内蒙古杭锦后旗奋斗中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学试题
奋斗中学2019—2020学年第一学期第一次月考
高二数学试题
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.抛物线的准线方程是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，将抛物线的方程变形为标准方程，分析可得其焦点位置以及的值，由抛物线的准线方程分析可得答案．
【详解】解：根据题意，抛物线的方程为：，则其标准方程为：，
其焦点在y轴正半轴上，且，则其准线方程为：；
故选A．
【点睛】本题考查抛物线的标准方程，注意先将抛物线变形为标准方程．
2.下列双曲线中，渐近线方程为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
由双曲线的渐进线的公式可行选项A的渐进线方程为，故选A.
考点：本题主要考查双曲线的渐近线公式.
3.已知双曲线的一条渐近线方程是y=,它的一个焦点是
，则双曲线的方程为()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用双曲线的渐近线的方程可得，再利用双曲线的焦点得及即可得出．
【详解】解：双曲线的一条渐近线方程是y=，
，双曲线的一个焦点是，，
联立，解得，此双曲线的方程为．故选B．
【点睛】本题考查的知识点是双曲线的简单几何性质，熟练掌握双曲线的图象和性质是解题的关键．
4.已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点
重合，是C的准线与E的两个交点，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：抛物线的焦点为所以椭圆的右焦点为即且椭圆的方程为抛物线准线为代入椭圆方程中得故选B.
考点：1、抛物线的性质；2、椭圆的标准方程．
5.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，椭圆的长轴长是短轴长的倍，即，再根据椭圆的离心率的计算公式，即可求解.
【详解】由题意，椭圆的长轴长是短轴长的倍，即，
则椭圆的离心率为，故选B.
【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的几何性质，合理应用的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6.已知0<θ<,则双曲线C1:=1与C2:=1的( )
A. 实轴长相等 B. 虚轴长相等
C. 离心率相等 D. 焦距相等
【答案】D
【解析】
【详解】∵0<θ<，∴sinθ
0)由抛物线定义知,xP+=4,
∴xP=3,yP==2,
因此S△POF=×2×=2.故选C.
9.圆锥曲线的焦距是（）
A. 3 B. 6 C. 3或 D. 6或
【答案】B
【解析】
【分析】
若圆锥曲线为椭圆，则，，求出，若圆锥曲线为双曲线，则，，求出，即可求出焦距．
【详解】当圆锥曲线为椭圆时，，，则，此时，所以焦距为6；当若圆锥曲线为双曲线时，，，则，此时，所以焦距为6，故选B．
【点睛】本题要对圆锥曲线的类型进行分类讨论，得出不同的基本量，属于基础题．
10.过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，若|AF|=3，则|BF|=( )
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设，及，利用抛物线的定义直接求出得值，进而得到的值，即可求解.
【详解】如图所示，设，及，
则点到准线的距离为，得到，即，
又由，整理得，
故选B.
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义和标准方程，以及几何性质的应用，其中解答中熟练利用抛物线的定义，合理转化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
11.设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由题意得，双曲线的离心率，
因为是减函数，所以当时，，所以，所以，故选B.
考点：双曲线的几何性质.
【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质及其应用，其中解答中涉及到双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，函数的单调性及函数的最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算、转化与化归思想的应用，本题的解得中把双曲线的离心率转化为的函数，利用函数的单调性是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档题.
12.设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】分析：由双曲线性质得到，然后在和在中利用余弦定理可得．
详解：由题可知
在中，
在中,
故选B.
点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题．
二、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13.双曲线的焦距为_______________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据，，之间的关系即可求出．
【详解】由已知=1，=4，所以=5，所以焦距为，故答案为．
【点睛】本题考查运用双曲线的基本量关系求焦距，是基础题．
14.已知为双曲线的左焦点，为上的点，若的长等于虚轴长的倍，点在线段上，则的周长为________.
【答案】44
【解析】
【详解】由题意因为PQ过双曲线的右焦点(5，0)，
所以P，Q都在双曲线的右支上，
则有，
两式相加，利用双曲线的定义得，
所以△PQF的周长为=28＋16＝44.
故答案为44.
15.已知点，是圆(为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】
【详解】依题意可知|BP|+|PF|=2，|PB|=|PA|
∴|AP|+|PF|=2
根据椭圆的定义可知，点P的轨迹为以A，F为焦点的椭圆，
a=1，c=，则有b=，
故点P的轨迹方程为,故答案为.
考点：本题主要考查椭圆的定义及几何性质，求轨迹方程的基本方法.
点评：利用定义法求轨迹方程的问题.
16.过抛物线上任意一点作轴的垂线，垂足为，动点在直线上，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
延长PQ与抛物线准线交于H,则，根据抛物线的定义转化为,则,根据图象可知当在一条直线上时，有最小值，过F作交于,交抛物线于P，当M与重合时，最小.
【详解】延长PQ与抛物线的准线交于H,如图：
则，
根据抛物线定义得：,
所以，
由图象可知当在一条直线上时，有最小值，
因此过F作交于,交抛物线于P，当M与重合时，最小，
且 ，
根据点到直线的距离公式可得，
所以 .
即所求最小值为.
【点睛】本题主要考查了抛物线的方程，抛物线的定义，及抛物线的简单几何性质，属于中档题.
三、解答题：（本题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.求椭圆的长轴长和短轴长、离心率、焦点坐标、顶点坐标.
【答案】见解析
【解析】
试题分析：将椭圆的方程化为标准方程，得到，进而得解.
试题解析：
椭圆化为标准方程：.其中：.
且焦点在y轴上.
长轴长；
短轴长
离心率:;
焦点坐标:;
顶点坐标:
18.已知抛物线的准线方程为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）直线交抛物线于、两点，求弦长.
【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）8.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）依已知得，所以；（Ⅱ）设，，由消去，得,再利用韦达定理求弦长.
【详解】（Ⅰ）依已知得，所以；
（Ⅱ）设，，由消去，得，
则，，
所以
.
【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平及其应用能力.
19.已知椭圆，过点P（2，1）引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.
【答案】
【解析】
【分析】
设直线交椭圆于，把两点坐标代入椭圆方程，利用点差法求得弦所在直线的斜率，则利用点斜式求得弦所在的直线方程．
【详解】解：设直线交椭圆于，由题意得：
，两式相减，化简可得，
为弦的中点，，
，
直线的方程为：，即
【点睛】本题主要考查了直线与椭圆相交关系的应用，训练了“设而不求”的解题思想方法，利用点斜式求直线的方程，属于中档题．
20.讨论当从到变化时，方程表示的曲线的形状．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据符号，对角
分五类进行讨论，由圆、椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体形状．
【详解】解：当时，，方程表示圆心在原点的单位圆；
当时，，方程表示焦点在轴上椭圆；
当时，，方程，得表示与轴平行的两条直线；
当时，，方程表示焦点在轴上双曲线；
当时，，方程表示焦点在轴上的等轴双曲线．
【点睛】本题考查了方程含有参数时讨论表示的曲线问题，需要根据系数的符号进行分类讨论，分别再由圆、椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体形状，考查了分类讨论思想．
21.椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为，离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点M（0，-1），直线l经过点N（2，1）且与椭圆C相交于A,B两点（异于点M），记直线MA的斜率为，直线MB的斜率为，证明 为定值，并求出该定值.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见证明
【解析】
【分析】
(Ⅰ)根据已知得到关于a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；(Ⅱ)先考虑直线l的斜率不存在的情况，再考虑斜率存在的情况，直线l的方程与椭圆的标准方程联立得到韦达定理，再求出，化简即得其为定值.
【详解】（Ⅰ）将代入中，由可得，
所以弦长为，
故有，解得，
所以椭圆的方程为：．
（Ⅱ）若直线l斜率不存在，即直线的方程为x=2，与椭圆只有一个交点，不符合题意．
设直线l的斜率为k，若k=0，直线l与椭圆只有一个交点，不符合题意，故k≠0.
所以直线l的方程为，即， 直线l的方程与椭圆的标准方程联立得：
消去y得:,
设，则，
把代入上式，得
，命题得证.
【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
22.已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E
的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.
【答案】（1） （2）
【解析】
试题分析：设出，由直线的斜率为求得，结合离心率求得，再由隐含条件求得，即可求椭圆方程；（2）点轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得的范围，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出值，则直线方程可求.
试题解析：（1）设，因为直线的斜率为，
所以，.
又
解得，
所以椭圆的方程为.
（2）解：设
由题意可设直线的方程为：，
联立消去得，
当，所以，即或时
.
所以
点到直线的距离
所以，
设，则，
，
当且仅当，即，
解得时取等号，
满足
所以的面积最大时直线的方程为：或.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.
