上海市松江二中2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

上海市松江二中2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

松江二中高二期中数学卷 一.填空题 ‎1.行列式中，元素的代数余子式的值为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据行列式的展开A21[2×（﹣2）﹣1×1]＝5计算可得结果．‎ ‎【详解】行列式中元素3的代数余子式的A21[2×（﹣2）﹣1×1]＝5，‎ 故答案为：5．‎ ‎【点睛】本题考查行列式的展开，考查行列式的展开式，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎2.已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则实数________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得，把x＝﹣1，y＝2，能求出a的值．‎ ‎【详解】∵线性方程组的增广矩阵为，该线性方程组的解为，‎ ‎∴，‎ 把x＝﹣1，y＝2，代入得﹣a+6＝4，解得a＝2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的性质的合理运用．‎ ‎3.若实数,满足，则目标函数的最大值为_____________.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ 由线性约束条件，得可行域如图：‎ 联立，得 由图象知：当函数的图象过点时，取得最大值为10‎ 故答案为10‎ 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎4.已知定点和曲线上的动点，则线段中点的轨迹方程是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出P，B的坐标，确定动点之间坐标的关系，利用动点B在圆x2+y2＝1上运动，可得轨迹方程．‎ ‎【详解】设线段AB中点为P（x，y），B（m，n），则m＝2x﹣4，n＝2y ‎∵动点B在圆x2+y2＝1上运动，‎ ‎∴m2+n2＝1，‎ ‎∴（2x﹣4）2+（2y）2＝1，‎ ‎∴（x﹣2）2+y2＝．‎ 故答案为：（x﹣2）2+y2＝．‎ ‎【点睛】本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，确定动点之间坐标的关系是关键．‎ ‎5.执行下图的程序框图，如果输入，则输出的值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，．‎ 考点：程序框图．‎ ‎6.已知点是直线上的任意一点，则的最小值为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得的最小值是点（1，﹣2）到直线2x+y+5＝0的距离，由此能求出结果．‎ ‎【详解】∵点P（m，n）是直线2x+y+5＝0上的任意一点，‎ ‎∴的最小值是点（1，﹣2）到直线2x+y+5＝0的距离，‎ ‎∴的最小值d．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查代数式的最小值的求法，是基础题，考查了点到直线的距离公式的应用．‎ ‎7.已知点在直线上，且点到、两点的距离相等，则点的坐标是__________.‎ ‎【答案】（1,2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二项展开式性质得点P在直线4x+y﹣6＝0，设P（a，﹣4a+6），由点P到A（2，5）、B（4，3）两点的距离相等，能求出点P的坐标．‎ ‎【详解】解：∵点P在直线=0上，‎ ‎∴点P在直线4x+y﹣6＝0，‎ 设P（a，﹣4a+6），‎ ‎∵点P到A（2，5）、B（4，3）两点的距离相等，‎ ‎∴ ，‎ 解得a＝1，‎ ‎∴点P的坐标是（1，2）．‎ 故答案为：（1，2）．‎ ‎【点睛】本题考查点的坐标的求法，考查行列式、直线方程、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎8.若直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程是______．‎ ‎【答案】，或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出直线的倾斜角，再根据直线和直线夹角为，可得直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，从而求得直线的方程．‎ ‎【详解】直线过点，且与直线的夹角为，‎ 且直线的斜率为，即直线的倾斜角为，‎ 设直线的倾斜角为，则，或，‎ 故直线的斜率不存在，或直线的斜率为，‎ 故直线的方程为或，‎ 即直线的方程为或，‎ 故答案：或 ‎【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，用点斜式求直线的方程，熟记两直线的夹角公式即可，属于基础题型．‎ ‎9.直线与连接A（4，5），B（-1，2）的线段相交，则的取值范围是___．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断直线恒过定点P（0，-1），计算PA、PB斜率，再利用数形结合求a的取值范围．‎ ‎【详解】解：由直线ax+y+1=0的方程，判断直线恒过定点P（0，-1），如图所示，‎ 计算，‎ 且或，‎ 则或，‎ 即实数a的取值范围是：或．‎ 故答案为：或．‎ ‎【点睛】本题考查直线的斜率与直线方程的应用问题，是基础题．‎ ‎10.如图，已知半圆的直径，是等边三角形，若点是边（包含端点）上的动点，点在弧上，且满足，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将向量转化为，代入，将所求向量的数量积转化为 ,表示在上的投影，由此可求得最小值.‎ ‎【详解】 ，由数量积的几何意义可知，当与重合时，在上的投影最短，‎ 此时，,故填2.‎ ‎【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，以及几何图形中向量问题的求解.属于中档题.‎ ‎11.直线与直线交于一点，且的斜率为，的斜率为，直线、与轴围成一个等腰三角形，则正实数的所有可能的取值为 ．‎ ‎【答案】或.‎ ‎【解析】‎ 设直线与直线的倾斜角为，，因为，所以，均为锐角，由于直线、与轴围成一个等腰三角形，则有以下两种情况：（1）时，，有，因为，解得；（2）时，，有，因为，解得.‎ 考点：直线与直线的位置关系.‎ ‎12.已知在平面直角坐标系中，依次连接点得到折线，若折线所在的直线的斜率为，则数列的前项和为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：先由题意得到数列的递推关系，然后根据累加法求得数列的通项公式，再结合通项公式的特征选择求和的方法求解即可．‎ 详解：由题意得直线的斜率为，即，解得．‎ 当时，直线斜率为，‎ 即，‎ ‎∴．‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎．‎ 又满足上式，‎ ‎∴．‎ ‎∴数列前项和为．‎ ‎ 点睛：本题将数列与解析几何综合在一起，考查数列的递推关系、数列通项公式和前n项和的求法，解题的关键是根据题意，将其中直线斜率的问题转化为数列的问题，然后再结合数列的相关知识求解．‎ 二.选择题 ‎13.在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，则可化为分段函数，利用反比例函数的图象可得结果.‎ ‎【详解】由，可知，‎ ‎，‎ 利用反比例函数的图象以及函数的对称性可得方程表示的曲线是，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数的图象，以及函数图象对称性的应用，属于简单题.‎ ‎14.已知向量和的夹角为，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数量积的运算律直接展开，将向量的夹角与模代入数据，得到结果．‎ ‎【详解】 ＝8+3－18＝8+3×2×3×－18＝－1，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查数量积的运算，属于基础题．‎ ‎15.如图，∥，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则满足条件的实数对可以是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平面向量的基本定理和平行四边形法则，可以将四个答案一一代入，判断点的位置，排除错误答案，即可得到结论．‎ ‎【详解】根据平面向量基本定理和平行四边形法则，‎ A（，），，此时P在线段AB上，‎ B（，），，此时P在直线AB的上方，‎ 同理，D（，），，此时P在直线AB的上方，‎ 因此ABD均不正确，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了向量的线性运算，平面向量的基本定理的应用，考查了代入验证法，属于基础题．‎ ‎16.已知直线：，：，和两点（0,1），（-1,0），给出如下结论：‎ ‎①不论为何值时，与都互相垂直；‎ ‎②当变化时，与分别经过定点A（0,1）和B（-1,0）；‎ ‎③不论为何值时，与都关于直线对称；‎ ‎④如果与交于点，则的最大值是1；‎ 其中，所有正确的结论的个数是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 对于①，当时，两条直线分别化为:，此时两条直线互相垂直，当 时，两条直线斜率分别为:,满足,此时两条直线互相垂直，因此不论为何值时，与都互相垂直，故①正确； 对于②，当变化时，代入验证可得:与分别经过定点和，故②正确； 对于③，由①可知:两条直线交点在以为直径的圆上，不一定在直线上，因此与关于直线不一定对称，故③不正确； 对于④，如果与交于点，由③可知:，则，所以的最大值是1，故④正确. 所有正确结论的个数是3.‎ 故选C 三.解答题 ‎17.已知向量，，‎ ‎（1）当时，求的值；‎ ‎（2）求的最大值与最小值．‎ ‎【答案】（1）（2）最大值与最小值分别为与 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据向量垂直坐标表示列式求解（2）先根据向量数量积化简函数，再根据二倍角公式以及辅助角公式化简，最后根据正弦函数性质求最值 详解】（1）‎ ‎（2）‎ 所以的最大值与最小值分别为与 ‎【点睛】本题考查向量垂直坐标表示、向量数量积坐标表示、二倍角公式、辅助角公式以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属综合中档题.‎ ‎18.设直线与.‎ ‎（1）若∥，求、之间的距离；‎ ‎（2）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）若l1∥l2，求出m的值，即可求l1，l2之间的距离；‎ ‎（2）表示直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积，配方法求出最大，即可求直线l2的方程．‎ ‎【详解】（1）若l1∥l2，则，‎ ‎∴，∴m＝6，‎ ‎∴l1：x﹣2y﹣1＝0，l2：x﹣2y﹣6＝0‎ ‎∴l1，l2之间的距离d；‎ ‎（2）由题意，，∴0＜m＜3，‎ 直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积Sm（3﹣m），‎ ‎∴m时，S最大为，此时直线l2的方程为2x+2y﹣3＝0．‎ ‎【点睛】本题考查直线方程，考查直线与直线的位置关系的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎19.已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，求：‎ ‎（Ⅰ）顶点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）直线的方程 ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）设，可得中点坐标，代入直线可得；将点坐标代入直线得，可构造出方程组求得点坐标；（Ⅱ）设点关于的对称点为，根据点关于直线对称点的求解方法可求得，因为在直线上，根据两点坐标可求得直线方程.‎ ‎【详解】（Ⅰ）设，则中点坐标为：‎ ‎，即：‎ 又，解得：，‎ ‎（Ⅱ）设点关于的对称点为 则，解得：‎ 边所在的直线方程为：，即：‎ ‎【点睛】本题考查直线方程、直线交点的求解；关键是能够熟练应用中点坐标公式和点关于直线对称点的求解方法，属于常考题型.‎ ‎20.类似于平面直角坐标系，定义平面斜坐标系：设数轴、的交点为，与、轴正方向同向的单位向量分别是、，且与的夹角为，其中，由平面向量基本定理：对于平面内的向量，存在唯一有序实数对，使得，把 叫做点在斜坐标系中的坐标，也叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为，在平面斜坐标系内，直线的方向向量、法向量、点方向式方程、一般式方程等概念与平面直角坐标系内相应概念以相同方式定义，如时，方程表示斜坐标系内一条过点，且方向向量为的直线.‎ ‎（1）若，，，求；‎ ‎（2）若，已知点和直线；‎ ‎①求的一个法向量；‎ ‎②求点到直线的距离.‎ ‎【答案】（1）；（2）①法向量；②.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用定义求出 ‎（2）①先求出l的方向向量为，由得法向量 ‎②利用向量投影公式求解即可 ‎【详解】（1）由已知，，，‎ 则，且，‎ 则 ‎=‎ ‎∴；‎ ‎（2）①直线l的方程可变形为：，直线l的方向向量为；‎ 设法向量为，由得，；‎ 令a＝﹣7，则b＝5，；‎ ‎②取直线l上一点B（0，2），则，所求为．‎ ‎【点睛】考查对斜坐标系的理解，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理，点到直线距离求法，直线的方向向量和法向量的概念．‎ ‎21.已知在平面直角坐标系中，，（），其中数列、都是递增数列.‎ ‎（1）若，，判断直线与是否平行；‎ ‎（2）若数列、都是正项等差数列，它们的公差分别为、，设四边形的面积为（），求证：也是等差数列；‎ ‎（3）若，（），，记直线的斜率为，数列前8项依次递减，求满足条件的数列的个数.‎ ‎【答案】（1）不平行；（2）证明见解析；（3）9个.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）确定A1（3，0），B1（0，4），A2（5，0），B2（0，7），求得斜率，可得A1B1与A2B2不平行；‎ ‎（2）因为{an}，{bn}为等差数列，设它们的公差分别为d1和d2，则an＝a1+（n﹣1）d1，bn＝b1+（n﹣1）d2，an+1＝a1+nd1，bn+1＝b1+nd2，从而可得，进而可证明数列{Sn}是等差数列；‎ ‎（3）求得，根据数列{kn}前8项依次递减，可得an﹣a+b＜0对1≤n≤7（n∈Z）成立，根据数列{bn}是递增数列，故只要n＝7时，7a﹣a+b＝6a+b ‎＜0即可，关键b1＝a+b≥﹣12，联立不等式作出可行域，即可得到结论．‎ ‎【详解】（1）由题意A1（3，0），B1（0，4），A2（5，0），B2（0，7），‎ 所以，‎ ‎，‎ 因为，所以A1B1与A2B2不平行．‎ ‎（2）因为{an}，{bn}为等差数列，设它们的公差分别为d1和d2，‎ 则an＝a1+（n﹣1）d1，bn＝b1+（n﹣1）d2，an+1＝a1+nd1，bn+1＝b1+nd2‎ 由题意 所以[b1+（n﹣1）d2]}‎ ‎，‎ 所以，‎ 所以Sn+1﹣Sn＝d1d2是与n无关的常数，‎ 所以数列{Sn}是等差数列 ‎（3）因为An（an，0），Bn（0，bn），‎ 所以 又数列{kn}前8项依次递减，‎ 所以0，‎ 对1≤n≤7（n∈Z）成立，‎ 即an﹣a+b＜0对1≤n≤7（n∈Z）成立．‎ 又数列{bn}是递增数列，所以a＞0，故只要n＝7时，7a﹣a+b＝6a+b＜0即可．‎ 又b1＝a+b≥﹣12，联立不等式作出可行域（如右图所示），易得a＝1或2，‎ 当a＝1时，﹣13≤b＜﹣6即b＝﹣13，﹣12，﹣11，﹣10，﹣9，﹣8，﹣7，有7个解；‎ 当a＝2时，﹣14≤b＜﹣12，即b＝﹣14，﹣13，有2个解，所以数列{bn}共有9个．‎ ‎【点睛】本题考查数列与解析几何的综合，考查等差数列的定义及线性规划知识，考查了分析问题解决问题的能力，综合性强．‎ ‎ ‎