高考数学极坐标系典型题目训练

高考数学极坐标系典型题目训练

极坐标系与参数方程 姓名：_______________班级：_______________考号：_______________‎ ‎1、选修4—4：若以直角坐标系的为极点，为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线的极坐标方程是．‎ ‎（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；‎ ‎（Ⅱ）若直线的参数方程为（为参数），当直线与曲线相交于两点，求．‎ ‎2、选修4—4：在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程 ‎    为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎   （Ⅰ）求圆C的极坐标方程；‎ ‎   （Ⅱ）直线的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O,P，与直 线的交点为Q，求线段PQ的长．‎ ‎3、选修4—4：在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，圆的方程为．‎ ‎（1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点坐标为，圆与直线交于两点，求的值．‎ ‎4、选修4—4：直角坐标系中，曲线（为参数），在以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线.‎ ‎（1）若，判断直线与曲线的位置关系；‎ ‎（2）若曲线上存在点到直线的距离为，求实数的取值范围.‎ ‎5、选修4—4：在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线：交于，两点.‎ ‎（Ⅰ）求的长；‎ ‎（Ⅱ）在以为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点的极坐标为，求点到线段中点的距离.‎ ‎6、选修4—4：在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线过点的直线（为参数）与曲线相交于点两点．‎ ‎（1）求曲线的平面直角坐标系方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）若成等比数列，求实数的值．‎ ‎7、选修4—4：在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．‎ ‎（I）写出圆的直角坐标方程；‎ ‎（II）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标．‎ ‎8、选修4—4：已知圆锥曲线C：（α为参数）和定点A（0，），F1、F2是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求直线AF2的直角坐标方程；‎ ‎（2）经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求||MF1|﹣|NF1||的值．‎ ‎9、选修4—4：已知直线：（为参数），：（为参数），‎ ‎（Ⅰ）当=时，求与的交点坐标；‎ ‎（Ⅱ）过坐标原点作的垂线，垂足为，为中点，当变化时，求点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。 ‎ ‎10、选修4—4：坐标系与参数方程 平面直角坐标系中，将曲线（为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线 ．以坐标原点为极点，的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线的方程为，求和公共弦的长度．‎ ‎1、解：（Ⅰ）由，得，．  ……………4分 所以曲线表示顶点在原点，焦点在轴上的抛物线．……………………5分 ‎（Ⅱ）将     …………………………6分 代入得，    …………………8分 ‎ …………………………10分 解法二：代入得，     ……………8分 ‎    ……………10分 ‎2、 (Ⅱ)设为点的极坐标，则有 ， 解得.   ‎ 设为点的极坐标，则有  解得 由于，所以，所以线段的长为2.          (10分)‎ ‎3、试题分析：（1)将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取恰当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法；(2）将参数方程转化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若有范围限制，要标出的取值范围；（2）直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式及直接代入并化简即可；而极坐标方程化为极坐标方程要通过变形，构造形如，，的形式，进行整体代换，其中方程的两边同乘以（或同除以）及方程的两边平方是常用的变形方法．‎ ‎4、解：（1）曲线的直角坐标方程为：，是一个圆；‎ 直线的直角坐标方程为：‎ 圆心到直线的距离，所以直线与圆相切        ……………5分 ‎（2）由已知可得：圆心到直线的距离 解得                                                    ……………10分 ‎5、解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），‎ 代入曲线C的方程得．‎ 设点A，B对应的参数分别为，则，，‎ 所以．            ……………………………………………（5分）‎ ‎（Ⅱ）由极坐标与直角坐标互化公式得点P的直角坐标为，‎ 所以点P在直线l上，中点M对应参数为，‎ 由参数t的几何意义，所以点P到线段AB中点M的距离．……(10分）‎ ‎6、 ‎ ‎7、【解析】（Ⅰ）圆C1的极坐标方程为ρ＝2，圆C2的极坐标方程ρ＝4cosθ．解，得ρ＝2，θ＝±，故圆C1与圆C2交点的坐标为（2，），（2，－）．‎ ‎ （Ⅱ） 圆C1与圆C2交点都在直线x＝1 上，于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为－≤θ≤．‎ ‎8、【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． ‎ ‎【专题】坐标系和参数方程．‎ ‎【分析】（1）由圆锥曲线C：（α为参数）化为，可得F2（1，0），利用截距式即可得出直线AF2的直角坐标方程．‎ ‎（2）直线AF2的斜率为，可得直线l的斜率为．直线l的方程为：，代入椭圆的方程化为=0，t1+t2=，利用||MF1|﹣|NF1||=|t1+t2|即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）由圆锥曲线C：（α为参数）化为，‎ 可得F2（1，0），‎ ‎∴直线AF2的直角坐标方程为：，化为y=．‎ ‎（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）．‎ ‎∵直线AF2的斜率为，∴直线l的斜率为．‎ ‎∴直线l的方程为：，‎ 代入椭圆的方程可得：=12，‎ 化为=0，‎ t1+t2=，‎ ‎∴||MF1|﹣|NF1||=|t1+t2|=．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的参数方程、直线的截距式与参数方程、参数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎9、解、（Ⅰ）当时，的普通方程为，的普通方程为。联立方程组 ，解得与的交点为（1,0）。---6分（Ⅱ）的普通方程为 ‎。A点坐标为，故当变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程为。‎ 故P点轨迹是圆心为，半径为的圆。----12分 ‎ ‎10、选修4—4：坐标系与参数方程 解：曲线（为参数）上的每一点纵坐标不变，‎ 横坐标变为原来的一半得到， ‎ 然后整个图象向右平移个单位得到， ‎ 最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到， ‎ 所以为， 又为，即， ‎ 所以和公共弦所在直线为， 所以到距离为， 所以公共弦长为． ‎