广东省高州市2021届高三上学期第一次模拟考试（12月）数学试题 Word版含答案

广东省高州市2021届高三上学期第一次模拟考试（12月）数学试题 Word版含答案

高州市 2020～2021 届高三第一次模拟考试 数学 本卷命题范围：高考范围。 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共 8 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合 M＝{x|2x2-5x-3＜0}，N＝{-2，1，2，4}，则 M∩N＝ A．{-2，1，2} B．{1，2} C．{1，4} D．{1，2，4} 2．设复数 z＝1-（1-i）3，则|z|＝ A．1 B．2 C． 5 D． 13 3．如图所示的△ABC 中，点 D 是线段 AC 上靠近 A 的三等分点，点 E 是线段 AB 的中点， 则 DE  A． 1 1 3 6BA BC   B． 1 1 6 3BA BC   C． 5 1 6 3BA BC   D． 5 1 6 3BA BC   4．设集合 M＝{x|x＞2}，P＝{x|x＜6}，那么“x∈M 或 x∈P”是“x∈M∩P”的 A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．函数   | | 2 e sinx xf x x  的部分图象大致为 A． B． C． D． 6．已知抛物线 C：y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，直线 y＝k（x＋2）与抛物线 C 交于点 A （1，2），B，则|FB|＝ A．3 B．4 C．5 D．6 7．已知正六边形 A1A2A3A4A5A6 的边长为 1，在这 6 个顶点中任意取 2 个不同的顶点 Ai， Aj（1≤i＜j≤6）得到线段 AiAj，则|AiAj|{1，2}的概率为 A． 1 6 B． 1 3 C． 2 5 D． 3 5 8．如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面展开图中，B，C 是线段 AD 的三等分点，且 3 3AD  ．若该三棱柱的外接球 O 的表面积为 12π，则 AA1＝ A． 2 B．2 C． 5 D． 2 2 二、多项选择题：本题共 4 小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。 9．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所 得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人 所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得 多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法正确的是 A．甲得钱是戊得钱的 2 倍 B．乙得钱比丁得钱多 1 2 钱 C．甲、丙得钱的和是乙得钱的 2 倍 D．丁、戊得钱的和比甲得钱多 1 3 钱 10．如图是函数 f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，则下列说法 正确的是 A．ω＝2 B． π ,06     是函数，f（x）的一个对称中心 C． 2π 3   D．函数 f（x）在区间 4ππ, 5      上是减函数 11．若 0＜x＜y＜1，则下列结论正确的是 A． 1 1 1log log 2 2xy xyx y       B．ex＞ex-y C．xn＜yn，n∈N* D．logxy＞logyx 12．已知函数 f（x）＝x2＋sinx，则下列说法正确的是 A．f（x）有且只有一个极值点 B．设 g（x）＝f（x）·f（-x），则 g（x）与 f（x）的单调性相同 C．f（x）有且只有两个零点 D．f（x）在 π0, 2      上单调递增 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共 4 小题 13．当 a 为常数时， 6 2 1 axx     展开式中常数项为 15，则 a＝________． 14．在△ABC 中，若 2sin sin a b cB A   ，则△ABC 是________三角形． 15．已知圆 M：x2＋y2-12x-14y＋60＝0，圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x＝6 上，则圆 N 的标准方程为________． 16．若 xex＝5， 5eln 1y y   ，则 xy＝________． 四、解答题：本题共 6 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．从条件①2b-a＝2ccosA，②ctanC-acosB＝bcosA，③ 4cos 5c B a b  中任选一个，补充 在下面的问题中，并给出解答． 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a＝1， 3b  ，________，求△ ABC 的面积． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分． 18．2020 年 10 月 1 日既是中华人民共和国第 71 个国庆日，又是农历中秋节，双节同庆， 很多人通过短视频 APP 或微信、微博表达了对祖国的祝福．某调查机构为了解通过短视频 APP 或微信、微博表达对祖国祝福的人们是否存在年龄差异，通过不同途径调查了数千个 通过短视频 APP 或微信、微博表达对祖国祝福的人，并从参与者中随机选出 200 人，经统 计这 200 人中通过微信或微博表达对祖国祝福的有 160 人．将这 160 人按年龄分组：第 1 组[15，25），第 2 组[25，35），第 3 组[35，45），第 4 组[45，55），第 5 组[55，65]，得到的 频率分布直方图如图所示： （1）求 a 的值并估计这 160 人的平均年龄； （2）把年龄在第 1，2，3 组的居民称为青少年组，年龄在第 4，5 组的居民称为中老年组， 选出的 200 人中通过短视频 APP 表达对祖国祝福的中老年人有 26 人，问是否有 99％的把 握认为是否通过微信或微博表达对祖国的祝福与年龄有关？ 附： P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      19．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn（n∈N*）． （1）若{an}为等差数列，a1＝-1， 6 5 11 9 a a  ，求 Sn 和 an 的表达式； （2）若数列{Sn}满足 1 22 1 1 1 3 52 2 2 nnS S S n      ，求 an． 20．如图，在四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中，AA1⊥底面 ABCD，AD⊥AB，AD∥BC，且 1 12AB AD BC   ， 1 2AA DC  ． （1）求证：平面 BDD1B1⊥平面 CDD1C1； （2）求二面角 C—BD1—C1 所成角的余弦值． 21．已知点 P（-2，-1）为椭圆 C： 2 2 2 2 1x y a b   （a＞b＞0）上一点，且椭圆 C 的一个焦点与 抛物线 2 4 3y x 的焦点重合，过点 P 作直线 PA，PB，与椭圆 C 分别交于点 A，B． （1）求椭圆 C 的标准方程与离心率； （2）若直线 PA，PB 的斜率之和为 0，证明：直线 AB 的斜率为定值． 22．设函数   ex axf x  ，a≠0，a∈R． （1）讨论 f（x）的单调性； （2）当 a＝1 且 m∈（0，ln2）时，函数     1lnx m x xF x f x      （x＞0），证明：F（x）存 在极小值点 x0，且 m＋lnx0＜0． 高州市 2020～2021 届高三第一次模拟考试·数学 参考答案、提示及评分细则 1．B  2 1| 2 5 3 0 | 32M x x x x x           ，所以 M∩N＝{1，2}，故选 B． 2．D z＝1-（1-i）2（1-i）＝1＋2i（1-i）＝1＋2＋2i＝3＋2i，所以 2 2| | 3 2 13z    ，故 选 D． 3．B 依题意， 1 1 1 1 1 1 1 3 2 3 3 2 6 3DE DA AE AC BA BC BA BA BA BC                     ，故选 B． 4．C 5．B 由题知，     | | 2 e sinx xf x f xx      在（-∞，0）∪（0，＋∞）上恒成立，所以函数   | | 2 e sinx xf x x  是奇函数，其图象关于原点中心对称，排除 C；因为 π 02f      ，f（π）＝0， 排除 A，D，故选 B． 6．C 由点 A（1，2）在抛物线 C 上得 p＝2，设 2 ,4 tB t      ，由直线过定点（-2，0）得     2 2 1 2 24 tk t      ，解得 t＝4（舍去 2），B（4，4），所以| | 4 52 pFB    ．故选 C． 7．C 由已知得，  | | 1, 3,2i jA A  （1≤i＜j≤6），  | | 1,2 | | 3i j i jA A A A   （1≤i＜j≤6），在 这 6 个顶点中任意取 2 个不同的顶点 Ai，Aj（1≤i＜j≤6），得到以下 15 条线段：A1A2，A1A3， A1A4，A1A5，A1A6，A2A3，A2A4，A2A5，A2A6，A3A4，A3A5，A3A6，A4A5，A4A6，A5A6， 其中满足| | 3i jA A  （1≤i＜j≤6）的有以下 6 条线段：A1A3，A1A5，A2A4，A2A6，A3A5， A4A6，根据古典概型的计算公式得，|AiAj|{1，2}的概率为 6 2 15 5  ，故选 C． 8．D 由展开图可知，直三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面是边长为 3 的等边三角形，其外接 圆的半径满足 32 2sin 60r   ，所以 r＝1．由 4πR2＝12π得 3R  ．由球的性质可知，球心 O 到 底 面 ABC 的 距 离 为 2 2 2d R r   ， 结 合 球 和 直 三 棱 柱 的 对 称 性 可 知 ， 1 2 2 2AA d  ，故选 D． 9．AC 依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 a-2d，a-d，a，a＋d，a＋2d，则由题 意可知，a-2d＋a-d＝a＋a＋d＋a＋2d，即 a＝-6d，又 a-2d＋a-d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5， 所以 a＝1，所以 1 42 1 2 6 3a d          ， 1 71 6 6a d         ， 1 51 6 6a d         ， 1 22 1 2 6 3a d          ，所以甲得 4 3 钱，乙得 7 6 钱，丙得 1 钱，丁得 5 6 钱，戊得 2 3 钱，所 以甲得钱是戊得钱的 2 倍，故 A 正确；乙得钱比丁得钱多 7 5 1 6 6 3   钱，故 B 错误；甲、丙 得钱的和是乙得钱的 4 13 27 6   倍，故 C 正确；丁、戊得钱的和比甲得钱多 5 2 4 1 6 3 3 6    钱， 故 D 错误．综上，故选 AC． 10．ACD 由题知，A＝2，函数 f（x）的最小正周期 11π 5π2 π12 12T        ，所以 2π 2T    ， 故 A 正确；因为 11π 11π 11π2sin 2 2sin 212 12 6f                       ，所以11π π2 π6 2k   ，k ∈Z，解得 4π2 π 3k   ，k∈Z，又|φ|＜π，所以 2π 3   ，故 C 正确；函数   2π2sin 2 3f x x     ， 因为 π π 2π π2sin 2 2sin 3 06 6 3 3f                     ，所以 π ,06     不是函数 f（x）的一个 对称中心，故 B 错误；令 π 2π 3π2 π 2 2 π2 3 2m x m     ，m∈Z，得 π 5ππ 12 12m x mx    ， m∈Z，当 m＝-1 时， 13π 7π 12 12x    ，因为 4π 13π 7ππ, ,5 12 12               ，所以函数 f（x） 在区间 4ππ, 5      上是减函数，故 D 正确．故选 ACD． 11．ABC 因为 0＜x＜y＜1，所以 0＜xy＜1， 1 11 y x   ，所以 1 1 1 1 22 2x y x y xy      ， 所以 1 1 2 1log log log 2 log log 2 2xy xy xy xy xyxyx y xy          ，故 A 正确；因为 0＜x＜y＜1， 所以 x＞0＞x-y，所以 ex＞ex-y，故 B 正确；因为 0＜x＜y＜1，所以 0＜xn＜yn＜1，n∈N*， 故 C 正确；因为 0＜x＜y＜1，所以 0＜logxy＜logxx＝1，logyx＞logyy＝1，所以 logxy＜1＜ logyx，故 D 错误．故选 ABC． 12．ACD 由题知，f'（x）＝2x＋cosx，f"（x）＝2-sinx＞0，所以 f'（x）＝2x＋cosx 在 R 上单调递增，当 x＝0 时，f'（x）＝1＞0；当 1 2x   时，   1' 1 cos 02f x     ，所以存在 0 1 ,02x      ，使得 f'（x0）＝0，所以函数 f（x）＝x2＋sinx 在（-∞，x0）上单调递减，在 （x0，＋∞）上单调递增，所以 f（x）有且只有一个极值点，故 A 正确；因为 f（-x）＝x2-sinx， 所以 g（x）＝f（x）·f（-x）＝x4-sin2x，所以 g'（x）＝4x3-2sinxcosx＝4x3-sin2x 所以 g'（0） ＝0，故 g（x）的一个极值点为 0，所以 g（x）与 f（x）的单调性不相同，故 B 错误；因为 f（x）有且只有一个极值点 x0， 0 1 ,02x      ，且 f（0）＝0，所以 f（x）在（-∞，x0）和（x0， ＋∞）上各有一个零点，所以 f（x）有且只有两个零点，故 C 正确；因为 y＝x2 与 y＝sinx 在 π0, 2      上都是单调递增，所以 f（x）＝x2＋sinx 在 π0, 2      上单调递增，D 正确．故选 ACD． 13．±1 6 2 1 axx     的第 r＋1 项为    62 12 3 6 6 r rr r r rC x ax C a x    ，令-12＋3r＝0，得 r＝4，所 以 4 4 6 15C a  ，解得 a＝±1． 14．等腰直角 若 2sin sin a b cB A   ，则 sin sin 2sinsin sin A B CB A   ，由 sin sin 2sin sin A B B A   ，当且仅 当 sinA＝sinB 时取等号，即 A＝B．又 2sinC≤2，则 2≤2sinC≤2，即 sinC＝1， π 2C  ，△ABC 为等腰直角三角形． 15．（x-6）2＋（y-1）2＝1 圆 M 的标准方程为（x-6）2＋（y-7）2＝25，所以圆心 M（6， 7），半径为 5．由圆心 N 在直线 x＝6 上，可设 N（6，y0）．因为 N 与 x 轴相切，与圆 M 外 切，所以 0＜y0＜7，于是圆 N 的半径为 y0，从而 7-y0＝5＋y0，解得 y0＝1．因此，圆 N 的 标准方程为（x-6）2＋（y-1）2＝1． 16．5e 由 5eln 1y y   得 ln e5e 5eln 1 ln ln 5 ln e 5e e e e yy y y yy y y         由 xex＝5 得 x ＞ 0 ， 故 函 数 f （ x ） ＝ xex （ x ＞ 0 ） 为 单 调 递 增 函 数 ， ln ee e xy yx    ， 又 ∵ e 5 5 5ee x yx x xy     ． 17．解：选择①，因为 2b-a＝2ccosA， 所以由余弦定理得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c a b c ab a c bc b       ， 所以 a2＋b2-c2＝ab， 所以由余弦定理得 2 2 2 1cos 2 2 2 a b c abC ab ab     ， 所以 3sin 2C  ， 所以△ABC 的面积为 1 1 3 3sin 1 32 2 2 4ab C      ． 选择②，因为 ctanC-acosB＝bcosA， 所以由正弦定理得 sinCtanC-sinAcosB＝sinBcosA， 所以 sinCtanC＝sinAcosB＋sinBcosA＝sin（A＋B）＝sinC． 又 0＜C＜π，所以 sinC≠0， 所以 tanC＝1，所以 π 4C  ，所以 2sin 2C  ， 所以△ABC 的面积为 1 1 2 6sin 1 32 2 2 4ab C      ． 选择③，因为 4cos 5c B a b  ， 所以由正弦定理得 4sin cos sin sin5C B A B  ， 即 5sinCcosB-5sin（B＋C）＝5sinCcosB-（5sinBcosC＋5cosBsinC）＝4sinB， 所以 sinB（4＋5cosC）＝0． 又 0＜B＜π，所以 sinB≠0， 所以 4cos 5C   ，所以 3sin 5C  ， 所以△ABC 的面积为 1 1 3 3 3sin 1 32 2 5 10ab C      ． 18．解：（1）由 10×（0.01＋0.015＋a＋0.03＋0.01）＝1 得 a＝0.035． 这 160 人的平均年龄为 20×10×0.01＋30×10×0.015＋40×10×0.035＋50×10×0.03＋60×10×0.01＝41.5． （2）前 3 组人数为 10×（0.010＋0.015＋0.035）×160＝96， 由题意得 2×2 列联表： 通过短视频 APP 表达祝福 通过微信或微博表达祝福 合计 青少年 14 96 110 中老年 26 64 90 合计 40 160 200  2 2 200 14 64 26 96 8.081 6.63540 160 110 90K         ， 所以有 99％的把握认为是否通过微信或微博表达对祖国的祝福与年龄有关． 19．解：（1）设等差数列{an}的通项为 an＝-1＋（n-1）d（d 为等差数列的公差）， 则 6 5 1 5 11 1 4 9 a d a d     ，解得 2d   ， 所以 an＝1-2n，   21 1 2 2n n nS n      ． （2）当 n≥2 时， 1 22 1 1 1 3 52 2 2 nnS S S n      ，① 1 2 12 1 1 1 1 3 22 2 2 nnS S S n      ，② 由①-②得， 1 32 nn S  ，Sn＝3×2n， 当 n＝1 时， 1 1 82 S  ，S1＝16， 所以 3 2 , 2, 16, 1. n n nS n      当 n＝1 时，a1＝S1＝16；当 n＝2 时，a2＝S2-S1＝12-16＝-4； 当 n≥3 时，an＝Sn-Sn-1＝3×2n-1， 所以 1 16, 1, 4, 2, 3 2 , 3. n n n a n n         20．（1）证明：因为 AD⊥AB， 1 12AB AD BC   ， 所以 BC＝2， 2BD  ， 因为 2DC  ，所以 BD2＋DC2＝BC2， 所以∠BDC＝90°，即 BD⊥CD． 因为 AA1⊥底面 ABCD， 所以 DD1⊥底面 ABCD，所以 BD⊥DD1． 因为 DD1∩CD＝D，所以 BD⊥平面 CDD1C1， 又 BD  平面 BDD1B1，所以平面 BDD1B1⊥平面 CDD1C1． （2）解：如图，分别以 DB，DC，DD1 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 D-xyz， 则 D（0，0，0），  2,0,0B ，  0, 2,0C ，  1 0,0, 2D ，  1 0, 2, 2C ． 所以  1 2,0, 2BD   ，  1 1 0, 2,0D C  ，  1 0, 2, 2D C   ， 设平面 CBD1 的法向量为  , ,m x y z ， 则 1 1 2 2 0, 2 2 0, BD m x z D C m y z               令 x＝1，得  1,1,1m  ． 设平面 C1BD1 的法向量为  , ,n a b c ， 则 1 1 1 2 2 0, 2 0, BD n a c D C n b              令 a＝1，得  1,0,1n  ， 所以 2 6cos , 3| | | | 3 2 m nm n m n           ， 由图知二面角 C-BD1-C1 为锐角， 所以二面角 C-BD1-C1 所成角的余弦值为 6 3 ． 21．（1）解：由题设，得 2 2 4 1 1a b   ，①且 2 2 3a b  ，② 由①②解得 a2＝6，b2＝3， 所以椭圆 C 的标准方程为 2 2 16 3 x y  ， 椭圆 C 的离心率为 2 2 2 2 2 c a be a a    ． （2）证明：设直线 PA 的斜率为 k，则直线 PB 的斜率为-k， 记 A（x1，y1），B（x2，y2）． 设直线 PA 的方程为 y＋1＝k（x＋2）， 与椭圆 C 的方程联立，并消去 y 得（1＋2k2）x2＋（8k2-4k）x＋8k2-8k-4＝0， 则-2，x1 是该方程的两根， 则 2 1 2 8 8 42 1 2 k kx k     ，即 2 1 2 4 4 2 1 2 k kx k     ． 设直线 PB 的方程为 y＋1＝-k（x＋2）， 同理得 2 2 2 4 4 2 1 2 k kx k     ． 因为 y1＋1＝k（x1＋2），y2＋1＝-k（x2＋2）， 所以       21 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 2 8 2 2 4 1 2 18 1 2 AB k k x k x k x xy y kk kx x x x x x k              ， 因此直线 AB 的斜率为定值． 22．（1）解：因为    1' e ex x a xa axf x   ， 若 a＞0， 当：x∈（1，＋∞）时，f'（x）＜0，所以 f（x）在（1，＋∞）上为减函数； 当 x∈（-∞，1）时，f'（x）＞0，所以 f（x）在（-∞，1）上为增函数． 若 a＜0， 当 x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0，所以 f（x）在（1，＋∞）上为增函数； 当 x∈（-∞，1）时，f'（x）＜0，所以 f（x）在（-∞，1）上为减函数． （2）证明：因为 a＝1，所以   1e lnxF x m x x       ，x∈（0，＋∞）， 则   2 2 1 1 1 2 1' e ln e e lnx x xF x m x m xx x x x x                         ， 因为 ex＞0，所以 F'（x）与 2 2 1 lnm xx x    同号． 设   2 2 1 lnt x m xx x     ，x∈（0，＋∞），则   2 3 2 2' x xt x x   ， 所以对任意 x∈（0，＋∞），都有 t'（x）＞0，所以 t（x）在（0，＋∞）上单调递增． 因为 m∈（0，ln2），t（1）＝m＋1＞0， 1 1ln 02 2t m       ， 所以存在 0 1 ,12x     ，使得 t（x0）＝0． 当 0 1 ,2x x    时，F'（x）＜0，F（x）单调递减； 当 x∈（x0，1）时，F'（x）＞0，F（x）单调递增； 所以若 m∈（0，ln2），存在 0 1 ,12x     ，使得 x0 是 F（x）的极小值点． 由 t（x0）＝0 得： 02 0 0 2 1 ln 0m xx x     ， 即 0 0 2 2 0 0 0 1 21 2ln 0xm x x x x      ． 故 m＋lnx0＜0． 后面手写