【数学】2019届一轮复习人教A版（文）11-2概率学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（文）11-2概率学案

‎ 11.2 古典概型 最新考纲 考情考向分析 ‎1.理解古典概型及其概率计算公式.‎ ‎2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.‎ 全国Ⅰ对古典概型每年都会考查，主要考查实际背景的可能事件，通常与互斥事件、对立事件一起考查．在高考中单独命题时，通常以选择题、填空题形式出现，属于中低档题；与统计等知识结合在一起考查时，以解答题形式出现，属中档题.‎ ‎1．基本事件的特点 ‎(1)任何两个基本事件是互斥的；‎ ‎(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．‎ ‎2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．‎ ‎(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；‎ ‎(2)每个基本事件出现的可能性相等．‎ ‎3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.‎ ‎4．古典概型的概率公式 P(A)＝.‎ 题组一 思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽”与“不发芽”．( × )‎ ‎(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( × )‎ ‎(3)从市场上出售的标准为500±5g的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型．( × )‎ ‎(4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为.( √ )‎ ‎(5)从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.( √ )‎ ‎(6)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，且集合A中的元素个数为n，所有的基本事件构成集合I，且集合I中元素个数为m，则事件A的概率为.( √ )‎ 题组二 教材改编 ‎2．[P127例3]一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张卡片，随机地抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是( )‎ A. B. C. D. 答案 D 解析 抽取两张卡片的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种，和为奇数的事件有：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种．‎ ‎∴所求概率为＝.‎ ‎3．[P145A组T5]袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为( )‎ A. B. C. D. 答案 A 解析 从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P＝＝.‎ ‎4．[P133T4]同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为________．‎ 答案 解析 掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6种，所以点数不相同的概率P＝1－＝.‎ 题组三 易错自纠 ‎5．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为( )‎ A. B. C. D. 答案 C 解析 设两本不同的数学书为a1，a2,1本语文书为b，则在书架上的摆放方法有a1a2b，a1ba2，a2a1b，a2ba1，ba1a2，ba2a1，共6种，其中数学书相邻的有4种．‎ 因此2本数学书相邻的概率P＝＝.‎ ‎6．将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a－2b＋4<0成立的事件发生的概率为________．‎ 答案 解析 由题意知(a，b)的所有可能结果有4×4＝16(种)，‎ 其中满足a－2b＋4<0的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，共4种结果．‎ 故所求事件的概率P＝＝.‎ 题型一 基本事件与古典概型的判断 ‎1．下列试验中，古典概型的个数为( )‎ ‎①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；‎ ‎②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；‎ ‎③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；‎ ‎④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率．‎ A．0B．1C．2D．3‎ 答案 B 解析 ①中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，‎ 所以不是古典概型；‎ ‎②④的基本事件都不是有限个，不是古典概型；‎ ‎③符合古典概型的特点，是古典概型．‎ ‎2．(2018·沈阳模拟)有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1个正四面体玩具出现的点数，y表示第2个正四面体玩具出现的点数．试写出：‎ ‎(1)试验的基本事件；‎ ‎(2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件；‎ ‎(3)事件“出现点数相等”包含的基本事件．‎ 解 (1)这个试验的基本事件为 ‎(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，‎ ‎(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，‎ ‎(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，‎ ‎(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．‎ ‎(2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件为 ‎(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，‎ ‎(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．‎ ‎(3)事件“出现点数相等”包含的基本事件为 ‎(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．‎ ‎3．袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．‎ ‎(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？‎ ‎(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？‎ 解 (1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．‎ 又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．‎ ‎(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，‎ 又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为，而白球有5个，‎ 故一次摸球摸到白球的可能性为，‎ 同理可知摸到黑球、红球的可能性均为，‎ 显然这三个基本事件出现的可能性不相等，‎ 故以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型．‎ 思维升华一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．‎ 题型二 古典概型的求法 典例 (1)(2017·全国Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )‎ A. B. C. D. 答案 D 解析 从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：‎ 基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，∴所求概率P＝＝.‎ ‎(2)袋中有形状、大小都相同的4个球，其中1个白球，1个红球，2个黄球，从中一次随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为________．‎ 答案 解析 设取出的2个球颜色不同为事件A，基本事件有：(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)，共6种，事件A包含5种，故P(A)＝.‎ ‎(3)(2017·北京西城区期末)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图)这6个点中任取2个点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X>0，就去打球，若X＝0，就去唱歌，若X<0，就去下棋，则小波不去唱歌的概率是________．‎ 答案 解析 根据题意可知，X的所有可能取值为－2，－1,0,1.数量积为－2的有·，共1种；数量积为－1的有·，·，·，·，·，·，共6种；数量积为0的有·，·，·，·，共4种；数量积为1的有·，·，·，·，共4种，故所有可能的情况共有1＋6＋4＋4＝15(种)，其中X≠0的情况有1＋6＋4＝11(种)，故根据古典概型的概率计算公式知小波不去唱歌的概率P＝.‎ 引申探究 ‎1．本例(2)中，若将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2，3,4的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率．‎ 解 基本事件数仍为6.设标号和为奇数为事件A，则A包含的基本事件为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种，‎ 所以P(A)＝＝.‎ ‎2．本例(2)中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同的概率．‎ 解 基本事件为(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，共16种，‎ 其中颜色相同的有6种，‎ 故所求概率P＝＝.‎ 思维升华求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择．‎ 跟踪训练(2017·山东)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．‎ ‎(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；‎ ‎(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．‎ 解 (1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个．‎ 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3‎ ‎}，共3个，‎ 则所求事件的概率为P＝＝.‎ ‎(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个．‎ 包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：‎ ‎{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，‎ 则所求事件的概率为P＝.‎ 题型三 古典概型与统计的综合应用 典例 (2017·郑州模拟)空气质量指数(AirQualityIndex，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；>300为严重污染．一环保人士记录了某地2016年某月10天的AQI的茎叶图如图所示．‎ ‎(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数；(按这个月总共有30天计算)‎ ‎(2)若从样本中的空气质量不佳(AQI>100)的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率．‎ 解 (1)从茎叶图中发现该样本中空气质量优的天数为1，空气质量良的天数为3，故该样本中空气质量优良的频率为＝，估计该月空气质量优良的频率为，从而估计该月空气质量优良的天数为30×＝12.‎ ‎(2)该样本中为轻度污染的共4天，分别记为a1，a2，a3，a4；‎ 为中度污染的共1天，记为b；为重度污染的共1天，记为c.‎ 从中随机抽取两天的所有可能结果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b)，(a1，c)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b)，(a2，c)，(a3，a4)，(a3，b)，(a3，c)，(a4，b)，(a4，c)，(b，c)，共15个．‎ 其中空气质量等级恰好不同的结果有(a1，b)，(a1，c)，(a2，b)，(a2，c)，(a3，b)，(a3，c)，‎ ‎(a4，b)，(a4，c)，(b，c)，共9个．‎ 所以该两天的空气质量等级恰好不同的概率为＝.‎ 思维升华有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键．‎ 跟踪训练从某学校2016届高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组比第七组多1人，第一组和第八组人数相同．‎ ‎(1)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；‎ ‎(2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名，记他们的身高分别为x，y，求|x－y|≤5的概率．‎ 解 (1)由频率分布直方图知，前五组的频率为(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，‎ 所以后三组的频率为1－0.82＝0.18，‎ 人数为0.18×50＝9，‎ 由频率分布直方图得第八组的频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2，设第六组人数为m，则第七组人数为m－1，又m＋m－1＋2＝9，所以m＝4，即第六组人数为4，第七组人数为3，频率分别为0.08,0.06，频率除以组距分别等于0.016,0.012，则完整的频率分布直方图如图所示：‎ ‎(2)由(1)知身高在[180,185)内的男生有四名，设为a，b，c，d，身高在[190,195]的男生有两名，设为A，B.‎ 若x，y∈[180,185)，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6种情况；‎ 若x，y∈[190,195]，只有AB1种情况；‎ 若x，y分别在[180,185)，[190,195]内，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8种情况，‎ 所以基本事件的总数为6＋8＋1＝15，‎ 事件|x－y|≤5包含的基本事件的个数为6＋1＝7，‎ 故所求概率为.‎ 六审细节更完善 典例(12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.‎ ‎(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；‎ ‎(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n0，‎ 所以f(x)在R上单调递增，若f(x)在[1,2]上有零点，‎ 则需经验证有(1,2)，(1,4)，(1,8)，(2,4)，(2,8)，(2,12)，(3,4)，(3,8)，(3,12)，(4,8)，(4,12)，共11对满足条件，而总的情况有16对，‎ 故所求概率为.‎ ‎16．甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．‎ ‎(1)设(i，j)表示甲、乙抽到的牌的牌面数字(如果甲抽到红桃2，乙抽到红桃3，记为(2,3))，写出甲、乙两人抽到的牌的所有情况；‎ ‎(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？‎ ‎(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜，你认为此游戏是否公平？请说明理由．‎ 解 (1)方片4用4′表示，则甲、乙两人抽到的牌的所有情况为：(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种不同的情况．‎ ‎(2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是2,4,4′，因此乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为.‎ ‎(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大，有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种情况．‎ 甲胜的概率为P1＝，乙胜的概率为P2＝.‎ 因为<，所以此游戏不公平．‎