中考数学复习指导动态几何问题的坐标解法

中考数学复习指导动态几何问题的坐标解法

动态几何问题的坐标解法 ‎ 在近几年各地的中考试题中，动态几何问题一直是考试的热点和难点.从题型上分，动态几何主要有动点、动线和动图这三类，从运动的形式上看，有平移、翻折、旋转等.‎ ‎ 动态几何问题是学生学习中的难点，一方面，它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，灵活运用数形结合，对多个知识点以及多种解题思想进行考查.另一方面，这类题综合性强，能力要求高，要求学生能灵活运用已有知识对题目进行分析、探索、转换，其思想方法大多是建立在对几何图形分析的基础上.其中有些题目学生用几何方法解决起来比较麻烦，或者很难想到怎样解决，本文介绍另一种解决动态几何问题的方法——通过构建平面直角坐标系来解决动态几何问题，这种方法对解决下列几种问题有一定的优越性.当然，用这个方法有个很重要的前提:建立直角坐标系后，图中各个点的坐标都能比较方便地表示出来.‎ ‎ 一、最值与轨迹长度问题 ‎ 例1 如图1，已知正方形的边长为4，点是边上的一个动点，连结，过点作的垂线交于点，以为边作正方形，顶点在线段上，对角线、相交于点.‎ (1) 在点从点到点运动的过程中，的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到边的距离的最大值;‎ (2) 当点点从点运动到点时，点也随之运动，求点经过的路径长.‎ ‎ 分析 本题可以用几何的方法解决，但第(1)问中有些同学不会利用中位线将中点到的距离转化为，导致问题难以解决;第(2)问学生对探究点轨迹究竟是什么也很困难.本题图形中看似有很多个动点，但主动点只有，其它点都是随着的变化而变化，所以只要将的运动方式(的长度随着的变化而变化)利用坐标表示出来，其它点的坐标也随之能够表示，这样第(1)问就转化为求的外接圆的圆心的纵坐标的最大值.第(2)问探索点轨迹就转化为探索点横纵坐标之间的关系，求路径长也就是求点在起始位置和终点位置时两个点的距离.‎ ‎ 解 (1)以为原点，以为轴正半轴，为轴正半轴，建立直角坐标系如图.‎ ‎ 设，则，由 得 即 于是 ‎∴‎ ‎∴线段的中点 点到的距离为 故时，点到的距离取最大值 ‎ (2)过点作于点，可得 于是有，‎ ‎∴‎ 的中点 ‎∴点在直线上运动，即点的运动轨迹是线段.当时，;当时，.‎ ‎∴点的运动的路径长为.‎ ‎ 二、动直线过定点问题 ‎ 例2 如图2，正方形的边长为8cm，、、、分别是、、、上的动点，且.‎ (1) 求证:四边形是正方形;‎ (2) 判断直线是否经过一个定点，并说明理由.‎ ‎ 分析 第(2)问的困难在于学生不知道经过的是哪个定点.图中看似有4个动点，但其实只有一个主动点(不妨令其为点)，其它三个点都随着这个主动点的变化而变化.只要设出点的坐标，就可以方便地得到直线的解析式，由此可判断这条直线是否经过一个定点，并且经过哪个定点了.‎ ‎ 解(1)略.‎ ‎ (2)以为原点，以为轴正半轴，为轴正半轴，建立直角坐标系如图2.‎ 设，则.易知 故，‎ 得，‎ 设的方程为，代入、的坐标，得 解得 ‎∴的方程为 ‎∵当时，‎ ‎∴直线经过(2,2).‎ ‎ 三、点线位置关系与线段数量关系及位置关系问题 ‎ 例3如图3，在中，，cm，cm，动点在线段上以5cm/s的速度从点运动到点，过点作于点，将绕的中点旋转180°得到，设点的运动时间为(S).‎ (1) 当点落在边上时，求的值;‎ (2) 在动点从点运动到点过程中，当为何值时，是以为腰的等腰三角形?‎ (3) 如图3，另有一动点与点同时出发，在线段上以5cm/s的速度从点运动到点，过点作于点，将绕的中点旋转180°得到，连结，当直线与一边垂直时，求的值.‎ ‎ 分析本题第(1)(2)两问可以通过画出图形，利用相似形找到相应的等量关系，从而解决问题.但这个关系的发现恰恰就是解决这个问题的难点，尤其第(3)问很多学生更是无法找到其中的关系得到方程.如果通过建立平面直角坐标系，就可以将位置关系转化为通过直线斜率之间的关系和点的坐标之间的关系，从而解决相关问题.‎ 解 (1)以为原点，以为轴正半轴，建立如图3所示平面直角坐标系.则，‎ 可得直线的方程为 又，代入的方程，得 ‎∴当时，点落在边上.‎ ‎(2)①若，则，利用两点间距离公式，可得 解得 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎②若，则，利用两点间距离公式，可得 解得，符合题意.‎ ‎ (3)由，，可得直线的方程为 又直线的方程为 ‎①当时，由，得 解得 ‎②当时，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎③当时，‎ ‎∴ ∴‎