湖北省黄冈市2020届高三9月质量检测数学（理）试题

湖北省黄冈市2020届高三9月质量检测数学（理）试题

黄冈市2019年高三年级9月质量检测 数学试题(理科)‎ 一：选择题。‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出集合、，再利用补集和交集的定义得出集合.‎ ‎【详解】解不等式，得或；‎ 解不等式，得，解得.‎ ‎，，则，‎ 因此，，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎2.若，则下列不等式恒成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性以及特殊值法来判断各选项中不等式的正误.‎ ‎【详解】对于A选项，由于指数函数为增函数，且，，A选项中的不等式不成立；‎ 对于B选项，由于对数函数在上单调递增，，当时，‎ ‎，B选项中的不等式不恒成立；‎ 对于C选项，由于幂函数在上单调递增，且，，C选项中的不等式恒成立；‎ 对于D选项，取，，则，但，D选项中的不等式不恒成立.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查不等式正误的判断，通常利用函数单调性、比较法、不等式的性质以及特殊值法来判断，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎3.设为正项等比数列的前项和，若，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等比数列的公比为，利用题中条件求出，再由可计算出的值.‎ ‎【详解】设等比数列的公比为，则，‎ 整理得，，解得，因此，，故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列中基本量的计算，一般利用首项和公比建立方程（组）求解基本量，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎4.几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点、是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大”.如图，其结论是：点为过、两点且和射线相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点、，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据米勒问题的结论，点应该为过点、的圆与轴的切点，可设点的坐标为，写出圆的方程，并将点、的坐标代入可求出点的横坐标.‎ ‎【详解】设圆心的坐标为，则圆的方程为，‎ 将点、的坐标代入圆的方程得，‎ 解得或（舍），因此，点横坐标为，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查点的坐标的求法，考查直线与圆的位置关系、切割线定理等基础知识，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎5.如图为一个几何体的三视图，则该几何体中任意两个顶点间的距离的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出几何体直观图，判断两点间距离最大值的位置，求解即可.‎ ‎【详解】由题意可知，几何体的直观图如下图所示，该几何体是长方体的一部分，该几何体中任一两个顶点间距离的最大值应该是、、中的一个，‎ 且，‎ ‎，，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查三视图的直观图的应用，解题时要根据三视图还原几何体，作出几何体的直观图，并计算出棱长，考查空间想象能力，属于中等题.‎ ‎6.函数在的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性，以及该函数在附近的函数值符号进行排除，从而可判断出函数的图象.‎ ‎【详解】，该函数为奇函数，排除A、B选项；‎ 构造函数，则，则函数在上单调递减，‎ 由于，，由零点存在定理可知，存在，使得，且当时，，此时，函数在区间上单调递增，‎ 当时，，此时，，‎ 因此，符合条件的图象为C选项中的图象，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从以下几个要素进行考查：（1）定义域；（2）奇偶性；（3）单调性；（4）零点；（5）函数值符号.通过排除法得出符合条件的函数图象，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎7.已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点，且，则（ ）‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点的坐标为，点的坐标为，利用向量的坐标运算计算出点的纵坐标，然后利用抛物线的定义求出的值.‎ ‎【详解】抛物线的焦点为的坐标为，准线方程为，‎ 设点的坐标为，点的坐标为，则，，‎ ‎，，解得，因此，，故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的定义，同时也考查了利用共线向量计算点的坐标，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎8.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列说法不正确的是( )‎ A. B. 在区间上单调递减 C. 是图象的一条对称轴 D. 是图象的一个对称中心 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用图象平移得出函数的解析式，然后利用正弦型函数的性质判断各选项中有关函数的性质及函数值的正误.‎ ‎【详解】由题意可得，‎ 则，A选项正确；‎ 当时，，则函数在区间上单调递减，B选项正确；‎ ‎，则是图象的一条对称轴，C选项正确；‎ ‎，不是图象的一个对称中心，D选项错误.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数图象平移与三角函数的基本性质，解题的关键就是要确定函数解析式，并利用正弦函数的基本性质进行判断，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎9.已知函数，图象在点处的切线过点，函数为奇函数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的表达式，利用奇函数的定义得出、、的等量关系，利用导数求出函数的图象在点处的切线方程，并将点代入切线方程可求出实数的值.‎ ‎【详解】，‎ 由于函数是奇函数，则，‎ 即，‎ 所以，对任意的恒成立，‎ ‎，得，，‎ ‎，则，，‎ 所以，函数的图象在点处的切线方程为，‎ 由于该直线过点，则有，解得，故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用奇偶性求参数，同时也考查了函数的切线过点的问题，一般利用导数求出切线方程，并将点的坐标代入切线方程即可，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎10.在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 由题意得出，再由，，可得出，由三点共线得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.‎ ‎【详解】如下图所示：‎ ‎，即，，‎ ‎，，，，‎ ‎，、、三点共线，则.‎ ‎，‎ 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎11.椭圆与双曲线焦点相同，、分别为左焦点和右焦点，椭圆与双曲线在第一象限交点为，且，则当这两条曲线的离心率之积为时，双曲线的渐近线斜率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得出、‎ ‎，再由余弦定理，可得出、、的关系，结合离心率公式以及已知条件得出双曲线的离心率，从而得出双曲线的渐近线斜率.‎ ‎【详解】设，，为椭圆和双曲线在第一象限的交点，‎ 由椭圆和双曲线的定义得，解得，‎ 在中，，由余弦定理得，‎ 即，整理得，‎ 设椭圆和双曲线的离心率分别为、，则，即，‎ 由题意可得，解得，所以，，‎ 因此，双曲线的渐近线的斜率为，故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查共焦点的椭圆和双曲线的离心率，同时也考查了双曲线渐近线斜率的计算，解题的关键在于充分利用椭圆和双曲线的定义并结合余弦定理求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎12.函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得出，构造函数，问题转化为当直线 与函数的图象在上有两个交点时，求实数的取值范围，然后利用导数分析函数在区间上的单调性与极值，利用数形结合思想可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】由，得出，构造函数，问题转化为当直线与函数的图象在上有两个交点时，求实数的取值范围.‎ ‎，令，得，‎ 当时，；当时，.‎ 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则函数在处取得最小值，即，又，，，如下图所示：‎ 由图象可知，当时，直线与函数在区间上有两个交点，因此，实数的取值范围是，故选：C.‎ ‎【点睛】已知函数零点个数求参数取值范围常用方法和思路：‎ ‎（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），解出即可；‎ ‎（2）参变量分离法：先将参数分离，转化为参数直线与定函数图象的交点个数问题.‎ 二、填空题.‎ ‎13.设命题，，，若和中有且仅有一个为真命题，则实数的取值范围是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出当和为真命题时实数的取值范围，然后就真假和假 真两种情况分类讨论，可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】若命题为真命题，即，解得或；‎ 若命题为真命题，则，解得或.‎ 若真假，则，可得；‎ 若假真，则，可得.‎ 因此，实数的取值范围是，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用命题的真假求参数的取值范围，解决这类问题通常是考虑命题为真命题时参数的取值范围，再利用补集思想得出命题为假时对应的参数的取值范围，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎14.设等比数列满足，且，，则的最小值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等比数列的公比为，则，根据题中条件列出关于和的方程组，解出这两个量，求出数列的通项公式，可得出关于的表达式，再利用二次函数的性质求出的最小值.‎ ‎【详解】设等比数列的公比为，则，由题意可得，‎ 解得，，则，‎ 所以，，‎ 因此，当或时，取得最小值，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列与等差数列的综合问题，在求解等比数列时，一般建立首项和公比的方程组，利用方程思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎15.已知函数，若方程在上有两个不同的实数根，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，得出，构造函数，其中，对函数的解析式化为分段函数，并作出函数的图象，利用数形结合思想求出当直线与函数在区间上的图象有两个交点时，实数的取值范围，即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】令，得出，构造函数，其中，‎ 则，作出函数在区间上的图象如下图所示：‎ 由图象可知，当时，即当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点，因此，实数的取值范围是，故答案为：.‎ ‎【点睛】已知函数零点个数求参数取值范围常用方法和思路：‎ ‎（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），解出即可；‎ ‎（2）参变量分离法：先将参数分离，转化为参数直线与定函数图象的交点个数问题.‎ ‎16.如图，在长方体中，底面是边长为的正方形，侧棱长为，、、、分别是棱、、、中点，是底面内一动点，若直线与平面不存在公共点，则三角形面积的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别取、、的中点、、，将平面扩展为平面 ‎，并证明出平面平面，可知当点时，平面，可得出点的轨迹为线段，并证明，当时，取最小值，则的面积取最小值.‎ ‎【详解】如下图所示：‎ 分别取、、的中点、、，连接六边形和的各边，‎ ‎、分别为、的中点，，同理可证，‎ 在长方体中，，则四边形为平行四边形，，‎ ‎，同理可证，，则平面即为平面，‎ ‎，平面，平面，同理可证平面，‎ ‎，、平面，平面平面，‎ 平面，平面，所以，点在底面的轨迹为线段.‎ 平面，平面，，‎ 当时，的面积取最小值，此时，，‎ 因此，的最小值为，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查三角形面积的最小值的求解，考查平面内点的轨迹问题，同时也考查了利用面面平行转化为线面平行，解题的关键就是找出点的轨迹，考查推理能力与计算能力，属于难题.‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知命题方程在存在唯一实数根；，.‎ ‎（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若为真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由为真命题得出，可解出实数的取值范围；‎ ‎（2）令，并作出函数在区间上的图象，得出当直线与函数在上只有一个交点时实数的取值范围，可得出命题为真命题时实数的取值范围，由命题为真命题得出，解出对应的实数的取值范围，再将的两个取值范围取交集可得出命题为真命题时的取值范围.‎ ‎【详解】（1），.‎ 则命题为真命题时，有，则或.‎ 因此，实数的取值范围是；‎ ‎（2）若命题为真命题，则真且真.‎ 命题为真命题时，即方程在上存在唯一实数根，‎ 令，则函数在上单调递增，‎ 问题转化为，在上存在唯一实数根，‎ 令，则，.‎ 作出函数在上的图象如下图所示：‎ 由图象可知，当或时，即当或时，直线与函数在上有唯一交点.‎ 当命题为真命题时，有，则.‎ 因此，当为真命题时，的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数方程根的个数问题以及二次不等式问题，同时也考查复合命题与参数范围的求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎18.设函数，，的导数为，若为奇函数，且对任意的有.‎ ‎（1）求表达式；‎ ‎（2）在中，角、、的对边分别为、、，，求的面积最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，可得出函数的表达式，利用函数的最大值为，得出，再由函数为奇函数，得出可得出的值，由此可得出函数的解析式；‎ ‎（2）求得，利用弦化切思想以及得出，由正弦定理得出，代入得出，由此可得出面积的最大值.‎ ‎【详解】（1），，‎ 则，‎ ‎，，，‎ 则，‎ 又函数奇函数，，则.‎ ‎，，；‎ ‎（2）且，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 因此，当时，的面积取得最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数与三角形的综合问题，同时考查三角函数的最值以及三角形面积的最值，考查了辅助角变换、三角函数的导数以及正弦定理的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎19.已知数列，，其中，，且满足，，，.‎ ‎（1）求证：数列为等比数列；‎ ‎（2）求数列的前项和为.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将等式与等式相减，利用等比数列的定义可证明出数列为等比数列；‎ ‎（2）由（1）得出，再将题干中两等式相加可得出数列为常数列，且，可得出，然后将数列的通项公式裂项为，并利用裂项法求出.‎ ‎【详解】（1）当且时，，，‎ 将上述两等式相减得，‎ 又，所以是首项为，公比为的等比数列；‎ ‎（2）由（1）知，①，‎ 将等式与等式相加，‎ 得，且，‎ 所以为常数列且②，联立①②得，‎ 故，‎ 所以 ‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查利用等比数列的定义证明等比数列，同时也考查了利用裂项求和法，解题时要熟悉裂项法对数列通项公式结构的要求，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）若函数的最小值是且，，求的值；‎ ‎（2）若，且在区间上恒成立，试求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意得出，可解出、的值，可得出函数和函数的解析式，从而计算出的值；‎ ‎（2）由已知条件得出，由题意得出在区间上恒成立，利用参变量分离法得出且在上恒成立，然后利用函数单调性和基本不等式分别求出和在上的最小值和最大值，可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由已知，且，解得，，‎ ‎，则，‎ 则；‎ ‎（2）由，，得，从而在区间上恒成立等价于在区间上恒成立，‎ 即且在上恒成立.‎ 函数在区间上单调递减，则.‎ 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，则的最大值为，，‎ 因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查二次函数解析式的求解，同时也考查二次不等式区间上恒成立问题，灵活利用参变量分离法转化为函数的最值来求解，可简化计算与分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎21.某市为了改善居民的休闲娱乐活动场所，现有一块矩形草坪如下图所示，已知：米，米，拟在这块草坪内铺设三条小路、和，要求点是的中点，点在边上，点在边时上，且.‎ ‎（1）设，试求的周长关于的函数解析式，并求出此函数的定义域；‎ ‎（2）经核算，三条路每米铺设费用均为元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用.‎ ‎【答案】（1），定义域为；‎ ‎（2）当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用勾股定理通过，得出，结合实际情况得出该函数的定义域；‎ ‎（2）设，由题意知，要使得铺路总费用最低，即为求的周长最小，求出的取值范围，根据该函数的单调性可得出的最小值.‎ ‎【详解】（1）由题意，在中，，，，，‎ 中，，，，又，‎ ‎，‎ 所以，即.‎ 当点在点时，这时角最小，求得此时；‎ 当点在点时，这时角最大，求得此时.‎ 故此函数的定义域为；‎ ‎（2）由题意知，要求铺路总费用最低，只需要求周长的最小值即可．‎ 由（1）得，，‎ 设，，‎ 则，‎ 由，得，，则，‎ 从而，当，即当时，，‎ 答：当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数模型的实际应用，同时也考查了正弦定理、勾股定理的应用，要根据题意构建函数解析式，并利用合适的方法求解，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎22.已知函数的导函数为，，且函数存在零点.‎ ‎（1）求实数、的值；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围（参考数据：方程的一个近似解）‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导函数，由可解出、的值；‎ ‎（2）由题意得出时原不等式对任意实数恒成立，只需讨论时在上恒成立时参数的取值范围，然后利用参变量分离法得出，并构造函数，并利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1），，‎ 又，即，由函数存在零点，‎ 得，得，故；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立等价于恒成立，‎ 显然时不等式对任意实数恒成立，‎ 因此，只需讨论时恒成立的取值，使不等式在上恒成立.‎ ‎，即.‎ 令，‎ 则，‎ 由得，依题设知该方程的一个正根为.‎ 分别作出和的图象，‎ 由图象可知当， ，当时，.‎ 又，‎ ‎，.‎ 因此，实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查导数的计算，以及利用导数求解不等式恒成立问题，在解题中充分利用参变量分离法求解，可以简化分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.‎ ‎ ‎