吉林省实验中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

吉林省实验中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

‎ ‎ 吉林省实验中学2019-2020学年度上学期高二年级 期中考试数学（理）试卷 一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎（1）抛物线的焦点坐标为 （ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）若命题“”是假命题，“¬q”也是假命题，则正确的是 （ ）‎ ‎（A）命题“”是真命题 （B）命题“”是假命题 ‎（C）命题“”是假命题 （D）命题“”是真命题 ‎（3）命题“，都有”的否定为 (　　)‎ ‎（A），都有 （B）不存在，都有 ‎（C），使得 （D），使得 ‎（4）在中， “”是“”的 （ ） ‎ ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎ ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（5） 设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）命题：“平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的集合叫做椭圆”；命题：“平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的集合叫做双曲线”.‎ 下列命题中正确的是 （ ）‎ ‎（A）命题 （B）命题 （C）命题 （D）命题 ‎（7）已知椭圆E：的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点．若的中点坐标为，则E的方程为 (　　)‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）如图，是的重心，，则（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（9）过椭圆的左顶点A的斜率为的直线交椭圆C 于另一点B，且点B在轴上的射影恰好为右焦点F，若椭圆的离心率为，则的值为(　　)‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（10）已知点，抛物线：的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（11）已知双曲线的左、右焦点分别为点 抛物线与双曲线在第一象限内相交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（12） 已知是两个定点，点是以为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且 ‎，和分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有(　　)‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎（13）椭圆的离心率是 ．‎ ‎（14）若正四棱柱的底面边长为2，高为4，则异面直线与 所成角的余弦值是 ．‎ ‎（15）如图，过抛物线的焦点的 直线交抛物线于点，交其准线于点，‎ 若，且，则为 ．‎ ‎（16）已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点. 设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为 ．‎ 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分10分）‎ 已知直线：与椭圆相离，求椭圆上的点到直线的距离的最大值和最小值．‎ ‎（18）(本小题满分12分)‎ 已知点的坐标是，过点的直线与轴交于，过点且与直线 垂直的直线交轴与点，设点为的中点，求点的轨迹方程．‎ ‎（19）(本小题满分12分)‎ 已知抛物线的准线方程为，为抛物线的焦点．‎ ‎（I）求抛物线的方程；‎ ‎（II）若P是抛物线C上一点，点A的坐标为（,2），求的最小值．‎ ‎（20）(本小题满分12分)‎ 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面,，,是中点.‎ ‎（I）求直线与平面所成的角的正弦值；‎ ‎（II）求点到平面的距离．‎ ‎（21）(本小题满分12分)‎ 已知三棱柱，底面三角形为正三角形，侧棱底面，，为的中点，为中点.‎ ‎（I）求证：直线平面；‎ ‎（II）求平面和平面所成的锐二面角的余弦值.‎ A B D C P ‎（22）(本小题满分12分)‎ 已知，分别是椭圆：的左，右焦点，点在椭圆上，且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点.‎ ‎（I）求,的值；‎ ‎（II）过点作不与轴重合的直线，设与圆相交于A，B两点，且与椭圆相交于C，D两点，当时，求△的面积.‎ 吉林省实验中学2019-2020学年度上学期高二年级 期中考试数学（理）试卷参考答案 ‎ ‎ 一、 选择题:‎ 1. C 2.A 3.D 4.C 5.B 6.B 7.D 8.D 9.C 10.A 11.A 12.B 二、 填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、 解答题:‎ ‎17.解：平移直线，设为 联立 消得令 则 和和椭圆相切 ‎，‎ ‎18.解:在直角三角形和直角三角形中，是中点，设则,化简得 ‎19.(I)∵准线方程x=-,得=1，‎ ‎∴抛物线C的方程为 ‎(II)过点P作准线的垂线，垂直为B，则=‎ 要使+的最小，则P，A，B三点共线 此时+=+=4·‎ ‎20.如图所示，建立空间直角坐标系，则，，， ，，；设平面的一个法向量，由可得：，令，则。‎ ‎(I)设所求角为，则，‎ ‎(II)设点到平面距离为则。‎ ‎21.解： 取中点为，连接，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，， ‎ ‎(I)则，，‎ 设平面的法向量为，则，即 令，则，即，所以，‎ 故直线平面． ‎ ‎（II）设平面的法向量，则． ‎ ‎22.(I)焦点为F（1，0），则F1（1，0），F2（1，0），‎ ‎，解得，＝1，＝1，‎ ‎(II)由已知，可设直线方程为，，‎ 联立得，易知△＞0，则 ‎＝＝‎ ‎＝因为，所以＝1，解得，联立 ，得，△＝8＞0‎ 设，则