山东专用2021版高考数学一轮复习考案6第六章不等式推理与证明综合过关规范限时检测含解析
[考案 6]第六章 综合过关规范限时检测
(时间：45 分钟 满分 100 分)
一、单选题(本大题共 7 个小题，每小题 5 分，共 35 分，在每小题给出的四个选项中只
有一个是符合题目要求的)
1．(2020·安徽省马鞍山市高三模拟)已知集合 A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|ln x>0}，
则(∁ R A)∩B＝( C )
A．∅ B．(0,4]
C．(1,4] D．(4，＋∞)
[解析] 由题意，集合 A＝{x|x2－3x－4>0}＝{x|x<－1 或 x>4}，B＝{x|ln x>0}＝{x|x>1}，
∁ RA＝[－1,4]，则(∁ RA)∩B＝(1,4]．故选 C.
2．(2020·河北廊坊第一中学)已知函数 f(x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式 f(x)>0 的解
集为(－1,3)，那么不等式 f(－2x)<0 的解集为( A )
A．(－∞，－3
2
)∪(1
2
，＋∞)
B．(－3
2
，1
2
)
C．(－∞，－1
2
)∪(3
2
，＋∞)
D．(－1
2
，3
2
)
[解析] 由 f(x)＝(ax－1)(x＋b)>0 的解集为(－1,3)，则 a<0，
故1
a
＝－1，－b＝3，即 a＝－1，b＝－3，
∴f(x)＝－x2＋2x＋3，
∴f(－2x)＝－4x2－4x＋3，由－4x2－4x＋3<0，
解得 x>1
2
或 x<－3
2
，
故不等式 f(－2x)<0 的解集为(－∞，－3
2
)∪(1
2
，＋∞)．故选 A．
3．(2020·山东省临沂市高三模拟考试)已知 x，y 满足约束条件
x－2≤0，
y－2≤0，
x＋y－2≥0，
则 z
＝2x＋y 的最大值与最小值之和为( C )
A．4 B．6
C．8 D．10
[解析] 给制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数即：y＝－2x＋z，
其中 z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最大，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 B(2,2)处取得最大值，
据此可知目标函数的最大值为：zmax＝2×2＋2＝6，
其中 z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最小，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最小值，
联立直线方程：
y－2＝0
x＋y－2＝0
，
可得点的坐标为 A(0,2)，
据此可知目标函数的最小值为： zmin＝2×0＋2＝2.
综上可得：z＝2x＋y 的最大值与最小值之和为 8，故选 C.
4．(2020·广东月考题)设函数 f(x)＝ax2－2x＋2，对于函数 1
0，
则实数 a 的取值范围是( D )
A．a≥1 B．1
2
1
2
[解析] 由 f(x)>0 得 ax2－2x＋2>0，即 a>2
x
－2
x2，设1
x
＝t，g(t)＝－2t2＋2t，t∈(1
4
，1)，
当 t＝1
2
时，g(t)max＝g(1
2
)＝1
2
，∴a>1
2
，故选 D.
5．(2020·山东省德州市高三期末联考)设 a，b∈R 且 ab≠0，则 ab>1 是 a>1
b
的( D )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 若“ab>1”当 a＝－2，b＝－1 时，不能得到“a>1
b
”，若“a>1
b
”，例如当 a＝1，
b＝－1 时，不能得到“ab>1”，故“ab>1”是“a>1
b
”的既不充分也不必要条件，故选 D.
6．(2020·河南八市测评二)若变量 x，y 满足约束条件
x≥1，
x－y≤0，
x－2y＋2≥0，
则y
x
的最大值
为( B )
A．1 B．3
2
C．3 D．5
[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示．
由
x＝1
x－2y＋2＝0
得 A(1，3
2
)，设y
x
＝k，则 y＝kx.
显然当直线 y＝kx 过点 A(1，3
2
)时 k 最大．
此时 kmax＝3
2
.故选 B.
7．(2020·湖北荆州月考)已知 a>1，b>2，a＋b＝5，则 1
a－1
＋ 9
b－2
的最小值为( B )
A．4 B．8
C．9 D．6
[解析] 由题意知 a－1>0，b－2>0，
又 a＋b＝5，∴(a－1)＋(b－2)＝2，
∴ 1
a－1
＋ 9
b－2
＝1
2
[(a－1)＋(b－2)]( 1
a－1
＋ 9
b－2
)
＝1
2
[10＋b－2
a－1
＋9 a－1
b－2
]
≥1
2
[10＋2 b－2
a－1
·9 a－1
b－2
]＝8.
(当且仅当
b－2＝3 a－1 ，
a＋b＝5，
即
a＝3
2
，
b＝7
2
时取等号)故选 B.
二、多选题(本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分，在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分)
8．(2020·吉林长春重点中学联考改编)若 a>0>b，则下列不等式恒成立的是( BD )
A．1
a
<1
b
B．1
a
>1
b
C．a2>b2 D．a3>b3
[解析] ∵a>0>b，∴1
a
>0，1
b
<0，∴1
a
>1
b
，又 a3>0>b3.故选 B、D.
9．在下列函数中，最小值为 2 的函数有( AB )
A．f(x)＝2x＋2－x
B．f(x)＝tanx＋ 1
tanx
，x∈(0，π
2
)
C．f(x)＝x4＋2x2＋5
x2＋1
D．f(x)＝4－x－1
x
(x>0)
[解析] 对于选项 A,2－x＝1
2x>0，∴f(x)＝2x＋1
2x≥2，最小值为 2.对于选项 B，f(x)＝tanx
＋ 1
tanx
≥2，最小值也为 2.对于选项 C，f(x)＝x4＋2x2＋5
x2＋1
＝x2＋1＋ 4
x2＋1
≥4，最小值为 4，故
C 错．对于选项 D，x＋1
x
≥2，显然 f(x)有最大值 2，故 D 错．因此选 A、B.
10．“存在正整数 n，使不等式(n＋3)lga>(n＋5)lgaa(0(n＋5)lgaa 且 0n＋3
n＋5
＝1－ 2
n＋5
，即 a
大于 1－ 2
n＋5
的最小值，当 n＝1 时最小值为 1－2
6
＝2
3
，故选 B、D.
三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上)
11．(2020·湖北省宜昌市高三年级元月调研考试)已知正实数 m，n 满足 m＋2n＝mn，则
m＋n 的最小值为 3＋2 2 .
[解析] 正实数 m，n 满足 m＋2n＝mn，两边同除以 mn 得：1
n
＋2
m
＝1，∴m＋n＝(m＋n)·1
＝(m＋n)·(1
n
＋2
m
)＝2＋1＋m
n
＋2n
m
≥3＋2 m
n
·2n
m
＝3＋2 2，当且仅当 m＝ 2＋2，n＝1＋ 2时
等号成立．∴m＋n 的最小值为 3＋2 2.
12．(2020·安徽省合肥市六校高三联考)设 x，y 满足不等式组
x－y＋1≥0，
x＋y－3≤0，
x，y∈N，
则 2x
－y 的所有值构成的集合中元素个数为__7__.
[解析] 作出不等式
x－y＋1≥0，
x＋y－3≤0，
所表示的区域如图所示，
由
x－y＋1＝0，
x＋y－3＝0，
得 A(1,2)，结合 x，y∈N 可得原不等式组所表示的区域为{(0,0)，
(0,1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(3,0)}，将其代入 2x－y，可得值为 0，－
1,2,1,0,4,3,6，即 2x－y 的所有值构成的集合为{0，－1,2,1,4,3,6}，元素个数为 7，故答
案为 7.
13．关于 x 的不等式 ax－b>0 的解集为(1
2
，＋∞)，则关于 x 的不等式ax－2b
－x＋5
>0 的解集是
__(1,5)__．
[解析] ∵ax－b>0 的解集为(1
2
，＋∞)，∴a>0 且 a＝2b∴ax－2b
－x＋5
＝ a x－1
－ x－5
∴分式不
等式变形为x－1
x－5
<0，即(x－1)(x－5)<0，解集为(1,5)．
14．圆 x2＋y2－4x－2y－8＝0 关于直线 ax＋2by－2＝0(a，b>0)对称，则1
a
＋4
b
的最小值为
__9__.
[解析] 由圆方程得(x－2)2＋(y－1)2＝13.圆心为(2,1)因此 2a＋2b－2＝0 即 a＋b＝1，
∴1
a
＋4
b
＝(1
a
＋4
b
)(a＋b)＝5＋b
a
＋4a
b
≥5＋4＝9.故填 9.
三、解答题(本大题共 2 个小题，共 30 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分 15 分)已知二次函数 f(x)＝ax2－bx＋2(a>0)．
(1)若不等式 f(x)>0 的解集为{x|x>2 或 x<1}，求 a 和 b 的值；
(2)若 b＝2a＋1，解关于 x 的不等式 f(x)≤0.
[解析] (1)不等式 f(x)>0 的解集为{x|x>2 或 x<1}，所以与之对应的二次方程 ax2－bx
＋2＝0 的两个根为 1,2，由根与系数的关系得
1＋2＝b
a
，
1×2＝2
a
，
解得 a＝1，b＝3.
(2)因为 b＝2a＋1，所以 f(x)＝(x－2)(ax－1)≤0，
即(x－2)(x－1
a
)≤0.
当1
a
<2，即 a>1
2
时，
不等式 f(x)≤0 的解集为{x|1
a
≤x≤2}；
当1
a
>2，即 0
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