【数学】2020届一轮复习人教版（理）第10章第4讲随机事件的概率学案

【数学】2020届一轮复习人教版（理）第10章第4讲随机事件的概率学案

第4讲　随机事件的概率 ‎[考纲解读]　1.了解随机事件概率的意义，理解频率与概率的区别．(重点)‎ ‎2.掌握互斥事件的概率加法公式．(难点)‎ ‎[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲内容一般不作独立考查，预测2020年将会考查：①对立、互斥与古典概型结合，基本概率的计算；②随机事件与频率分布直方图相结合. 以客观题的形式呈现，试题难度不大，属中、低档题型.‎ ‎1．事件的分类 ‎2．频率和概率 ‎(1)在相同的条件S下重复n次实验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．‎ ‎(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．‎ ‎3．事件的关系与运算 ‎4．概率的几个基本性质 ‎(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.‎ ‎(2)必然事件的概率P(E)＝1.‎ ‎(3)不可能事件的概率P(F)＝0.‎ ‎(4)概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．‎ ‎(5)对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．‎ ‎1．概念辨析 ‎(1)若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.(　　)‎ ‎(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(　　)‎ ‎(3)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．(　　)‎ ‎(4)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含结果组成集合的补集．(　　)‎ ‎(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(　　)‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√‎ ‎　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎2．小题热身 ‎(1)下列事件中不可能事件的个数为(　　)‎ ‎①如果a>b，c>d，则a－d>b－c；②对某中学的毕业生进行一次体检，每个学生的身高都超过‎2 m；③某电视剧收视率为40%；④从10个玻璃杯(其中8个正品，2个次品)中，任取2个，2个都是次品；⑤在不受外力作用的条件下，做匀速直线运动的物体改变其匀速直线运动状态．‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ 答案　B 解析　①是必然事件；②⑤是不可能事件；③④是随机事件．故选B.‎ ‎(2)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”(　　)‎ A．是互斥事件，不是对立事件 B．是对立事件，不是互斥事件 C．既是互斥事件，也是对立事件 D．既不是互斥事件也不是对立事件 答案　C 解析　3名男生和2名女生，从中任选2名有以下可能：①全是男生；②恰有1名女生；③全是女生，所以“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件，也是对立事件．‎ ‎(3)给出下列三个命题，其中正确的命题有________个．‎ ‎①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；‎ ‎②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；‎ ‎③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．‎ 答案　0‎ 解析　由概率的概念知，从中任取100件，可能有10件次品，并不是必有10件次品，则①是假命题；抛硬币时出现正面的概率是，不是，则②是假命题；频率和概率不是同一个概念，则③是假命题．综上可知，正确的命题有0个．‎ ‎(4)从一箱产品中随机抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为________．‎ 答案　0.35‎ 解析　“抽到的不是一等品”与“抽到一等品”是对立事件，所以抽到的不是一等品的概率P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.‎ 题型 　随机事件的关系 ‎1．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是(　　)‎ A．互斥但非对立事件 B．对立事件 C．相互独立事件 D．以上都不对 答案　A 解析　“甲向南”与“乙向南”不会同时发生，但有可能都不发生，所以这两个事件互斥但不对立．‎ ‎2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率为的事件是(　　)‎ A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡 C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡 答案　A 解析　至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，因此“至多有一张移动卡”‎ 的概率为.‎ 判断互斥、对立事件的两种方法 ‎(1)定义法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．‎ ‎(2)集合法 ‎①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．‎ ‎②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 某小组有3名男生和2名女生，从中选2名同学去参加演讲比赛，下列有4个事件：①恰有1名男生和恰有2名男生；②至少有1名男生和至少有1名女生；③至少有1名男生和全是男生；④至少有1名男生和全是女生，其中是互斥事件的是________(填序号)．‎ 答案　①④‎ 解析　对于事件①，恰有1名男生是1男1女与恰有2名男生互斥；对于事件②，至少1名男生与至少1名女生两者有可能同时发生，所以不是互斥事件；对于③，至少1名男生与全是男生也有可能同时发生，所以不是互斥事件；对于事件④，至少1名男生和全是女生不可能同时发生，是互斥事件．‎ 题型 　随机事件的频率与概率 ‎1．对一批衬衣进行抽样检查，结果如表：‎ ‎(1)求次品出现的频率(次品率)；‎ ‎(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A，求P(A)；‎ ‎(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1000件衬衣，至少需进货多少件？‎ 解　(1)次品率依次为0,0.02,0.06,0.054,0.045,0.05,0.05.‎ ‎(2)由(1)知，出现次品的频率在0.05附近摆动，故P(A)＝0.05.‎ ‎(3)设购进衬衣x件，则x(1－0.05)≥1000，解得x≥1053，故至少需进货1053件．‎ ‎2．(2018·全国卷Ⅰ)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：‎ ‎(1)作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：‎ ‎(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于‎0.35 m3‎的概率；‎ ‎(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)‎ 解　(1)‎ ‎(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于‎0.35 m3‎ 的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于‎0.35 m3‎的概率的估计值为0.48.‎ ‎(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为 1＝×(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.‎ 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为2＝×(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.‎ 估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3)．‎ ‎1．计算简单随机事件频率或概率的解题思路 ‎(1)计算出所求随机事件出现的频数及总事件的频数．‎ ‎(2)由频率与概率的关系得所求．‎ ‎2．求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点 求解该类问题的关键是由所给频率分布表、频率分布直方图或茎叶图等图表计算出所求随机事件出现的频数，进而利用频率与概率的关系得所求.‎ ‎　(2019·福建基地综合测试)某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售1件该商品可获利50元．若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元．‎ ‎(1)若商店一天购进该商品10件，求日利润y(单位：元)关于日需求量n(单位：件，n∈N)的函数解析式；‎ ‎(2)商店记录了50天该商品的日需求量n(单位：件)，整理得下表：‎ 日需求量n ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 频数 ‎9‎ ‎11‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎①假设该店在这50天内每天购进10件该商品，求这50天的日利润(单位：元)的平均数；‎ ‎②若该店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求日利润在区间[400,550]内的概率．‎ 解　(1)当日需求量n≥10时，‎ 日利润为y＝50×10＋(n－10)×30＝30n＋200，‎ 当日需求量n<10时，‎ 利润y＝50×n－(10－n)×10＝60n－100.‎ 所以日利润y与日需求量n的函数解析式为 y＝ ‎(2)50天内有9天获得的日利润为380元，有11天获得的日利润为440元，有15天获得日利润为500元，有10天获得的日利润为530元，有5天获得的日利润为560元．‎ 所以 ‎①这50天的日利润(单位：元)的平均数为 ＝477.2.‎ ‎②日利润(单位：元)在区间[400,550]内的概率为 P＝＝.‎ 题型 　互斥事件与对立事件的概率 角度1　互斥事件概率公式的应用 ‎1．(2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　　)‎ A．0.3 B．‎0.4 C．0.6 D．0.7‎ 答案　B 解析　设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，事件C为既用现金支付也用非现金支付，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，因为P(A)＝0.45，P(C)＝0.15，所以P(B)＝0.4.故选B.‎ 角度2　对立事件概率公式的应用 ‎2．某班选派5人参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：‎ 获奖人数/人 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 概率 ‎0.1‎ ‎0.16‎ x y ‎0.2‎ z ‎(1)若获奖人数不超过2人的概率为0.56，求x的值；‎ ‎(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值．‎ 解　记事件“在竞赛中，有k人获奖”为Ak(k∈N，k≤5)，则事件Ak 彼此互斥．‎ ‎(1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56，‎ ‎∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56.解得x＝0.3.‎ ‎(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，得 P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.‎ 由获奖人数最少3人的概率为0.44，‎ 得P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，‎ 即y＋0.2＋0.04＝0.44，解得y＝0.2.‎ 求复杂的互斥事件概率的方法 ‎(1)直接法 ‎(2)间接法(正难则反)‎ ‎1．某城市2018年的空气质量状况如表所示：‎ 其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50

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