2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书:第二章 9 第9讲 函数模型及其应用

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2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书:第二章 9 第9讲 函数模型及其应用

第9讲 函数模型及其应用 ‎1.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)‎ 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)‎ 指数函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,‎ a>0且a≠1,b≠0)‎ 对数函数模型 f(x)=blogax+c ‎(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)‎ 幂函数模型 f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠0)‎ ‎2.三种函数模型性质比较 y=ax(a>1)‎ y=logax(a>1)‎ y=xn(n>0)‎ 在(0,+∞)‎ 上的单调性 增函数 增函数 增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x值增大,图象与y轴接近平行 随x值增大,图象与x轴接近平行 随n值变化而不同 ‎[疑误辨析]‎ 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)幂函数增长比直线增长更快.(  )‎ ‎(2)不存在x0,使ax01)的增长速度会超过并远远大于y=xa(a>1)的增长速度.(  )‎ ‎(4)“指数爆炸”是指数型函数y=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.(  )‎ 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×‎ ‎[教材衍化]‎ ‎1.(必修1P107A组T1改编)在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据,如表:‎ x ‎0.50‎ ‎0.99‎ ‎2.01‎ ‎3.98‎ y ‎-0.99‎ ‎0.01‎ ‎0.98‎ ‎2.00‎ 则对x,y最适合的拟合函数是(  )‎ A.y=2x          B.y=x2-1‎ C.y=2x-2 D.y=log2x 解析:选D.根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.‎ ‎2.(必修1P102例3改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示,则下列说法中错误的是(  )‎ A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1‎ B.结余最高的月份是7月 C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D.前6个月的平均收入为40万元 解析:选D.由题图可知,收入最高值为90万元,收入最低值为30万元,其比是3∶1,故A正确;由题图可知,7月份的结余最高,为80-20=60(万元),故B正确;由题图可知,1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同,故C正确;由题图可知,前6个月的平均收入为×(40+60+30+30+50+60)=45(万元),故D错误.‎ ‎3.(必修1P107A组T4改编)用长度为24的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为______.‎ 解析:设隔墙的长度为x(0g(x)>h(x) B.g(x)>f(x)>h(x)‎ C.g(x)>h(x)>f(x) D.f(x)>h(x)>g(x)‎ 解析:选B.由函数性质知,当x∈(4,+∞)时,增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x).故选B.‎ ‎2.生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=x2+2x+20(万元).一万件售价为20万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为______万件.‎ 解析:利润L(x)=20x-C(x)=-(x-18)2+142,当x=18时,L(x)有最大值.‎ 答案:18‎ ‎3.某城市客运公司确定客票价格的方法是:如果行程不超过100 km,票价是0.5元/km,如果超过100 km,超过100 km的部分按0.4元/km定价,则客运票价y(元)与行程千米数x(km)之间的函数关系式是________.‎ 解析:由题意可得 y= 答案:y= ‎      应用所给函数模型解决实际问题 ‎ 某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品,若该商品零售价定为p元,销售量为Q件,则销售量Q(单位:件)与零售价p(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170 p-p2,则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)(  )‎ A.30元         B.60元 C.28 000元 D.23 000元 ‎【解析】 设毛利润为L(p)元,则由题意知 L(p)=pQ-20Q=Q(p-20)‎ ‎=(8 300-170p-p2)(p-20)‎ ‎=-p3-150p2+11 700p-166 000,‎ 所以L′(p)=-3p2-300p+11 700.‎ 令L′(p)=0,解得p=30或p=-130(舍去).‎ 当p∈(0,30)时,L′(p)>0,当p∈(30,+∞)时,L′(p)<0,故L(p)在p=30时取得极大值,即最大值,且最大值为L(30)=23 000.‎ ‎【答案】 D 应用所给函数模型解决实际问题的关键点 ‎(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.‎ ‎(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.‎ ‎(3)利用该模型求解实际问题.  ‎ ‎1.某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系式f(x)=已知某家庭2019年前三个月的煤气费如表:‎ 月份 用气量 煤气费 一月份 ‎4 m3‎ ‎4元 二月份 ‎25 m3‎ ‎14元 三月份 ‎35 m3‎ ‎19元 若四月份该家庭使用了20 m3的煤气,则其煤气费为(  )‎ A.11.5元 B.11元 C.10.5元 D.10元 解析:选A.根据题意可知f(4)=C=4,f(25)=C+B(25-A)=14,f(35)=C+B(35-A)=19,解得A=5,B=,C=4,所以f(x)=所以f(20)=4+(20-5)=11.5.‎ ‎2.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细沙量为y=ae-bt(cm3),经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过________min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.‎ 解析:当t=0时,y=a;‎ 当t=8时,y=ae-8b=a,故e-8b=.‎ 当容器中的沙子只有开始时的八分之一时,即y=ae-bt=a,e-bt==(e-8b)3=e-24b,则t=24,所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一.‎ 答案:16‎ ‎      构建函数模型解决实际问题(高频考点)‎ 构建函数模型是每年高考的重点,难度中等.主要命题角度有:‎ ‎(1)构建二次函数模型;‎ ‎(2)构建指数函数、对数函数模型;‎ ‎(3)构建分段函数模型;‎ ‎(4)构建y=x+(a>0)模型.‎ 角度一 构建二次函数模型 ‎ 某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税,税率为R%(即每销售100元征税R元),若年销售量为(30-R)万件,要使附加税不少于128万元,则R的取值范围是(  )‎ A.[4,8]           B.[6,10]‎ C.[4%,8%] D.[6%,10%]‎ ‎【解析】 根据题意,要使附加税不少于128万元,‎ 需×160×R%≥128,‎ 整理得R2-12R+32≤0,解得4≤R≤8,‎ 即R∈[4,8].‎ ‎【答案】 A 角度二 构建指数函数、对数函数模型 ‎ 某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(  )‎ ‎(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)‎ A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年 ‎【解析】 根据题意,知每年投入的研发资金增长的百分率相同,所以,从2015年起,每年投入的研发资金组成一个等比数列{an},其中,首项a1=130,公比q=1+12%=1.12,所以an=130×1.12n-1.由130×1.12n-1>200,两边同时取对数,得n-1>,又≈=3.8,则n>4.8,即a5开始超过200,所以2019年投入的研发资金开始超过200万元,故选B.‎ ‎【答案】 B 角度三 构建分段函数模型 ‎ 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,‎ 车流速度为60千米/时.研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.‎ ‎(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;‎ ‎(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/时)‎ ‎【解】 (1)由题意,当0≤x≤20时,v(x)=60;‎ 当200)模型 ‎ 要建造一个容积为2 400 m3,深为6 m的长方体无盖水池.池底造价为100元/m2,池壁造价为80元/m2,则最低造价为________(元).‎ ‎【解析】 设水池长为x,则宽为=.‎ 则总造价y=(12x+)×80+400×100‎ ‎=960(x+)+40 000‎ ‎≥960×2+40 000‎ ‎=78 400(元).‎ 当且仅当x=,‎ 即x=20时,最低造价为78 400元.‎ ‎【答案】 78 400‎ 构建数学模型解决实际问题,要正确理解题意,分清条件和结论,理顺数量关系,将文字语言转化成数学语言,建立适当的函数模型,求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.  ‎ ‎ 为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为:y=x2-200x+80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元,则该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?‎ 解:设该单位每月获利为S,‎ 则S=100x-y ‎=100x- ‎=-x2+300x-80 000‎ ‎=-(x-300)2-35 000,‎ 因为400≤x≤600,‎ 所以当x=400时,S有最大值-40 000.‎ 故该单位不获利,需要国家每月至少补贴40 000元,才能不亏损.‎ 核心素养系列4 数学建模——函数建模在实际问题中的妙用 ‎ 某新型企业为获得更大利润,须不断加大投资,若预计年利润低于10%时,则该企业就考虑转型,下表显示的是某企业几年来年利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据:‎ 年份 ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎…‎ 投资成本x ‎3‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎17‎ ‎…‎ 年利润y ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎…‎ 给出以下3个函数模型:①y=kx+b(k≠0);②y=abx(a≠0,b>0,且b≠1);③y=loga(x+b)(a>0,且a≠1).‎ ‎(1)选择一个恰当的函数模型来描述x,y之间的关系;‎ ‎(2)试判断该企业年利润超过6百万元时,该企业是否要考虑转型.‎ ‎【解】 (1)将(3,1),(5,2)代入y=kx+b(k≠0),‎ 得解得所以y=x-.‎ 当x=9时,y=4,不符合题意;‎ 将(3,1),(5,2)代入y=abx(a≠0,b>0,且b≠1),‎ 得解得所以y=·()x=2.‎ 当x=9时,y=2=8,不符合题意;‎ 将(3,1),(5,2)代入y=loga(x+b)(a>0,且a≠1),‎ 得解得所以y=log2(x-1).‎ 当x=9时,y=log28=3;‎ 当x=17时,y=log216=4.故可用③来描述x,y之间的关系.‎ ‎(2)令log2(x-1)>6,则x>65.‎ 因为年利润<10%,所以该企业要考虑转型.‎ 解函数模型的实际应用题,首先应考虑该题考查的是何种函数,然后根据题意列出函数关系式(注意定义域),并进行相关求解,最后结合实际意义作答.‎   ‎ ‎ 某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月,预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数:①f(x)=p·qx;②f(x)=px2+qx+1;③f(x)=x(x-q)2+p(以上三式中p,q均为常数,且q>1).‎ ‎(1)为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?‎ ‎(2)若f(0)=4,f(2)=6.‎ ‎①求出所选函数f(x)的解析式(注:函数定义域是[0,5],其中x=0表示8月1日,x=1表示9月1日,以此类推);‎ ‎②为保证养殖户的经济效益,当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销,请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌.‎ 解:(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势,而中期又将出现价格连续下跌,所以在所给出的函数中应选模拟函数f(x)=x(x-q)2+p.‎ ‎(2)①对于f(x)=x(x-q)2+p,‎ 由f(0)=4,f(2)=6,‎ 可得p=4,(2-q)2=1,‎ 又q>1,所以q=3,‎ 所以f(x)=x3-6x2+9x+4(0≤x≤5).‎ ‎②因为f(x)=x3-6x2+9x+4(0≤x≤5),‎ 所以f′(x)=3x2-12x+9,‎ 令f′(x)<0,得1<x<3.‎ 所以函数f(x)在(1,3)内单调递减,所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌.‎ ‎[基础题组练]‎ ‎1.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是(  )‎ x ‎1.992‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5.15‎ ‎6.126‎ y ‎1.517‎ ‎4.041 8‎ ‎7.5‎ ‎12‎ ‎18.01‎ A.y=2x-2         B.y=(x2-1)‎ C.y=log2x D.y=logx 解析:选B.由题中表可知函数在(0,+∞)上是增函数,且y的变化随x的增大而增大得越来越快,分析选项可知B符合,故选B.‎ ‎2.某工厂6年来生产某种产品的情况是:前3年年产量的增长速度越来越快,后3年年产量保持不变,则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是(  )‎ 解析:选A.前3年年产量的增长速度越来越快,说明呈高速增长,只有A、C图象符合要求,而后3年年产量保持不变,故选A.‎ ‎3.一种放射性元素的质量按每年10%衰减,这种放射性元素的半衰期(‎ 剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)是(精确到0.1,已知lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1)(  )‎ A.5.2 B.6.6‎ C.7.1 D.8.3‎ 解析:选B.设这种放射性元素的半衰期是x年,则(1-10%)x=,化简得0.9x=,即x=log0.9===≈6.6(年).故选B.‎ ‎4.某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定:每位职工每月用水不超过10 m3的,按每立方米m元收费;用水超过10 m3的,超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水为(  )‎ A.13 m3 B.14 m3‎ C.18 m3 D.26 m3‎ 解析:选A.设该职工用水x m3时,缴纳的水费为y元,由题意得y= 则10m+(x-10)·2m=16m,解得x=13.‎ ‎5.已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是(  )‎ A.40万元 B.60万元 C.120万元 D.140万元 解析:选C.甲6元时该商人全部买入甲商品,可以买120÷6=20(万份),在t2时刻全部卖出,此时获利20×2=40万元,乙4元时该商人买入乙商品,可以买(120+40)÷4=40(万份),在t4时刻全部卖出,此时获利40×2=80万元,共获利40+80=120万元,故选C.‎ ‎6.某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边夹角为60°(如图),考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为9平方米,且高度不低于米.记防洪堤横断面的腰长为x米,外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米,则其腰长x的范围为(  )‎ A.[2,4] B.[3,4]‎ C.[2,5] D.[3,5]‎ 解析:选B.根据题意知,9=(AD+BC)h,其中AD=BC+2·=BC+x,h=x,‎ 所以9=(2BC+x)x,得BC=-,‎ 由得2≤x<6.‎ 所以y=BC+2x=+(2≤x<6),由y=+≤10.5,解得3≤x≤4.因为[3,4]⊆[2,6),‎ 所以腰长x的范围是[3,4].‎ ‎7.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.‎ 加油时间 加油量(升)‎ 加油时的累计里程(千米)‎ ‎2016年5月1日 ‎12‎ ‎35 000‎ ‎2016年5月15日 ‎48‎ ‎35 600‎ 注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.‎ 在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为________升.‎ 解析:因为每次都把油箱加满,第二次加了48升油,说明这段时间总耗油量为48升,而行驶的路程为35 600-35 000=600(千米),故每100千米平均耗油量为48÷6=8(升).‎ 答案:8‎ ‎8.某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费);超过3 km但不超过8 km时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8 km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了________km.‎ 解析:设出租车行驶x km时,付费y元,‎ 则y= 由y=22.6,解得x=9.‎ 答案:9‎ ‎9.里氏震级M的计算公式为:M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为________级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍.‎ 解析:M=lg 1 000-lg 0.001=3-(-3)=6.‎ 设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1,A2,则9=lg A1-lg A0=lg ,则=109,‎ ‎5=lg A2-lg A0=lg ,则=105,所以=104.‎ 即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍.‎ 答案:6 10 000‎ ‎10.(2020·杭州八校联考)一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比,且比例系数为k,除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里/小时时,每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里,当这艘轮船的速度为________海里/小时时,总费用最小.‎ 解析:设每小时的总费用为y元,则y=kv2+96,又当v=10时,k×102=6,‎ 解得k=0.06,‎ 所以每小时的总费用y=0.06v2+96,匀速行驶10海里所用的时间为小时,故总费用为W=y=(0.06v2+96)=0.6v+≥2=48,当且仅当0.6v=,‎ 即v=40时等号成立.故总费用最小时轮船的速度为40海里/小时.‎ 答案:40‎ ‎11.A,B两城相距100 km,在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A,B两城供电,为保证城市安全,核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍,若A城供电量为每月20亿度,B城供电量为每月10亿度.‎ ‎(1)求x的取值范围;‎ ‎(2)把月供电总费用y表示成x的函数;‎ ‎(3)核电站建在距A城多远,才能使供电总费用y最少?‎ 解:(1)x的取值范围为10≤x≤90.‎ ‎(2)y=5x2+(100-x)2(10≤x≤90).‎ ‎(3)因为y=5x2+(100-x)2=x2-500x+25 000=+,所以当x=时,ymin=.故核电站建在距A城 km处,能使供电总费用y最少.‎ ‎12.如图,GH是一条东西方向的公路,现准备在点B的正北方向的点A处建一仓库,设AB=y千米,并在公路旁边建造边长为x千米的正方形无顶中转站CDEF(其中边EF在公路GH上).若从点A向公路和中转站分别修两条道路AB,AC,已知AB=AC+1,且∠ABC=60°.‎ ‎(1)求y关于x的函数解析式;‎ ‎(2)如果中转站四周围墙的造价为10万元/千米,道路的造价为30万元/千米,问x 取何值时,修建中转站和道路的总造价M最低?‎ 解:(1)由题意易知x>1,BC=2x,‎ 又AB=y,AC=y-1,‎ 在△ABC中,由余弦定理得,(y-1)2=y2+4x2-2y·2x·cos 60°,‎ 所以y=(x>1).‎ ‎(2)M=30(2y-1)+40x=-30+40x,其中x>1,‎ 设t=x-1,则t>0,‎ 所以M=-30+40(t+1)=160t++250≥2+250=490,‎ 当且仅当t=时等号成立,此时x=.‎ 所以当x=时,修建中转站和道路的总造价M最低.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是(  )‎ A.16小时 B.20小时 C.24小时 D.28小时 解析:选C.由已知得192=eb,①‎ ‎48=e22k+b=e22k·eb,②‎ 将①代入②得e22k=,则e11k=,‎ 当x=33时,y=e33k+b=e33k·eb=×192=24,所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时.故选C.‎ ‎2.某类产品按工艺共分10个档次,最低档次产品每件利润为8元.每提高一个档次,每件利润增加2元.用同样工时,可以生产最低档次产品60件,每提高一个档次将少生产3件产品,则每天获得利润最大时生产产品的档次是(  )‎ A.7 B.8‎ C.9 D.10‎ 解析:选C.由题意,当生产第k档次的产品时,每天可获利润为y=[8+2(k-1)][60-3(k-1)]=-6k2+108k+378(1≤k≤10,k∈N*),配方可得y=-6(k-9)2+864,所以当k=9时,获得利润最大.选C.‎ ‎3.拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位:元)由f(m)=1.06(0.5[m]+1)给出,其中 m>0,[m]是不超过m的最大整数(如[3]=3,[3.7]=3,[3.1]=3),则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元.‎ 解析:因为m=6.5,所以[m]=6,则f(m)=1.06×(0.5×6+1)=4.24.‎ 答案:4.24‎ ‎4.某汽车销售公司在A、B两地销售同一种品牌的汽车,在A地的销售利润(单位:万元)为y1=4.1x-0.1x2,在B地的销售利润(单位:万元)为y2=2x,其中x为销售量(单位:辆),若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车,则能获得的最大利润是________万元.‎ 解析:设公司在A地销售该品牌的汽车x辆,则在B地销售该品牌的汽车(16-x)辆,所以可得利润y=4.1x-0.1x2+2(16-x)=-0.1x2+2.1x+32=-0.1+0.1×+32.因为x∈[0,16]且x∈N,所以当x=10或11时,总利润取得最大值43万元.‎ 答案:43‎ ‎5.某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线.‎ ‎(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式;‎ ‎(2)据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效,求服药一次后治疗疾病有效的时间.‎ 解:(1)由题图,设y= 当t=1时,由y=4得k=4,‎ 由=4得a=3.‎ 所以y= ‎(2)由y≥0.25得或 解得≤t≤5.‎ 因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5-=(小时).‎ ‎6.食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位:万元)满足P=80+4,Q=a+120,设甲大棚的投入为x(单元:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元).‎ ‎(1)求f(50)的值;‎ ‎(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大?‎ 解:(1)由题意知甲大棚投入50万元,‎ 则乙大棚投入150万元,‎ 所以f(50)=80+4+×150+120=277.5(万元).‎ ‎(2)f(x)=80+4+(200-x)+120=-x+4+250,依题意得⇒20≤x≤180,‎ 故f(x)=-x+4+250(20≤x≤180).‎ 令t=,则t∈[2,6],y=-t2+4t+250=-(t-8)2+282,‎ 当t=8,即x=128时,f(x)取得最大值,f(x)max=282.‎ 所以甲大棚投入128万元,乙大棚投入72万元时,总收益最大,且最大总收益为282万元.‎
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