宁夏六盘山高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

宁夏六盘山高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

宁夏六盘山高级中学 ‎2019-2020学年第一学期高二期中测试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.设，且，则下列不等式成立的是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用不等式的性质可得正确，通过取特殊值即可得错误.‎ ‎【详解】，但是不成立，故不正确；‎ ‎，但是不成立,故不正确；‎ ‎，正确；‎ 时，，不成立，故选.‎ ‎【点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性 ‎2.在数列中，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用数列的递推公式逐项计算可得的值.‎ ‎【详解】，，，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用数列的递推公式写出数列中的项，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.在中，角的对边分别为，若，则 A. 无解 B. 有一解 C. 有两解 D. 解的个数无法确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得，根据，即可判定有两解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，因为，又由，且，所以有两解.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角形解的个数的判定，以及正弦定理的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎4.在等比数列中，，则其公比为 A. B. C. 2 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的性质，结合题中条件，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为在等比数列中，，‎ 所以，解得.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查等比数列的基本量的运算，熟记等比数列的性质即可，属于基础题型.‎ ‎5.在中，角、、的对边分别为、、，若，则的形状为（ ）‎ A. 正三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角公式和余弦定理可得出、、所满足的等式，进而可判断出的形状.‎ ‎【详解】，，‎ 由正弦定理和余弦定理得，‎ 变形整理得，即，‎ 即，即，‎ 或，因此，是等腰三角形或直角三角形.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查三角形形状的判断，涉及正弦定理和余弦定理边角互化思想的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎6.设，满足约束条件，则目标函数的最大值是（ ）‎ A. 3 B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组对应的平面区域，结合图形找出最优解，从而求出目标函数的最大值．‎ ‎【详解】作出不等式组对应的平面区域，如阴影部分所示；‎ 平移直线，由图像可知当直线经过点时，最大．‎ ‎，解得，即，所以的最大值为1．‎ 故答案为选C ‎【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划，也考查了数形结合的解题思想方法，属于基础题．‎ ‎7.已知正数、满足，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代数式和相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.‎ ‎【详解】正数、满足，，‎ 当且仅当时，等号成立.‎ 因此，的最小值为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，涉及的妙用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎8.给出下列三个命题：‎ ‎①若，则或的逆命题；‎ ‎②若，则的逆否命题；‎ ‎③若、，是奇数，则、中一个是奇数，一个是偶数.‎ 其中真命题的个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出原命题的逆命题，并判断其逆命题的真假，可判断命题①的正误；直接判断原命题的真假，可得出其逆否命题的真假，可判断命题②的正误；直接判断原命题的真假，可判断命题③的正误.综合可得出结论.‎ ‎【详解】对于命题①，原命题的逆命题为“若或，则”，该命题为真命题，命题①为真命题；‎ 对于命题②，命题“若，则”，其逆否命题也真命题，命题②为真命题；‎ 对于命题③，命题“若、，是奇数，则、中一个是奇数，一个是偶数”，该命题为真命题，命题③为真命题.‎ 因此，真命题的个数为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查四种命题真假的判断，涉及原命题与逆否命题真假性一致的应用，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎9.“函数在区间上单调递增”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数在区间上单调递增，求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断即可.‎ ‎【详解】二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.‎ 由于该函数在区间上单调递增，则，解得.‎ Ý，因此，“函数在区间上单调递增”是“”的必要不充分条件.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，在涉及参数问题时，一般转化为集合的包含关系来判断，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.‎ ‎10.已知的内角、、的对边分别为、、，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用正弦定理边角互化思想和两角和的正弦公式求出的值，然后利用余弦定理求出的值.‎ ‎【详解】，‎ 由正弦定理边角互化思想得，‎ 即，即，‎ ‎，，可得出，‎ 由余弦定理得，因此，，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查利用正弦定理与余弦定理解三角形，同时也考查了正弦定理边角互化思想的应用，也要注意两角和的正弦公式的内角和定理的应用，属于中等题.‎ ‎11.等差数列的首项为2，公差不等于0，且，则数列的前2019项和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设等差数列的公差为，根据题中条件求出公差，得到，再由裂项相消法即可求出结果.‎ ‎【详解】设等差数列的公差为，‎ 由，，可得，所以，因此，‎ 所以，‎ 所以 .‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、以及裂项相消法求数列的和，熟记公式即可，属于常考题型.‎ ‎12.若存在，使不等式成立，则实数取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，将问题等价转化为，然后讨论最大值，从而求出的取值范围.‎ ‎【详解】令，对称轴方程为，‎ 若存在，使不等式成立，‎ 等价于，‎ 当时，即，，解得，‎ 因为，所以；‎ 当时，即，，解得，‎ 因为，所以；‎ 因为，所以.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】主要考查了一元二次不等式存在性问题，属于中档题.这类型问题关键是等价转化为最值问题，通过讨论对应二次函数最值的情况，从而求出参数范围.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.命题“”的否定是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题的否定是全称命题这一结论即可.‎ ‎【详解】命题“”的否定是.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】这个题目考查了命题的否定的书写，特称命题的否定是全称命题，符合换量词，否结论，不变条件这一结论.‎ ‎14.设为等差数列的前项和，若，，则________.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ 在等差数列中， 成等差数列，成公差为2的等差数列，即 ‎ ‎15.如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，现测得，，米，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高______米 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 中，由三角形内角和定理求出，利用正弦定理求得的值，在直角中求出的值．‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以，‎ 在中，根据正弦定理可知，‎ 即，解得，‎ 在直角中，，‎ ‎，‎ 所以塔高米．故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理的实际应用，以及直角三角形的边角关系应用问题，是基础题．正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.‎ ‎16.如图所示是一个有层的六边形点阵，它的中心是一个点，算作第1层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，第层每边有个点，则这个点阵共有_________个点.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：首先对对题中所给的点阵进行分析可知规律，每层的边上除了端点外还有若干个点，这样经过分析，就可以得到每层的点数等于线段内部的点之和最后再加上留个顶点，从而求得每层的点的个数，之和应用等差数列求和方法求得结果.‎ 详解：根据题中所给的规律，可以断定第层每条边上有（去掉两个边的端点）个点，则第层共有（）个，‎ 所以这个点阵共有 个点，‎ 所以答案为.‎ 点睛：该题考查的是应用数列的有关问题来解决点阵的点的总数问题，处理上述解析过程中的方法外，还可以通过从第二层开始，每增加一层，就增加六个点，从而利用等差数列求和公式求得结果，注意对第一项要另外加上..‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知 ，：关于的方程有实数根.‎ ‎（1）若为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若为真命题，为真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根，则△=1﹣‎4a≥0，解得a的范围．（2）由题意得为真命题，为假命题求解即可.‎ ‎【详解】（1） 方程有实数根，得：得；‎ ‎（2）为真命题，为真命题 ‎ 为真命题，为假命题，即得.‎ ‎【点睛】本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、复合命题真假的判断方法，考查了推理能力，属于基础题．‎ ‎18.在△ABC中，分别为三个内角A、B、C对边，且 ‎(1)求角A；‎ ‎(2)若且求△ABC的面积．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）整理得：，再由余弦定理可得，问题得解．‎ ‎（2）由正弦定理得：，，，再代入即可得解．‎ ‎【详解】（1）由题意，得，‎ ‎∴；‎ ‎（2）由正弦定理，得，‎ ‎,‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正、余弦定理及三角形面积公式，考查了转化思想及化简能力，属于基础题．‎ ‎19.记为等差数列的前项和，已知，．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求，并求的最小值．‎ ‎【答案】（1），（2），最小值为−16．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据等差数列的求和公式，求得公差d，即可表示出的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）根据等差数列的求和公式得Sn=n2-8n，根据二次函数的性质，可得Sn的最小值.‎ ‎【详解】（I）设的公差为d，由题意得．由得d=2． ‎ 所以的通项公式为．‎ ‎（II）由（I）得． 所以当n=4时，取得最小值，最小值为−16．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项的和公式，考查了等差数列前n项和的最值问题；求等差数列前n项和的最值有两种方法：①函数法，②邻项变号法.‎ ‎20.已知数列的前项和，且；‎ ‎（1）求它的通项.‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，利用与的关系式，即可求得数列的通项公式；‎ ‎（2）由（1）可得，利用乘公比错位相减法，即可求得数列的前项和.‎ ‎【详解】（1）由，‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 当也成立，‎ 所以则通项；‎ ‎（2）由（1）可得，-‎ ‎，‎ ‎，‎ 两式相减得 ‎ 所以数列的前项和为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了数列和的关系、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”‎ 之后求和时，弄错等比数列的项数，着重考查了的逻辑思维能力及基本计算能力等.‎ ‎21.某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为万元时，销售量万件满足 （其中，为正常数），现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品万件还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为万元/万件．‎ ‎（1）将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；‎ ‎（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．‎ ‎【答案】（1）y=25-(+x)，（， a为正常数）;（2）当a≥3时，促销费用投入3万元时，厂家的利润最大；当O

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