.下列说法正确的是（ ）
A.如果 ab ，那么 22ab
B.如果 ，那么
C.如果 ab ，那么
D.如果 ，那么
4.在 2+32×（－6）这个算式中，存在着 种运算.请你们讨论、交流，上面这个式子应该先算 、再
算 、最后算 .
5.有理数的运算
① 2 253 [ ]39
②（-1）10×2+（-2）3÷4
③（-5）3－3× 41()2 ④11 1 1 3 5()5 3 2 11 4
6. （能力提升）已知 a =3， 2b =4，且ab ，求 ab 的值。
7. （能力提升）某大楼地上共有 12 层，地下共有 4 层，每层高 2.8 米，请用正负数表示这栋楼每层的楼
层号，某人乘电梯从地下 3 层升至地上 7 层，电梯一共上了多少米？
大柱子老师
三、直通中考
[2011 年雅安中考]下列运算正确的是（ ）
A、a3·a3=2a3 B、a3 +a3=2a6 C、(-2x)3=-6x3 D、a6÷a2=a4
考点九【近似数及有效数字】
一、基础知识
1.把一个大于 10 的数记成 a ×10n 的形式(其中 a 是整数数位只有一位的数)，叫做科学记数法.
2.对一个近似数，从左边第一个不是 0 的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字。
二、知识题库
1. 水星和太阳的平均距离约为 57900000 km 用科学记数法表示为 .
2.（1） 025.0 有 个有效数字，它们分别是 ；
（2） 320.1 有 个有效数字，它们分别是 ；中.考.资.源.网
（3） 61050.3 有 个有效数字，它们分别是 .
3.120 万用科学记数法应写成 ；2.4 万的原数是 .
4.我国的国土面积为9596950 平方千米，按四舍五入保留三个有效数字，则我国的国土面积可表示为 .
5.改革开放 30 年以来，成都的城市化推进一直保持快速、稳定的发展态势.据统计，到 2008 年底，成都市中心五城区
（不含高新区）常住人口已经达到 4410000 人，这这个常住人口数有如下几种表示方法：① 51041.4 人；② 61041.4
人；③ 5101.44 人。其中用科学记数法表示正确的序号为 .
6.下列说法正确的是（ ）
A、近似数 32 与 32.0 的精确度相同 B、近似数 32 与 32.0 的有效数字相同
C、近似数 5 万与近似数 5000 的精确度相同 D、近似数 0108.0 有 3 个有效数字
7.《广东省 2009 年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资 726 亿元，用科学记数法表示正确的
是（ ）
A、 101026.7 元 B、 9106.72 元 C、 1110726.0 元 D、 111026.7 元
8.已知 5.13 亿是由四舍五入取得的近似数，它精确到（ ）
A、十分位 B、千万位 C、亿位 D、十亿位
9.地球绕太阳转动每小时经过的路程约为 1.1×105km，声音在空气中每小时传播 1.2×103km，地球绕太阳转动的速度与
声音传播的速度哪个快？
10.把 47155 精确到百位可表示为 .
三、直通中考
1. [2009 年宁波中考]据《宁波市休闲旅游基地和商务会议基地建设五年行动计划》预计到 2012 年，宁波市接待游客容量
将达到 4640 万人次。其中 4640 万用科学记数法可表示为（ ）
A、 910464.0 B、 81064.4 C、 71064.4 D、 6104.46
2. [2008 年南充中考] “ 125 ”汶川大地震后，世界各国人民为抗震救灾，积极捐款捐物，截止 2008 年 5 月 27 日 12
时，共捐款人民币 327.22 亿元，用科学记数法（保留两位有效数字）表示为（ ）
A、 101027.3 B、 10102.3 C、 10103.3 D、 11103.3
【课堂演练】
一、精心选一选，慧眼识金！（每小题 3 分，共 24 分）
1.下列语句中，正确的是（ ）
A、两个有理数的差一定小于被减数 B、两个有理数的和一定大于这两个有理数的差
C、绝对值相等的两个有理数的差为零 D、零减去一个有理数，等于这个有理数的相反数。
2.下列各式中，总是正数的是（ ）。A、 a B、a2 C、a2+1 D、(a+1)2
3.任何一个有理数的平方（ ）
A．一定是正数 B．一定不是负数 C．一定大于它本身 D．一定不大于它的绝对值
4.把 30.9740 四舍五入,使其精确到十分位, 那么所得的近似数的有效数字的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5
5. 2008 年我国的国民生产总值约为 130800 亿元，那么 130800 用科学记数法表示正确的是（ ）
大柱子老师
A、 210308.1 B、 41008.13 C、 410308.1 D、 510308.1
6.计算(－1)1001÷(－1)2002 所得的结果是( ) A．1
2 B ．－1
2 C．1 D．－l
7.任何一个有理数的平方（ ）
A．一定是正数 B．一定不是负数 C．一定大于它本身 D．一定不大于它的绝对值
8.(9-10)·(10-11)·(11-12)·…·(108-109)的值为（ ）。A、1 B、-1 C、100 D、-100
二、耐心填一填，一锤定音！（每小题 3 分，共 18 分）
9.2009 年 4 月 16 日，国家统计局发布：一季度，城镇居民人均可支配收入为 4834 元，与去年同时期相比增长
10.2%.4834 用科学记数法表示为 .
10.50 名学生和 40kg 大米中, 是精确数, 是近似数.
11.温家宝总理在 2009 年政府工作报告中提出，今后三年内各级政府拟投入医疗卫生领域的资金将达到 8500 亿元人民
币，用科学记数法表示“8500 亿为______________.12.由四舍五入得到的近似数 01020.0 ，它的有效数字的个数为
_________个。13.若 x+y=0， 5x ，则 yx = 14.若实数 yx, 满足 0xy ，则
y
y
x
xm 的最大值
是 。
三用心做一做，马到成功！（本大题共 58 分）
15.计算（32 分）
（1） )]4
1()5
2[()3( （2） 3)4
11()2
13()5
3(
（3） )5()9
10()10
1()2
12( （4）
7
4)4
31()16
51()56(
（5） 22 )2(3 ； （6） ])3(2[6
11 24 ；
（7） ]2)33()4[()10( 222 ； （8） ])2(2[3
1)5.01()1( 24
16. （8 分） 若 ,mnnm 且 2),3,4 nmnm 求（ 的值。
17. （8 分）已知 a,b 互为相反数，c,d 互为倒数， 2x ，求 10a+10b+cdx 的值。
18.（9 分）已知：a 的相反数是－2，│b│=3，且 b<0，
求：5(2a－b)－3(5a－2b＋1)＋(4a－3b＋3)的值。
大柱子老师
0 a b
19. （9 分）已知（a＋1） 2 ＋（2b－3） 2 ＋ 1c =0,求
c
ab
3
＋
b
ca 的值
【考核达标】
一、选择题（每题 3 分，共 30 分）
1．－5 的相反数是 （ ） Ａ．5 Ｂ．－5 Ｃ． 1
5
Ｄ． 1
5
2．若家用电冰箱冷藏室的温度是 4℃，冷冻室的温度比冷藏室的温度低 22℃，则冷冻室的温度是 （ ）
A．－26℃ B．－18℃ C．26℃ D．18℃
3． 22 的倒数等于 （ ）Ａ．4 Ｂ． 4 Ｃ． 1
4
Ｄ． 1
4
4．有下列各数：8，－6.7，0，－80，－ 1
3
，－（－4），－|－3|，－（－62），其中属于非负整数的共有 （ ）
Ａ．1 个 Ｂ．2 个 Ｃ．3 个 Ｄ. 4 个
5．如图，数轴上所标出的点中，相邻两点间的距离相等，则点 A 表示的数为 （ ）
A．30 B．50
C．60 D．80
6. 近似数 4.20×104 的有效数字有（ ）A.5 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个
7．近年来，英美科学家公布了人类第一号染色体的基因测序图，这个染色体是人类“生命之书”中最长也是最后被破
解的一章．据报道，第一号染色体中共有 2.23亿个碱基对． 2.23亿这个数用科学记数法可表示为 （ ）
Ａ． 52.23 10 Ｂ． 62.23 10 Ｃ． 72.23 10 Ｄ． 82.23 10
8．已知 a ，b 两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是 （ ）
Ａ． ab Ｂ． 0ab
Ｃ． 0ba Ｄ． 0ab
9. 下列各式中，不正确
．．．
的是（ ）
A.-（-16）>0 B. 2.02.0 C.
7
5
7
4 D. 06
10．下列说法：
（1）在+3 和+4 之间没有正数； （2）在 0 与-1 之间没有负数；
（3）在+1 和+2 之间有很多个正分数； （4）在 0.1 和 0.2 之间没有正分数，
则正确的是（ ）A.（3） B.（4） C.（1）（ 2）（ 3） D.（3）（ 4）
二、填空题（每题 3 分，共 30 分）
11．一个数既不是正数，也不是负数，则这个数是 。
12．东、西两个相反方向，如果 4 米表示一个物体向西运动 4 米，那么+2 米表示 。
13．已知下列各数 15 ，0.003，
3
2 ，4.32， 3 ， 4.2 ，0，
2
1 中，正数有 个，负数有 个，整数有
个。
14．若 a 是绝对值最小的数，b 是最大的负整数，则 )( ba 。
15．与原点距离为 4 个单位长度的点有 个，它们是 。
O 100 A
大柱子老师
16． 是
2
1 的相反数， 是 5.1 的相反数。
17．比较大小：（1）－ 7
8
－ 6
7
（2） 1.0 －0.2 18．计算：－1÷9×
9
1= .
19．已知 3a ， 2b ，且 ab ＜0,则 ba = 。
20. 规定 125* baba ,则(-4)﹡6 的值为 。
三、解答题（共 60 分）
21．（10 分）把下列各数填在相应的括号里：
-5 +
3
1 0.62 4 0 -1.1
6
7 -6.4 -7 -7
3
1 .
正整数（ ）
负整数（ ）
非负数（ ）
负数 （ ）
正数 （ ）
22. (20 分)计算：(1)（-0.25） (-1.63) 400 (2) -72+2 (-3)2+(-6) 2)3
1(
（3） )4
11(11
3)2
1
3
1(2
15 . （4）
9
4)2
11(424
15.0 322
23.(10 分)画出数轴，把下列各数 0，2， 21 ， 3 ，－2.5 在数轴上表示出来，并用“＜”号把这些数连接起来．
24．(10 分) 悟空随师父扫完金光塔回来，累的唐僧满头大汗，八戒见状，忙端茶向前献勤，并关切的说道：“师父，
你这是扫了多少地啊，累成这个样子”？还未等唐僧说话，悟空抢言道：“傻猪头，你算算吧，塔共六层，以 100
平方米为标准，每层超过的平方米数记为正数，不足的平方米数记为负数，记录如下：＋30，＋18，＋10，0，－
15，－25。”八戒看后傻了眼，嘟嘟囔囔地说：“这咋算？……”请你帮八戒算出来。
25.（10 分）如果有理数 ,ab满足 22 (1 ) 0ab b ；
试求 1 1 1 1
( 1)( 1) ( 2)( 2) ( 2010)( 2010)ab a b a b a b
的值
大柱子老师
第三讲 整式
【考点归类】
考点一、基础知识
1.单项式：像 100t,6a2,6a3 这样都是数字和字母的积的式子叫做单项式。
2.单独的一个字母或者一个数字也叫单项式。
3.单项式中数字因式叫做单项式的系数，单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数。
4 多项式：几个单项式的和叫做多项式。
5.每个单项式叫做多项式的项。不含字母的项叫做常数项。
6.多项式里次数最高项的次数叫做多项式的次数。
7．单项式和多项式统称整式。
【练习巩固】
1.请写出下列单项式的系数和次数
2a 7abc -23b4 -
9
7 ab2
系数____次数____ 系数____次数____ 系数____次数____ 系数____次数____
2.请写出下列多项式的项和次数
X2+x+8 2a-3 -b3-2a2 7a+8b+9c
项___________ 项___________ 项___________ 项___________
次数_________ 次数_________ 次数_________ 次数_________
3.把下列各式分别填在相应的大括号内：-x,
3
b-a ，a2-
3
1 ，
m
3p-2n ，
5
nm 22
，-7，9.
单项式：{ …}，多项式：{ …}，整式：{ …}.
4.(能力提升)如果 M 和 N 都是 3 次多项式，则 M＋N 一定是（ ）
A.3 次多项式 B.6 次多项式
C.次数不低于 3 的多项式或单项式 D.次数不高于 3 的多项式或单项式
直通中考
[2010 年浙江中考]下列说法正确的是（）
A、 单项式与单项式的和一定是多项式。 B、0 既不是单项式也不是多项式。
C、 多项式-2a3+b3+c2 的次数是 8 D、多项式和单项式统称整式。
知识点二、整式的加减
一、基础知识
1.同类项：在多项式中， 所含字母 相同，并且相同字母的 指数 也分别相同的项叫做同类项。（同类项必需满足两个
条件，缺一不可）
2.合并同类项法则：
对应项的系数相加减，其余不变。（合并同类项的关键之处在于正确找到同类项）
3.取括号法则：
如果括号外的因数是正数，取括号后原括号内各项的符号与原符号相同。
如果括号外的因数是负数，取括号后原括号内各项的符号与原符号相反。
二、知识题库
1. 下列各式中，与 x2y 是同类项的是（ ）
A.xy2 B.2xy C.-x2y D.3x2y2
大柱子老师
2.计算：
（1） 2（x＋1）-x （2）-5（x2-3）-2（3x2＋5）
3.已知 A＝x3-2x2＋x-7，B＝6x2-8x＋4，C＝x3-2x2-9，
求：（1）A-2B＋C；（2）4A-2B＋3C.
4.老师在课堂上出了一道题：当 x＝34 689，y＝0.156 93 时，求 5x3-7x3y＋3x2y＋2x3＋7x3y-3x2y-7x3 的值.当很多同学
拿出计算器计算时，有一位同学却很快算出了答案，他求出的值是________________.
5.代数式 3m2-5m＋2 和代数式 3m2-4m＋2 的值分别为 M、N，则 M、N 之间的大小关系是怎样的？
6.由于看错了运算符号，“小马虎”把一个整式减去多项式 2ab-3bc+4，误认为加上这个多项式，结果得出答案是
2bc-1-2ab，问原题答案是多少？
7.当 x=
9
1 ，y=-3 时，求（x+y2）+（2x+
21
1
·y2）+（3x+
32
1
·y2）+…+（9x+
98
1
·y2）的值.
三、直通中考
[2010 年北京中考] 火车站和机场都为旅客提供打包服务，如果长、宽、高分别为 x、y、z 的箱子按图 15-1-4 的方式打
包，则打包的长至少为（ ）
图 15-1-4
A.4x+4y+10z B.x+2y+3z C.2x+4y+6z D.6x+8y+6z
【练习巩固】
一、选择题（每题 3 分，共 30 分）
1．下列计算正确的是 （ ）
A．a－2（b＋c）＝a－2b－2c
B．a－2b－c－4d＝a－c－2（b＋4d）
大柱子老师
C．－ 1
2
（a＋b）＋（3a－2b）＝ 5
2
a－b
D．（3x2y－xy）－（yx2－3xy）＝3x2y－yx2－4xy
2．化简 4a ＋a－4 的结果是（ ）
A．2a－8 B．8－2a C．2a－8 或 0 D．2a－8 或 8－2a-
3．设 M 是关于 x 的五次多项式，N 是关于 x 的三次多项式，则 （ ）
A．M＋N 是关于 x 的八次多项式 B．M－N 是关于 x 的二次多项式
C．M＋N 是不超过 8 次的多项式 D．以上都不对
4．（xyz2－4xy－1）＋（－3xy＋z2yx－3）－（2xyz2＋xy）的值 （ ）
A．与 x、y、z 的大小无关 B．与 x、y 的大小有关，而与 z 的大小元关
C．与 x 的大小有关，而与 y、z 的大小无关 D．与 x、y、z 的大小都有关
5．多项式 4n－2n2＋2＋6n2 减去 3（n2＋2n3－1＋3n）（ n 为自然数）的差一定是 （ ）
A．奇数 B．偶数 C．5 的倍数 D．以上答案都不对
6．下列代数式的值一定是正数的有 （ ）
①（m＋n）2，②x＋2，③x2＋1，④x2＋y2，⑤a2＋ 1b
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
7．已知多项式 A＝x2＋2y2－z2，B＝－4x2＋3y2＋2z2，且 A＋B＋C＝0，则 C 为 （ ）
A．5x2－y2－z2 B．3x2－5y2－z2
C．3x2－y2－3z2
D．3x2－5y2＋z2
8．当 x>0，y<0 且 x < y 时，化简 2 3 3 3x y x y 等于 （ ）
A．5x B．－5x C．6y D．－6y
9.代数式 3x2-4x+6=9,则 x2-
3
4 x+6 的值为（ ）
A．7 B.18 C.12 D.9
10.河南模拟 扑克牌游戏中，小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：
①第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于三张，且各堆牌的张数相同;
②第二步：从左边一堆拿出三张，放入中间一堆;
③第三步：从右边一堆拿出两张，放入中间一堆;
④第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆.
这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆的张数是（ ）
A.3 B.5 C.7 D.8
二、填空题（每题 3 分，共 30 分）
11．多项式－8xy2＋3x2y 与－2x2y＋5xy2 的和是_______．
12．多项式 2x－3y＋5z 与－2x＋4y－6z 的差是__________。
13．一个多项式加上 5x2－4x－3 得－x2－3x，则这个多项式为_________。
14．－x＋［2x＋3（ ）＋5y］＝－5x＋8y，则括号中的多项式为__________.
15．一个长方形的一边长为 2a＋3b，，另一边为 a＋b，刚这个长方形周长为__________。
16．多项式 2（x2－xy－3y2）－（3x2－axy＋y2）中不含 xy 项，则 a＝___________
大柱子老师
17．比 2x2－3x－7 多 4x2＋1 的多项式是_________。
18．已知 y＝ax5＋bx3＋cx－1，当 x＝－2 时，y＝10，那么当 x＝2 时，y＝_________．
19．把 x3－3x2y＋3xy2－y3 写成两个多项式的差的形式_________________________．
20.若单项式-4xm-2y3 与单项式
3
2 x3y7-2n 的和仍是单项式，则 m2+n2-(2m-2n)=_______.
三、计算题（每题 6 分，共 24 分）
21．1－2（1－2x＋x2）＋3（－x2＋x－1）
22．－5a2b＋3（3b2－a3b）－2（－2a2b＋3b2－3b）
23．－an－（－5an－1）－2（an－1－3an）
24．5（5a2－b2）＋2［－a2－b2）＋4（a2－ 1
4
b2）]＋a2
四、解答题（每题 9 分，共 36 分）
25．2（a2b＋3ab2）－4（ab2＋3a2b）－（a2b－2ab2），其中 a＝－ 1
2
，b＝ 1
3
26．已知 A＝x2＋x－2，B＝－x2＋1＋x，求（1）A＋B，（2）2A－3B
27.已知 x=2，y=-4 时，代数式 ax3+
2
1 by+5 的值是 1997，求当 x=-4，y=-
2
1 时，求代数式 3ax-24by3+4986 的值。
28.若代数式（2x2＋ax－y＋6）－（2bx2－3x＋5y－1）的值与字母 x 的取值无关，求代数式 a2－2b2＋4ab 的值．
第四讲 一元一次方程
【考点归类】
考点一、等式的性质
一、基础知识
1.含有未知数的等式叫方程
2. 只含有一个未知数,并且未知数的次数是 1 的方程叫一元一次方程
3.等式的性质：
（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个代数式,所得结果仍是等式。
（2）等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为 0），所得结果仍是等式。
二、知识题库
1.判断下列各式哪些是一元一次方程：
（1）
4
3 x=
2
1 ； （2）3x－2； （3）
7
1 y－
5
1 =
3
2x －1；
（4）5x2－3x+1； （5）3x+y=1－2y； （6）1－7y2=2y.
大柱子老师
2.若关于 x 的方程 3x3a+1－5=0 是一元一次方程，则 a=＿＿＿＿.3.写出一个解是－2 的一元一次方程为＿＿＿＿.
4.若 2x－a=3,则 2x=3+＿＿＿,这是根据等式的性质 1,在等式两边同时＿＿＿＿＿＿.
若－6a=4.5,则＿＿＿=－1.5,这是根据等式的性质,在等式两边同时＿＿＿＿＿___.
5.下列方程中以 x=
2
1 为解的是（ ）A.－2x=4 B.－2x－1=－3 C.－ x－1=－
4
3 D.－ x+1=
6.已知 5a－3b－1=5b－3a，利用等式的性质比较 a、b 的大小.
7.某钢铁厂今年 5 月份的某种钢产量是 50 吨，预计 6 月份产量是 a 吨，比 5 月份增长 x%，
那么 a 是（ ） A.50（1+x%） B.50x% C.50+x% D.50（1+x）%
8.已知关于 x 的方程 5x+3k=24 的解为 3，求 k2－1+k 的值
9.利用等式性质解方程：－
2
3 x+3=－10.
10.服装厂用 355 米布做成人服装和儿童服装,成人服装每套平均用布 3.5 米,儿童每套平均用布 1.5 米,现在已做了 80
套成人服装,用余下的布还可以做几套儿童服装?
三、直通中考
[2008 年山东中考]下列方程是一元一次方程的是（ ）．
A．-5x+4=3y2 B．5（m2-1）=1-5m2 C．2- 1
45
nn D．5x-3
考点二、解一元一次方程
一、基础知识
把等式一边的某项变号后移向等式的另一边，叫做移向。（移向要变号）
二、知识题库
1.在 1,－2, 这三个数中,是方程 7x+1=10－2x 的解的是＿＿＿＿.
2.当 k=＿＿＿＿时,方程 5x－k=3x+8 的解是－2.3.若代数式
2
1-x +
6
12x 与
3
1-x +1 的值相等,则 x=＿＿＿＿.
4.如果 2x5a－4－3=0 是关于 x 的一元一次方程,那么 a=＿＿＿＿,此时方程的解是＿＿＿＿.
5.如果 x＝－2 是方程 3x＋5＝
4
x －m 的解，那么 m2＝＿＿＿＿. 6.解方程:5x-|x|=8.
7.今年儿子 13 岁,父亲 40 岁,多少年后父亲的年龄是儿子年龄的 2.5 倍?
8.一群小孩分一堆梨,1 人 1 个多 1 个,1 人两个少 2 个,问有几个小孩、几个梨?
9.一个三位数，三个数位上的和是 17，百位上的数比十位上的数大 7，个位上的数是十位上的 3 倍，求这个三位数.
10.某市居民生活用电基本价格为每度 0.40 元，若每月用电量超过 a 度，超出部分按基本电价的 70%收费.
（1）某户五月份用电 84 度，共交电费 30.72 元，求 a.
（2）若该户六月份的电费平均为每度 0.36 元，求六月份共用电多少度？应交电费多少元？
三、直通中考
[2010 年辽宁中考]已知关于 x 的方程 ax＋2＝2（a－x），它的解满足|x＋ |＝0，则 a＝＿。
考点三、一元一次方程去括号与去分母
大柱子老师
一、基础知识
1．当 x= 时，代数式 2x 与代数式
2
8 x 的值相等 2.若 42 3x 与 3( ) 5x a a x 有相同的解，那么
1a ___
3．代数式 12 a 与 a21 互为相反数，则 a ．
4．小李在解方程 135 xa （x 为未知数）时，误将 x 看作 x ，解得方程的解 2x ，则原方程的解为
___________________________．
5．解下列方程
（1） )5(4)3(2 xx （2） 13
85
4
7 xx
6．已知等式 2( 2) 1 0a x ax 是关于 x 的一元一次方程（即 未知），求这个方程的解.
7．某人共收集邮票若干张，其中 1
4
是 2000 年以前的国内外发行的邮票， 1
8
是 2001 年国内发行的， 1
19
是 2002 年国内
发行的，此外尚有不足 100 张的国外邮票．求该人共有多少张邮票？
8.初一学生王马虎同学在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业只能看到：甲、乙两地相距 160 千米，摩托车的速
度为 45 千米/时，运货汽车的速度为 35 千米/时，_________________________________？请你将这道作业题补充完整并
列出方程解答．
9.如果方程 21x a x 的解是 4x ，求32a 的值
10．公园门票价格规定如下表：
购票张数 1～50 张 51～100 张 100 张以上
每张票的价格 13 元 11 元 9 元
某校初一（1）、（2）两个班共 104 人去游公园，其中（1）班人数较少，不足 50 人．
经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付 1240 元，问：
（1）两班各有多少学生？
（2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？
（3）如果初一（1）班单独组织去游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？
三、直通中考
[2008 年天津中考]有一些相同的房间需要粉刷，一天 3 名师傅去粉刷 8 个房间，结果其中有 40m2 墙面未来得及刷；
同样的时间内 5 名徒弟粉刷了 9 个房间的墙面．每名师傅比徒弟一天多刷 30m2 的墙面．
（1）求每个房间需要粉刷的墙面面积；
（2）张老板现有 36 个这样的房间需要粉刷，若请 1 名师傅带 2 名徒弟去，需要几天完成？
（3）已知每名师傅，徒弟每天的工资分别是 85 元，65 元，张老板要求在 3 天内完成，问如何在这 8 个人中雇用人员，
才合算呢？
考点四、实际问题与一元一次方程
一、基础知识
1、用列方程的方法解决实际问题的一般思路是分析数量关系，列出方程。
2、列方程的实质就是用两种不同的方法来表示同一个量。
大柱子老师
3、列方程解应用题的一般步骤是设未知数，列方程，解方程，求出方程的解。
4、实际问题中的数量关系比较隐蔽，关键是审题，弄清问题背景，分析清楚数量关系，特别是找出可以作为列方程依
据的相等关系。
①路程=
②工作总量=
③顺水航速= ，顺水航速= 。
④利润= ，利润率=
⑤如果一个两位数十位数字是 a，个位数字是 b，则这个两位数是：
二、知识题库
1.列方程表示下列语句所表示的等量关系：
（1）某校共有学生 1049 人，女生占男生的 40%，求男生的人数。
（2）两个村共有 834 人，甲村的人数比乙村的人数的一半还少 111 人，两村各有多少人？
（3）某汽车和电动车从相距 298 千米的两地同时出发相对而行，汽车的速度比电动车速度的 6 倍还多 15 千米，半小时
后相遇。求两车的速度。
（4）某人共用 142 元买了两种水果共 20 千克，已知甲种水果每千克 8 元，乙水果每千克 6 元，问这两种水果各有多少
千克？
2.一轮船航行于两个码头之间，逆水需 10 小时，顺水需 6 小时。已知该船在静水中每小时航行 12 千米，求水流速度和
两码头间的距离。
3.一商场把彩电按标价的九折出售，仍可获利 20%，如果该彩电的进货价是 2400 元，那么彩电的标价是多少元？
4.甲仓库储粮 35 吨 ，乙仓库储粮 19 吨，现调粮食 15 吨，应分配给两仓库各多少吨，才能使得甲仓库的粮食数量是乙
仓库的两倍？
5.一批宿舍，若每间住 1 人，有 10 人无处住；若每间住 3 人，则有 10 间宿舍无人住，那么这批宿舍有多少间，人有多
少个？
6.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为 11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么得到的新数
就比原数大 63，求原来的两位数。
7．一项工程，甲单独做 20 天完成，乙单独做 10 天完成，现在由乙先独做几天后，剩下的部分由甲独做，先后共话 12
天完成，问乙做了几天？
大柱子老师
8．某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将赔 25 元，而按定价的九折出售将赚 20 元，问这种商品
的定价是多少？
9.甲、乙两站相距 280 千米，一列慢车从甲站出发，每小时行驶 60 千米，一列快车从乙站
出发，每小时行驶 80 千米，问：
（1）两车同时开出，相向而行，出发后多少小时相遇？
（2）两车同时开出，同向而行，如果慢车在前，出发后多少小时快车追上慢车？
10.甲、乙二人在长为 400 米的圆形跑道上跑步，已知甲每秒钟跑 9 米，乙每秒钟跑 7 米．
(1)当两人同时同地背向而行时，经过几秒钟两人首次相遇？
(2)两人同时同地同向而行时，经过几秒钟两人首次相遇．
三、直通中考
[2009 年河北中考]为了鼓励居民节约用水，某市自来水公司对每户月用水量进行计费，每户每月用水量在规定吨数以
下的收费标准相同；规定吨数以上的超过部分收费标准相同，以下是小明家 1—4 月份用水量和交费情况：
月份 1 2 3 4
用水量（吨） 8 10 12 15
费用（元） 16 20 26 35
根据表格中提供的信息，回答以下问题：
（1） 求出规定吨数和两种收费标准；
（2） 若小明家 5 月份用水 20 吨，则应缴多少元？
（3）若小明家 6 月份缴水费 29 元，则 6 月份用水多少吨？
【练习巩固】
一、选择题（每题 3 分，共 30 分）
1. 不解方程，下列各解是方程 2 3 1
3 4 2xx的解是( )A． 6x B． 6x C． 1
2x D． 1
2x
2. 解方程 63
x，正确的是( )
A．解：
3
x =6，得 2x B．解： 6,3
x得 18x C．解：
3
x =6，解 2x D ．解： 6,3
x 得
18x
大柱子老师
3. 要锻造一个半径为 5cm，高为 8cm 的圆柱毛坯，应截取半径为 4cm 的圆钢( )
A．12.5cm B．13cm C．13.5cm D．14cm
4. 小明和小刚从相距 25.2 千米的两地同时相向而行，小明每小时走 4 千米，3 小时后两人相遇，设小刚的速度为 x 千米
/时，列方程得( )
A． 4 3 25.2x B．3 4 25.2x C．3(4 ) 25.2x D．3( 4) 25.2x
5 已知 0x ，且 2 3 0xx ，则 x ＝（ ）Ａ．－１ Ｂ．－２ Ｃ． 3
2 Ｄ．－３
6、已知 x=y，下列变形中不一定正确的是（ ）
A、 22 yx B、 yx 22 C、 ayax D、 22 c
y
c
x
7、一项工程甲单独做要 40 天完成，乙单独做需要 50 天完成，甲先单独做 4 天，然后甲乙两人合作 x 完成这项工程，则
可以列的方程是（ ）
Ａ． 1504040
4 x Ｂ． 1504040
4 x
Ｃ． 15040
4 x Ｄ． 1504040
4 xx
8.若式子 X-7 与 4X-9 的值互为相反数,则 X 的值等于( )
A.
3
16 B.
3
16 C.
5
16 D.
5
16
9.解方程 26
2
3
1 xx 去分母正确的是( )
A.2X-1-X+2=2, B.2X-1-X+2=12 C.2X-2-X-2=6 ,D.2X-2-X-2=1
10、有 m 辆客车及 n 个人.若每辆客车乘 40 人，则还有 10 人不能上车. 若每辆客车乘 43 人，则还有 1 人不能上车.下
列所列方程：
①40 10 43 1mm ② 10 1
40 43
nn ③40 10 43 1mm ④ 10 1
40 43
nn
其中正确的是 （ ） A.①②③ B. ②③④ C. ③④ D.②③
二、填空题（每题 3 分，共 30 分）
11. 若 2 1 7x ，则 ______ 5 2 3 3x x x ； ，则 _____x ．12. 已知代数式52x 的值与 1
10
互为倒数，则
_____x ．13. 方程 11 9x 的解是______．14. 当 ______x 时，代数式 45
3
x 的值是 1 ．
15. 已知单项式 5 2 11
2
nxy 与单项式 573xy是同类项，则 _______n ．16. 已知某商品降价 80%后的售价为 2800
元，则该商品的原价为__ ____元．17. 一个长方形苗圃，长比宽多 10 米，沿着苗圃走一圈要 140 米，这个苗圃占地
______米 2 ．18. 已知 4 个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶，现有 15 个矿泉水空瓶，若不交钱，最多可以喝_____瓶矿泉
水．
19. 某商店有两个进价不同的计算器都卖 64 元，其中一个赢利 60％，另一个亏本 20％，则在这次买卖中，这家商店
___________元（填赚或亏的数目）．
20. 已知三个数的比是5:7:9 ，若这三个数的和是 252，则这三个数依次是_________．
三、计算题（每题 5 分，共 30 分）
21. 解下列方程：
（1）5 2 7 8xx （2） 5 1 7
63
y
（3） 34
23
xx （4） 2( 2) 3(4 1) 9(1 )x x x
（5） 3 2 1 123
xx （6） 0.1 2 3 0.7 10.3 0.4
xx
四、解答题（共 30 分）
大柱子老师
22.（7 分） 解方程 2 3 1xx ．
23.( 7 分) 用 76cm 长的铁丝做一个长方形，要使长是 22cm，宽应当是多少 cm？
24.( 7 分) 某人共收集邮票若干张，其中 1
4
是 2000 年以前的国内外发行的邮票， 1
8
是 2001 年国内发行的， 1
19
是 2002
年国内发行的，此外尚有不足 100 张的国外邮票．求该人共有多少张邮票．
25.( 9 分) 某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出 1000 张票，筹出票款 6920 元，且每张成人票 8
元，学生票 5 元．
（1）问成人票与学生票各售出多少张？
（2）若票价不变，仍售出 1000 张票，所得的票款可能是 7290 元吗？为什么？
