陕西省西安市电子科技大学附中2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

陕西省西安市电子科技大学附中2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

2019～2020 学年度第一学期期末考试 高一年级数学试题 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分） 1.直线 的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 直线 的斜率 ，即 ，故倾斜角为 . 故选 C 2.在空间直角坐标系中，已知 ， ，则 两点间的距离 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由 ， ，得 . 故选 A. 3.若直线 相切,则 的值为( ) A. 1,－1 B. 2,－2 C. －1 D. 0 【答案】D 【解析】 即 ．直线与圆相切，则圆心 到直线距离为半径 1，所 以有 ，解得 ，故选 D 4.设 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若 则 ②若 则 3 1 0x y+ + = 30° 60° 120° 150° 3 1 0x y+ + = k 3= − tanα 3= − 120° (1,0,0)P (3, 2,2)Q − P Q、 PQ = 2 3 4 2 5 2 6 ( )1,0,0P ( )3, 2,2Q − ( ) ( )2 2 23 1 2 2 2 3PQ = − + − + = 2 21 0 2 0ax y x y x+ + = + − =与圆 2 2 2 0x y x+ − = 2 2( 1) 1x y− + = (1,0) 2 1 1 1 a a + = + 0a = ,m n α β γ、 、 , / / ,m nα α⊥ ;m n⊥ / / , / / ,m nα α / / ;m n ③若 则 ④若 则 其中正确命题的序号是（ ） A. ①和③ B. ②和③ C. ②和④ D. ①和④ 【答案】A 【解析】 【分析】 根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得①正确；在正方体中举出反例，平行于 同一个平面的两条直线不一定平行，可得②错误；由面面平行的传递性，可得③正确；在正 方体中举出反例，可得④错误． 【详解】对①，因为 ，所以经过 作平面 ，使 ，可得 ，又因为 ， ，所以 ，结合 得 ．由此可得①正确； 对②，设直线 、 是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面 是正方体下底 面所在的平面，则有 且 成立，但不能推出 ，故②错误； 对③，因为 ，所以 ，故③正确； 对④，设平面 、 、 是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有 且 ， 但是 相交，推不出 ，故④错误． 故选：A． 【点睛】本题给出关于空间线、面位置关系的命题，考查了线面平行、面面平行的性质和线 面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题． 5. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ） / / , / /α β β γ， / / ;α γ ,α γ β γ⊥ ⊥ ， .α β/ / / /n α n β lβ α∩ = / /n l m α⊥ l α⊂ m l⊥ / /n l m n⊥ m n α / /m α / /n α //m n / / , / /α β β γ， / /α γ α β γ α γ⊥ β γ⊥ ,α β / /α β A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算． 由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的 体积是 . 【此处有视频，请去附件查看】 6.若 、 、 三点共线，则 的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 0 D. 7 【答案】B 【解析】 试题分析：由题意得，因为 三点共线，可得 ，即 ，解 得 ，故选 B. 考点：三点共线的应用. 【方法点晴】本题主要考查了直线的斜率公式、三点共线的依据，属于基础题，对于三点共 线：通常的处理方法是根据三点所构成的斜率相等（或过意两点的直线重合）、或利用两点 间的距离公式，根据距离相等或向量共线，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以 及推理与论证能力. 7.圆 上到直线 的距离为 的点共有（ ） 28 3 π− 8 3 π− 8 2π− 2 3 π 3 21 82 2 2 83 3V ππ= − × × × = − (3, 2)A − ( 9,4)B − ( ,0)C x x , ,A B C AB ACk k= 0 ( 2) 0 4 3 ( 9)x x − − −=− − − 1x = − 2 22 4 3 0x x y y+ + + − = 1 0x y+ + = 3 2 A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 【答案】D 【解析】 分析】 化圆的一般方程为标准式，求出圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，结合图形答案可 求． 【详解】由 ，得 ． 圆 圆心坐标为 ，半径为 ． 圆心 到直线 的距离为 ． 圆上满足到直线 的距离为 的点有 1 个. 故选：D． 【点睛】本题考查点到直线的距离公式、圆的一般式方程，考查数形结合思想的应用，考查 基本运算求解能力． 8.如果 且 ，那么直线 不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象 限 【答案】C 【解析】 【分析】 由条件可得直线 的斜率 的正负，直线在 轴上的截距 的正负，进 而可得直线不经过的象限． 【详解】解：由 且 ，可得直线 的斜率为 ，直线 在 y 轴上的截距 ，故直线不经过第三象限， 故选 C． 【点睛】本题主要考查确定直线位置的几何要素，属于基础题． 9.已知直线 和 互相平行，则实数 的取值为（　　） 【 的 2 2 2 4 3 0x y x y+ + + − = 2 2( 1) ( 2) 8x y+ + + = ∴ ( 1, 2)− − 2 2  ( 1, 2)− − 1 0x y+ + = | 1 2 1| 2 2 − − + = ∴ 1 0x y+ + = 3 2 0A B⋅ > 0B C⋅ < 0Ax By C+ + = 0Ax By C+ + = A B − y B C− 0A B⋅ > 0B C⋅ < 0Ax By C+ + = 0A B − < 0C B − > 6 0x my+ + = ( )2 3 2 0m x y m− + + = m A. 或 3 B. C. D. 1 或 【答案】B 【解析】 【分析】 利用两直线平行的等价条件求得实数 m 的值. 【详解】∵两条直线 x+my+6=0 和（m﹣2）x+3y+2m=0 互相平行， ∴ 解得 m=﹣1， 故选 B． 【点睛】已知两直线的一般方程判定两直线平行或垂直时，记住以下结论，可避免讨论： 已知 ， ， 则 ， ． 10.圆: 上的点到直线 的距离的最大值是( ) A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先把圆的一般方程化为标准方程得到圆心 ，半径为 1，利用点到直线距离公式求得圆 心到直线的距离 为 ，圆上一点到直线距离的最大值即为 【详解】圆: 化为标准方程得 ，所以圆心为 1− 1− 3− 3− 1 3 m 2 0 2 6 2 0 m m m × − =  − ≠ ﹣ （ ﹣） 1 1 1 1: 0l A x B y C+ + = 2 2 2 2: 0l A x B y C+ + = 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 0/ / 0 A B A Bl l AC A C − =⇔  − ≠ 1 2 1 2 1 2 0l l A A B B⊥ ⇔ + = 2 2 2 2 1 0x y x y+ − − + = 2x y− = 1 2+ 21 2 + 1 2 2+ ( )1,1 d 2 d r+ 2 2 2 2 1 0x y x y+ − − + = ( ) ( )2 21 1 1x y- + - = ，半径为 1.所以圆心 到直线 的距离 ，则所求距离的 最大值为 ，故选 B 【点睛】本题考查圆上一点到直线距离的最大值问题，其最大值应转化为圆心到直线距离与 圆的半径的和． 11.正四棱锥 的侧棱和底面边长都等于 ，则它的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先画出图形，正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，然后根据勾股定理解出球的半径， 最后根据球的表面积公式即可求解． 【详解】如图，设正四棱锥底面的中心为 ，设外接球的球心为 ， 则 在正三棱锥的高 上． 在直角三角形 中， ， ，则高 ， 则 ， ， 在直角三角形 中， ， 解得 ，即 与 重合， 即正四棱锥外接球的球心是它的底面的中心 ，且球半径 ， 球的表面积 ， 故选：A． ( )1,1 ( )1,1 2x y− = 1 1 2 2 2 d − −= = 1 2+ P ABCD− 2 2 16π 12π 8π 4π 1O O O 1PO ABC 2 2 2 2 4AC AB= = × = 1 2AO = 2 2 2 2 1 1 (2 2) 2 8 4 4 2PO AP AO= − = − = − = = 1 1 2OO PO R R= − = − OA R= 1AO O 2 2 2(2 ) 2R R= − + 2R = O 1O 1O 2R = 24 16S rπ π= = 【点睛】本题考查棱锥和球的切接问题、球的表面积计算，考查空间想象能力和运算求解能 力，属于中档题． 12.如图，正方体 的棱长是 1，线段 上有两个动点 且 则下列结论中错误的是（ ） A. B. 平面 C. 三棱锥 的体积为定值 D. 四点共面 【答案】D 【解析】 【分析】 通过直线 垂直平面平面 ，判断①是正确的；通过直线 平行直线 ，判断 平面 ②是正确的；计算三角形 的面积和 到平面 的距离是定值， 说明③是正确的；通过排除法可得答案． 【详解】对 A， 平面 ，又 平面 ， ．故 A 正 确． 对 B， 平面 ，又 、 在直线 上运动， 平面 ． 故 B 正确． 对 C，由于点 到直线 的距离不变，故 的面积为定值．又点 到平面 的 距离为 ，故 为定值，故 C 正确. 利用排除法可得 D 错误； 故选：D 【点睛】本题考查直线与平面平行、垂直的判定、棱锥的体积，考查空间想象能力与运算求 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1B D , ,E F 2 ,2EF = AC BE⊥ / /EF ABCD A BEF− , , ,E F A B AC 1 1BB D D EF AB / /EF ABCD BEF A BEF AC ⊥ 1 1BB D D BE ⊂ 1 1BB D D AC BE∴ ⊥ 1 1 / /B D ABCD E F 1 1D B / /EF∴ ABCD B 1 1B D BEF∆ A BEF 2 2 A BEFV − 解能力，属于中档题． 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 13.过点 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为____________. 【答案】x+y=3 或 y=2x 【解析】 试题分析：：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为 0 时，设该直线的方程为 x+y=a， 把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为 x+y=3 即 x+y-3=0； ②当所求的直线与两坐标轴的截距为 0 时，设该直线的方程为 y=kx， 把（1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为 y=2x 即 2x-y=0． 综上，所求直线的方程为：2x-y=0 或 x+y-3=0 考点：直线方程 14.已知三棱锥 的三条侧棱都相等，顶点 在底面 上的射影为 ,则 是 的__________心. 【答案】外心 【解析】 【分析】 由已知可得顶点 在底面 上的射影 到底面三角形顶点距离相等，即 必为 的外心． 【详解】 在三棱锥 中， ， 顶点 在底面 上的射影 到底面三角形顶点距离相等，即 必为 的外心. 故答案为：外心． 【点睛】本题主要考查三棱锥的几何特征，属于基本知识的考查． 15.三棱锥 中， 、 、 两两互相垂直，且 ， ，则 点到平面 距离为________ 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意利用等体积计算 点到平面 的距离，求出 的面积即可． 的 (1,2)M P ABC− P ABC O O ABC∆ P ABC O O ABC∆  P ABC− PA PB PC= = ∴ P ABC O O ABC∆ P ABC− PA PB PC 1PA = 2PB PC= = P ABC 2 2 P ABC ABC∆ 【详解】 、 、 两两互相垂直，且 ， ， ， 到 的距离为 的面积为 设 点到平面 的距离为 ，则 即 点到平面 的距离为 故答案 ： 【点睛】本题考查点到面的距离，解题的关键是利用等体积法进行求解． 16.曲线 ， 与直线 有两个公共点时，则实数 的取值范围是 _________________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：曲线 表示以（0，1）为圆心，以 2 为半径的 圆的上半个圆，而直线 过点（2，4），画出图象，可知该直线与该半圆要有 两个公共点，需要 . 考点：本小题主要考查曲线方程和直线与圆的位置关系. 点评：解决本小题的关键是分析出所给曲线是半圆，所给直线过定点，进而利用数形结合思 想解决问题. 为 PA PB PC 1PA = 2PB PC= = 3AB AC∴ = = 2BC = A∴ BC 2 ABC∆∴ 1 2 2 22 × × = P ABC h 1 1 12 2 1 23 2 3 h× × × × = × × ∴ 2 2h = P ABC 2 2 2 2 21 4y x= + - [ ]2,2x∈ − ( 2) 4y k x= − + k 5 3( , ]12 4 21 4 , [ 2, 2]y x x= + − ∈ − ( 2) 4y k x= − + 5 3 12 4k< ≤ 三、解答题：（本大题共 5 小题，共 56 分） 17.已知点 ， ，点 在直线 上，求 取得最小值时 点的坐标. 【答案】P 【解析】 【分析】 由直线方程，假设点 P 的坐标，利用两点之间的距离公式表示 、 的平方和，由二 次函数的性质求出最值即可. 【详解】设 ， 则 ， 当 时， 取得最小值，即点 P 的坐标为： . 【点睛】本题考查两点之间的距离公式、根据直线假设点的方式以及二次函数的最值，由于 没有定义域的限制，所以在顶点处取最值，本题计算量较大，注意计算的准确性. 18.如图，在三棱锥 A­BCD 中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面 ABD⊥平面 BCD，点 E，F(E 与 A，D 不 重合)分别在棱 AD，BD 上，且 EF⊥AD. 求证：(1)EF∥平面 ABC； (2)AD⊥AC. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 试题分析：（1）先由平面几何知识证明 ，再由线面平行判定定理得结论；（2） 先由面面垂直性质定理得 平面 ，则 ，再由 AB⊥AD 及线面垂直判定定 理得 AD⊥平面 ABC，即可得 AD⊥AC． (1,1)A (2,2)B P 1 2y x= 2 2PA PB+ P 9 9,5 10      PA PB ( )2 ,P t t ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 22 1 1 2 2 2 10 18 10PA PB t t t t t t+ = − + − + − + − = − + 9 10t = 2 2PA PB+ 9 9,5 10      EF AB∥ BC ⊥ ABD BC ⊥ AD 试题解析：证明：（1）在平面 内，因为 AB⊥AD， ，所以 . 又因为 平面 ABC， 平面 ABC，所以 EF∥平面 ABC. （2）因为平面 ABD⊥平面 BCD， 平面 平面 BCD=BD， 平面 BCD， ， 所以 平面 . 因为 平面 ，所以 . 又 AB⊥AD， ， 平面 ABC， 平面 ABC， 所以 AD⊥平面 ABC， 又因为 AC 平面 ABC， 所以 AD⊥AC. 点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面 平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3） 证明线线垂直，需转化为证明线面垂直． 19.已知圆 C: ，直线 : （1）求证：直线 过定点； （2）判断该定点与圆的位置关系； （3）当 m 为何值时，直线 被圆 C 截得的弦最长. 【答案】（1）证明见解析（2）直线 l 与圆 C 总相交．（3） 【解析】 【分析】 （1）由题意可知： ，则 ，即可求得 点坐标， ABD EF AD⊥ EF AB EF ⊄ AB ⊂ ABD ∩ BC ⊂ BC BD⊥ BC ⊥ ABD AD ⊂ ABD BC ⊥ AD BC AB B∩ = AB ⊂ BC ⊂ ⊂ 2 2( 1) ( 2) 25x y− + − = l (2 1) ( 1) 7 4 0m x m y m+ + + − − = l l 1.3m = − (2 7) ( 4) 0+ − + + − =m x y x y 2 7 0 4 0 x y x y + − =  + − = D 直线 过定点； （2）由 坐标代入圆 的方程，得左边 右边，点 在圆 内； （3）当直线 经过圆心 时，被截得的弦最长，可知直线 的斜率 ，由 ，则 ，即可求得 的值． 【详解】（1）证明：将直线 ， 整理得： ， 由于 的任意性，则 ，解得 ， 直线 恒过定点 ； （2）把点 坐标代入圆 的方程，得左边 右边， 点 在圆 内； （3）当直线 经过圆心 时，被截得的弦最长（等于圆的直径长）， 此时，直线 的斜率 ， 由直线 方程得 ， 由点 、 的坐标得 ， ，解得： ， 所以，当 ，时，直线 被圆 截得的弦最长． 【点睛】本题考查直线的方程，点与圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查计算能力， 属于中档题． 20.如图所示，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， 是 等边三角形，已知 ， . 的 l (3,1)D C 2 2(3 1) (1 2) 5 25= − + − = < = (3,1)D C l (1,2)C l l CDk k= 2 1 1l mk m += − + 2 1 1 1 3 2CDk −= = −− m :(2 1) ( 1) 7 4 0l m x m y m+ + + − − = (2 7) ( 4) 0+ − + + − =m x y x y m 2 7 0 4 0 x y x y + − =  + − = 3 1 x y =  = − ∴ l (3,1)D (3,1)D C 2 2(3 1) (1 2) 5 25= − + − = < = ∴ (3,1)D C l (1,2)C l l CDk k= l 2 1 1l mk m += − + C D 2 1 1 1 3 2CDk −= = −− 2 1 1 1 2 m m +∴− = −+ 1 3m = − 1 3m = − l C P ABCD− PAD ⊥ ABCD AB DC∥ PAD∆ 2 8BD AD= = 2 4 5AB DC= = （1）设 是 上的一点，求证：平面 平面 ； （2）求四棱锥 的体积. 【答案】(1)见解析 ;(2) . 【解析】 【详解】试题分析： (1)证得 AD⊥BD,而面 PAD⊥面 ABCD,∴BD⊥面 PAD,∴面 MBD⊥面 PAD. (2)作辅助线 PO⊥AD,则 PO 为四棱锥 P—ABCD 的高,求得 S 四边形 ABCD＝24.∴VP—ABCD＝16 . 试题解析： (1)证明:在△ABD 中,∵AD＝4,BD＝8,AB＝4 ,∴AD2＋BD2＝AB2.∴AD⊥BD. 又∵面 PAD⊥面 ABCD,面 PAD∩面 ABCD＝AD,BD⊂面 ABCD,∴BD⊥面 PAD. 又 BD⊂面 BDM,∴面 MBD⊥面 PAD. (2)解：过 P 作 PO⊥AD, 　　　　 M PC MBD ⊥ PAD P ABCD− 1 24 2 3 16 33P ABCDV − = × × = 3 5 ∵面 PAD⊥面 ABCD,∴PO⊥面 ABCD,即 PO 为四棱锥 P—ABCD 的高． 又△PAD 是边长为 4 的等边三角形,∴PO＝2 . 在底面四边形 ABCD 中,AB∥DC,AB＝2DC,∴四边形 ABCD 为梯形． 在 Rt△ADB 中,斜边 AB 边上的高为 ＝ ,此即为梯形的高. ∴S 四边形 ABCD＝ × ＝24. ∴VP—ABCD＝ ×24×2 ＝16 . 21.在平面直角坐标系 中，点 直线 ，设圆 的半径长为 1，圆心在 上. (1)若圆心 也在直线 上，过点 作圆 的切线，求切线的方程； (2)若圆 存在点 ，使 ,求圆心 的横坐标 的取值范围. 【答案】（1） 或 （2） 【解析】 【分析】 （1）求出圆心 为 ，圆 的半径为 1，得到圆的方程，切线的斜率一定存在，设所 求圆 的切线方程为 ，即 ，利用圆心到直线的距离等于半径，求 解 即可得到切线方程． （2）设圆心 为 ，圆 的方程为： ，设 为 列出方程得到圆 的方程，通过圆 和圆 有交点，得到 ，转化求解 的取值范 围． 【详解】（1）由 得圆心 为 ， 圆 的半径为 1， 圆 的方程为： ， 3 4 8 4 5 × 8 5 5 2 5 4 5 2 + 8 5 5 1 3 3 3 xOy (0,3),A : 2 4= −l y x C l C 1y x= − A C C M 2=MA MO C a 3y = 3 4 12 0x y+ − = 120 .5     ， C (3,2) C C 3y kx= + 3 0kx y− + = k C ( ,2 4)a a − C 2 2( ) [ (2 4)] 1x a y a− + − − = M ( , )x y D C D 1 3CD  a 2 4 1 y x y x = −  = − C (3,2)  C ∴ C 2 2( 3) ( 2) 1x y− + − = 显然切线的斜率一定存在，设所求圆 的切线方程为 ，即 ， ， 或者 ， 所求圆 的切线方程为： 或者 ． 即 或者 ． （2） 圆 的圆心在在直线 上， 所以，设圆心 为 ， 则圆 的方程为： ， 又 ， 设 为 则 整理得： 设为圆 ， 点 应该既在圆 上又在圆 上 即：圆 和圆 有交点， ， ， 由 得 ， 由 得 ， 综上所述， 的取值范围为： ． 【点睛】本题考查直线与圆的方程的综合应用，圆心切线方程的求法，考查转化与化归思想、 数形结合思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力． C 3y kx= + 3 0kx y− + = ∴ 2 | 3 2 3| 1 1 k k − + = + ∴ 2| 3 1| 1k k+ = + 2 (4 3) 0 0k k k∴ + = ∴ = 3 4k = − ∴ C 3y = 3 34y x= − + 3y = 3 4 12 0x y+ − =  C : 2 4= −l y x C ( ,2 4)a a − C 2 2( ) [ (2 4)] 1x a y a− + − − = 2MA MO= ∴ M ( , )x y 2 2 2 2( 3) 2x y x y+ − = + 2 2( 1) 4x y+ + = D ∴ M C D C D 1 3CD∴   ∴ 2 2| 2 1| [(2 4) ( 1)] | 2 1|a a− + − − − +  25 12 8 0a a− +  a R∈ 25 12 0a a−  120 5a  a 12[0, ]5