2017-2018学年内蒙古杭锦后旗奋斗中学高二下学期第二次月考数学（理）竞赛试题-解析版

2017-2018学年内蒙古杭锦后旗奋斗中学高二下学期第二次月考数学（理）竞赛试题-解析版

绝密★启用前 内蒙古杭锦后旗奋斗中学2017-2018学年高二下学期第二次月考数学（理）竞赛试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合，，则集合（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 根据题意，集合，且，‎ ‎ 所以，故选B．‎ ‎2．若复数z满足则复数对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】分析：由条件求出复数z，进而得到共轭复数，结合复数的几何意义得到结果.‎ 详解：由，得z=2i（1-i）=2+2i，‎ ‎∴=2-2i 对应的点的坐标为（2，-2），‎ ‎∴复数z对应的点位于第四象限．‎ 故选：D．‎ 点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．‎ ‎3．命题：“，”的否定为（ ）‎ A. , B. ,‎ C. , D. ,‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．‎ 详解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题 即￢p：∀x∈R，x2+1≥2x，‎ 故选：A．‎ 点睛：本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．‎ ‎4．“x＞1”是“x2＋2x＞0”的(　　)‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由，得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A．‎ ‎5．已知随机变量～，且，则（ ）‎ A. 0.15 B. 0.35 C. 0.85 D. 0.3‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：随机变量X服从正态分布～，得到曲线关于x=3对称，根据曲线的对称性得到结论．‎ 详解：随机变量X服从正态分布N（3，σ2），‎ ‎∴曲线关于x=3对称，‎ ‎∵P（X4）=0.15，‎ ‎∴P（X≤2）=0.15，‎ ‎∴P（X≥2）=1﹣P（X≤2）=0.85，‎ 故选：C．‎ 点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法 ‎①熟记P(μ－σ0，命题q:实数x满足．‎ ‎（1）若，且为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：（1）命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，解得a＜x＜3a．若a=1，则p中：1＜x＜3，由p且q为真，可得p与q都为真，即可得出．‎ ‎（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，可得q是p 的充分不必要条件，即可得出．‎ 详解：（1）命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，解得a＜x＜3a．‎ 命题q中：实数x满足 2≤x≤3．‎ 若a=1，则p中：1＜x＜3，‎ ‎∵p且q为真，∴，解得2≤x＜3，‎ 故所求x∈．‎ ‎（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，‎ 则q是p 的充分不必要条件，‎ ‎∴，解得1＜a＜2，‎ ‎∴a的取值范围是．‎ 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎18．某商场为了解该商场某商品近5年日销售量(单位：件)，随机抽取近5年50天的销售量，统计结果如下：‎ 日销售量 ‎100‎ ‎150‎ 天数 ‎30‎ ‎20‎ 频率 若将上表中频率视为概率，且每天的销售量相互独立．则在这5年中：‎ ‎(1)求5天中恰好有3天销售量为150件的概率(用分式表示)；‎ ‎(2)已知每件该商品的利润为20元，用X表示该商品某两天销售的利润和(单位： 元)，求X的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2)分布列见解析；.‎ ‎【解析】分析：(1) 先求得销售量为150件的概率p=，然后利用二项分布求得其概率；‎ ‎(2) X的可能取值为4000,5000,6000，分别求得其概率，写出分布列和数学期望．‎ 详解：(1)依题意5天中恰好有3天销售量为150件的概率 ‎． ‎ ‎(2) X的可能取值为4000,5000,6000．‎ ‎，，‎ ‎．‎ 所以X的分布列为 X ‎4000‎ ‎5000‎ ‎6000‎ P 数学期望（元）． ‎ 点睛：本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该类问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.‎ ‎19．已知函数在处取得极值．‎ ‎(1)求，并求函数在点处的切线方程；‎ ‎(2) 求函数的单调区间．‎ ‎【答案】（1），；（2）单调递减区间为和，单调递增区间为 ‎【解析】分析：(1)由题意可得． 结合函数的极值可知． 故函数在点处的切线方程为．‎ ‎(2)由题意可得，利用导函数研究函数的单调性可得的单调递减区间为和，单调递增区间为．‎ 详解：(1)因为，所以． ‎ 因为在 处取得极值，所以，即，‎ 解得．即.‎ 因为，，，‎ 所以函数在点处的切线方程为．‎ ‎(2)由(1) ，‎ 令，即，解得，‎ 所以的单调递增区间为．‎ 令，即，解得或，‎ 所以的单调递减区间为，．‎ 综上，的单调递减区间为和，单调递增区间为．‎ 点睛：本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的切线方程等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎20．近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的列联表如下：‎ 对优惠活动好评 对优惠活动不满意 合计 对车辆状况好评 对车辆状况不满意 合计 ‎（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？‎ ‎（2）为了回馈用户，公司通过向用户随机派送每张面额为元，元，元的 三种骑行券.用户每次使用扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得元券，获得元券的概率分别是，，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为，求随机变量的分布列和数学期望.‎ 参考数据：‎ 参考公式：，其中.‎ ‎【答案】(1) 在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.‎ ‎(2)分布列见解析； （元）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意求得 的值，然后即可确定结论； （2）由题意首先求得分布列，然后求解数学期望即可．‎ 试题解析 ‎（1）由列联表的数据，有 ‎ ‎ ‎ .‎ 因此，在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.‎ ‎（2）由题意，可知一次骑行用户获得元的概率为.的所有可能取值分别为，，，，.‎ ‎∵， ，‎ ‎ ， ，‎ ‎，‎ ‎∴的分布列为：‎ 的数学期望为 （元）. ‎ ‎21．某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道测试题，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为．假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立，互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答．‎ ‎(1)求甲、乙两名学生共答对2道测试题的概率；‎ ‎(2)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) 应选拔甲学生代表学校参加竞赛．‎ ‎【解析】分析：（1）利用互斥事件概率加法公式、n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式能求出甲、乙两名学生共答对2个问题的概率；‎ ‎（2）设学生甲答对的题数为X，则X的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，从而求出E（X），D（X）=X），设学生乙答对题数为Y，则Y所有可能的取值为0，1，2，3，由题意知Y～B（3，），从而求出E（Y），D（X），由E（X）=E（Y），D（X）＜D（Y），得到甲代表学校参加竞赛的可能性更大．‎ 详解：(1)依题设记甲、乙两名学生共答对2道测试题的概率为P，‎ 则． ‎ ‎(2)设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为1,2,3．‎ ‎， ， ． ‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 的分布列为：‎ 所以，．‎ 设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为0，1，2，3．则．‎ 所以，． ‎ 因为，，即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定，‎ 所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛． ‎ 点睛：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查互斥事件概率加法公式、n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．‎ ‎22．已知．‎ ‎(1)若函数在R上单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎(2)若，证明：当时，．‎ 参考数据：，．‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2)证明见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）求出函数的导数，问题转化为a≤（）min，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）求出，研究函数的单调性与极值从而明确函数的最小值，问题从而得证.‎ 详解：（1）依题意． ‎ 因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，‎ 因此．2分令，则，令，解得，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以当时，取得最小值，‎ 故，即的取值范围为．‎ ‎(2)证明：若，则，得，‎ 由(1)知在上单调递减，在上单调递增．‎ 又，，．‎ 所以存在，使得． ‎ 所以当时，，当时，，‎ 则函数在单调递减，在单调递增．‎ 则当时，函数在上有最小值．‎ 由得，‎ 所以= ==． ‎ 由于，‎ 所以 ．‎ 所以当时，．‎ 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.‎