【数学】2019届一轮复习人教B版 三角函数的图象与性质学案
第20讲 三角函数的图象与性质
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．
2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．
3．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．
4．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．
2017·全国卷Ⅰ，9
2017·全国卷Ⅱ，14
2017·全国卷Ⅲ，6
2017·山东卷，16
2017·天津卷，7
2017·浙江卷，18
1.三角函数的性质是高考的必考内容，常与三角函数的图象结合，主要考查三角函数的周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性．
2．高考中常以选择、填空题的形式考查三角函数关系式、三角函数诱导公式、三角函数的奇偶性及对称性，属于中低档题．
3．以解答题的形式考查三角函数的单调性、最值，常与平面向量、解三角形及三角恒等变换相结合．
分值：5～12分
1．“五点法”作图的原理
在确定正弦函数y＝sin x在[0,2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是__(0,0)__，！！！ ###，__(π，0)__， ，__(2π，0)__．
2．三角函数的图象和性质
函数
性质
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
定义域
R
R
！！！ (k∈Z) ###
一个
周期的
图象
值域
__[－1,1]__
__[－1,1]__
！！！ R ###
对称性
对称轴：
！！！ x＝kπ＋(k∈Z) ###；
对称中心：
(kπ，0)(k∈Z)
对称轴：
x＝kπ(k∈Z)；
对称中心：
！！！ (k∈Z) ###
对称中心：
(k∈Z)
函数
性质
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
周期
__2π__
__2π__
__π__
单调性
单调增区间：
！！！ ###
(k∈Z)；
单调减区间：
！！！
(k∈Z) ###
单调增区间：
！！！ (－π＋2kπ，2kπ)(k∈Z) ###；
单调减区间：
！！！ (2kπ，π＋2kπ)(k∈Z) ###
单调增区间：
！！！
(k∈Z) ###
奇偶性
__奇函数__
__偶函数__
__奇函数__
3．用五点画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.
x
！！！ － ###
！！！ －＋ ###
！！！ ###
！！！ － ###
！！！ ###
ωx＋φ
__0__
！！！ ###
__π__
！！！ ###
__2π__
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
4．函数y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)的图象间的变换关系
5．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念及物理量
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时)
振幅
周期
频率
相位
初相
____A____
T＝！！！ ###
f＝！！！ ###
__ωx＋φ__
__φ__
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)把y＝sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x.( × )
(2)正弦函数y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点是(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．( √ )
(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( × )
(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的．( √ )
解析 (1)错误．横坐标缩短，周期变小，ω变大，故变换后，所得图象的解析式为y＝sin 2x.
(2)正确．由正弦函数y＝sin x的图象易知．
(3)错误．“先平移，后伸缩”的平移单位长度为 |φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为(ω>0)．故当ω≠1时平移的长度不相等．
(4)正确．振幅A的值是由最大值M与最小值m确定的， 其中A＝.
2．函数y＝cos x(x∈R)的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的解析式应为g(x)＝( A )
A．－sin x B．sin x
C．－cos x D．cos x
解析 y＝cos xy＝cos＝－sin x.
3．将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象的对称轴是( B )
A．x＝＋，k∈Z B．x＝＋，k∈Z
C．x＝－，k∈Z D．x＝kπ－，k∈Z
解析 y＝sin的图象向右平移个单位长度，
得y＝sin＝sin.令2x－＝
＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z.
4．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝！！！ ###.
解析 由图知，＝－＝，T＝.即＝，故ω＝.
5．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是__1__.
解析 依题意，f(x)＝sin2x＋cos x－＝－cos2x＋cos x＋＝－2＋1，因为x∈，所以cos x∈[0,1]，因此当cos x＝时，f(x)max＝1.
一 三角函数图象的变换
三角函数图象的几种变换
(1)平移变换：
①沿x轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移．
②沿y轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下减”，即k>0，上移；k<0，下移．
(2)伸缩变换：
①沿x轴伸缩：由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍．
②沿y轴伸缩：由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A|倍．
【例1】 (1)(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( D )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
(2)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f＝！！！ ###.
解析 (1)易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin 的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象，即曲线C2，故选D．
(2)把函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到y＝sin的图象，再把函数y＝sin图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f(x)＝sin的图象，所以f＝sin＝sin＝.
二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
求φ常用的方法
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝；“第五点”时ωx＋φ＝2π.
【例2】 (1)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( A )
A．2，－ B．2，－
C．4，－ D．4，
(2)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A>0，ω>0)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是( C )
A．A＝3，T＝，φ＝－ B．A＝1，T＝，φ＝
C．A＝1，T＝，φ＝－ D．A＝1，T＝，φ＝－
解析 (1)因为＝－，
所以T＝π.又T＝(ω>0)，所以＝π，所以ω＝2.
又2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，且－<φ<，故φ＝－.
(2)由图象知，A＝＝1，＝－＝，则T＝，
ω＝.由×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝－＋2kπ，k∈Z，
令k＝0，得φ＝－.
三 三角函数的单调性
三角函数单调性问题的常见类型及解题策略
(1)已知三角函数的解析式求单调区间：
①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性“同增异减”的规律；
②求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
(2)已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
【例3】 已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是( A )
A． B．
C． D．[0,2]
解析 由
0得，＋<ωx＋<ωπ＋.又y＝sin x在上递减，所以
解得≤ω≤，故选A．
【例4】 (2017·浙江卷)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
解析 (1)由sin ＝，cos ＝－，
f＝2－2－2××，得f＝2.
(2)由cos 2x＝cos2x－sin2x与sin 2x＝2sin xcos x得
f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin.
所以f(x)的最小正周期是π.
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
四 三角函数的值域及最值
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数，可先化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
注意：(2)(3)中换元后t的取值范围要标出．
【例5】 (2017·山东卷)设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，
再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．
解析 (1)f(x)＝sin＋sin
＝sin ωx－cos ωx－cos ωx＝sin ωx－cos ωx
＝＝sin.
由题设知f＝0，所以－＝kπ，k∈Z.
故ω＝6k＋2，k∈Z，又0<ω<3，所以ω＝2.
(2)由(1)得f(x)＝sin，
所以g(x)＝sin＝sin.
因此x∈，所以x－∈，
当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.
五 三角函数的奇偶性、周期性、对称性
三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法
(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)，同时当x＝0时，f(x)取得最大或最小值．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，同时当x＝0时，f(x)＝0.
(2)求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan (ωx＋φ)的形式，再分别应用公式T＝，T＝，T＝求解．
(3)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．
【例6】 (1)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的( B )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)函数f(x)＝sin的图象的一条对称轴是( C )
A．x＝ B．x＝
C．x＝－ D．x＝－
(3)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为__π__.
解析 (1)f(x)是奇函数时，φ＝＋kπ(k∈Z)；φ＝时，f(x)＝Acos＝－Asin ωx，为奇函数，所以“f(x)是奇函数”是“φ＝”的必要不充分条件．
(2)∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令x－＝kπ＋，k∈Z，∴x＝kπ＋，k∈Z.取k＝－1，则x＝－.
(3)记f(x)的最小正周期为T.由题意知≥－＝.
又f＝f＝－f，且－＝.
可作出示意图如图所示(一种情况)．
∴x1＝×＝，x2＝×＝，
∴＝x2－x1＝－＝.∴T＝π.
1．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是( D )
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在单调递减
解析 根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π，所以函数一个周期为－2π，A
项正确；当x＝时，x＋＝3π，所以cos＝－1，所以B项正确；f(x＋π)＝cos ＝cos，当x＝时，x＋＝，所以f(x＋π)＝0，所以C项正确；函数f(x)＝cos在上单调递减，在上单调递增，故D项不正确，故选D．
2．(2017·湖南岳阳一中月考)已知函数①y＝sin x＋cos x，②y＝2sin xcos x，则下列结论正确的是( C )
A．两个函数的图象均关于点中心对称
B．两个函数的图象均关于直线x＝－对称
C．两个函数在区间上都是单调递增函数
D．将函数②的图象向左平移个单位得到函数①的图象
解析 函数①y＝sin x＋cos x＝sin，②y＝2·sin xcos x＝sin 2x，由于①的图象关于点中心对称，②的图象不关于点中心对称，故A项不正确；由于函数①的图象不可能关于直线x＝－对称，故B项不正确；由于这两个函数在区间上都是单调递增函数，故C项正确；将函数②的图象向左平移个单位得到函数y＝sin的图象，而y＝sin≠sin，故D项不正确，故选C．
3．若函数y＝2sin(ωx＋φ)的一段图象如图所示，则ω＝__2__，φ＝！！！ ###.
解析 ∵T＝－＝π，∴ω＝＝2.由图象得
2×＋φ＝2kπ(k∈Z)，∴φ＝2kπ－，k∈Z.∵|φ|≤，
∴k＝1时，φ＝.
4．(2017·山西四校模拟)设x∈，函数y＝4sin2x－12sin x－1的最大值为a，最小值为b，则a＋b＝__－3__.
解析 令t＝sin x，由于x∈，故t∈.
则y＝4t2－12t－1＝42－10.
∵当t∈时，函数单调递减，
∴当t＝－，即x＝－时，y取得最大值，ymax＝6；
当t＝1，即x＝时，y取得最小值，ymin＝－9.
∴a＝6，b＝－9，∴a＋b＝－3.
易错点1 单调性判断出错
错因分析：正弦型、余弦型函数求单调区间时，要看清A，ω的正负．
【例1】 函数y＝cos的单调减区间为________.
解析 ∵y＝cos，
∴由2kπ≤2x－≤2kπ＋π得＋kπ≤x≤π＋kπ，k∈Z，
∴函数的单调减区间为，k∈Z.
答案 ，k∈Z
【跟踪训练1】 函数y＝2sin(x∈[0，π])的递增区间是( A )
A． B．
C． D．
解析 原函数化为y＝－2sin(x∈[0，π])，
所以原函数的增区间就是函数y＝sin(0≤x≤π)的减区间，
由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以k＝0时得
，故选A．
易错点2 忽略正、余弦函数的有界性
错因分析：sin θ，cos θ的值必须在[－1,1]内．
【例2】 已知sin x＋sin y＝，求sin x－cos2y的最大值、最小值．
解析 令t＝sin x－cos2y，∵sin x＝－sin y，
∴t＝－sin y－1＋sin2y＝2－.
∵∴－≤sin y≤1，
于是，当sin y＝时，tmin＝－；
当sin y＝－时，tmax＝.
【跟踪训练2】 已知y＝3－sin x－2cos2x，x∈，求y的最大值与最小值之和．
解析 ∵x∈，∴sin x∈.
又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x)
＝22＋，
∴当sin x＝时，ymin＝；
当sin x＝－或sin x＝1时，ymax＝2.
故函数的最大值与最小值的和为2＋＝.
课时达标 第20讲
[解密考纲]本考点考查三角函数的图象以及图象的平移、伸缩变换，三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值与值域等．一般以选择题、填空题的形式呈现，以解答题出现时，排在解答题靠前位置，难度中等．
一、选择题
1．函数y＝的定义域为( C )
A．
B．kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z
C．2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z
D．R
解析 ∵cos x－≥0，得cos x≥，
∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
2．(2018·浙江温州模拟)为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图象，可以将函数y＝cos 3x的图象( A )
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移 个单位 D．向左平移个单位
解析 因为y＝sin 3x＋cos 3x＝cos，所以将y＝cos 3x的图象向右平移个单位后可得到y＝cos的图象.
3．(2018·辽宁营口模拟)将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( B )
A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增
解析 由题可得平移后的函数为y＝3sin＝3sin，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，解得kπ＋≤x≤kπ＋，故该函数在(k∈Z)上单调递增，当k＝0时，选项B满足条件，故选B．
4．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝( D )
A．1 B．
C． D．
解析 观察图象可知，A＝1，T＝π，∴ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ).
将代入上式得sin＝0.
由|φ|<，得φ＝，则f(x)＝sin.
函数图象的对称轴为x＝＝.
又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，∴＝，
∴x1＋x2＝，∴f(x1＋x2)＝sin＝，故选D．
5．(2018·河南郑州模拟)如果函数y＝3sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则|φ|的最小值为( A )
A． B．
C． D．
解析 由题意，得sin＝±1．
所以＋φ＝＋kπ，即φ＝＋kπ(k∈Z)，故|φ|min＝.
6．(2017·天津卷)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π，若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( A )
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－
C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝
解析 由f＝2，得ω＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，①
由f＝0，得ω＋φ＝k′π(k′∈Z)，②
由①②得ω＝－＋(k′－2k)，又最小正周期T＝>2π，所以0<ω<1，所以ω＝，又|φ
|<π，将ω＝代入①得φ＝，A项符合.
二、填空题
7．(2018·天津模拟)函数f(x)＝－sin，x∈的最大值是！！！ ###.
解析 因为x∈，所以－≤2x－≤.根据正弦曲线，得当2x－＝－时，sin取得最小值为－.
故f(x)＝－sin的最大值为.
8．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos (x＋φ)的最大值为！！！ 1 ###.
解析 f(x)＝sin［(x＋φ)＋φ］－2sin φcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ＝sin(x＋φ－φ)＝sin x，
因为x∈R，所以f(x)的最大值为1．
9．把函数f(x)＝sin xcos x＋cos 2x－图象上各点向右平移φ(φ>0)个单位，得到函数g(x)＝sin 2x的图象，则φ的最小值为！！！ ###.
解析 把函数f(x)＝sin xcos x＋cos2x－＝sin 2x＋cos 2x＝sin图象上各点向右平移φ(φ>0)个单位，得到函数g(x)＝sin＝sin＝sin 2x的图象，则φ的最小值为.
三、解答题
10．已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性.
解析 (1)因为f(x)＝2sin的最小正周期为π，且ω>0.从而有＝π，故ω＝1．
(2)因为f(x)＝2sin.
若0≤x≤，则≤2x＋≤.
当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；
当<2x＋≤，即
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