高考文科数学复习：夯基提能作业本 (8)
第四节 基本不等式及其应用
A组 基础题组
1.(2016海南调研)已知a,b∈(0,+∞),且a+b=1,则ab的最大值为( )
A.1 B.14 C.12 D.22
2.当x>0时,函数f(x)=2xx2+1有( )
A.最小值1 B.最大值1 C.最小值2 D.最大值2
3.(3-a)(a+6)(-6≤a≤3)的最大值为( )
A.9 B.92 C.3 D.322
4.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是( )
A.[0,2] B.[-2,0] C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
5.(2016宁夏银川模拟)若直线2ax+by-2=0(a>0,b>0)平分圆x2+y2-2x-4y-6=0,则2a+1b的最小值是( )
A.2-2 B.2-1 C.3+22 D.3-22
6.已知函数f(x)=4x+ax(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a= .
7.已知a>0,b>0,a+2b=3,则2a+1b的最小值为 .
8.若实数a,b满足1a+2b=ab,则ab的最小值为 .
9.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求
(1)xy的最小值;
(2)x+y的最小值.
10.某厂家拟在2017年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=3-km+1(k为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知2017
年生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).
(1)将2017年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;
(2)该厂家2017年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?
B组 提升题组
11.(2016东北育才学校模拟)设OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0)(a>0,b>0,O为坐标原点),若A,B,C三点共线,则2a+1b的最小值是( )
A.4 B.92 C.8 D.9
12.(2016安徽铜陵二模)已知a>-1,b>-2,(a+1)(b+2)=16,则a+b的最小值是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
13.若两个正实数x,y满足1x+4y=1,且不等式x+y4
0,y>0时,x⊗y+(2y)⊗x的最小值为 .
16.已知x,y∈R且满足x2+2xy+4y2=6,则 z=x2+4y2的取值范围为 .
17.某造纸厂拟建一座底面形状为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周的围墙建造单价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计.
(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;
(2)若由于地形限制,该水池的长和宽都不能超过16米,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.
答案全解全析
A组 基础题组
1.B ∵a,b∈(0,+∞),
∴1=a+b≥2ab,∴ab≤14,
当且仅当a=b=12时等号成立.
2.B ∵x>0,∴f(x)=2x+1x≤22x·1x=1.
当且仅当x=1x,即x=1时取等号.
所以f(x)有最大值1.
3.B 因为-6≤a≤3,所以3-a≥0,a+6≥0,则由基本不等式可知,(3-a)(a+6)≤(3-a)+(a+6)2=92,当且仅当a=-32时等号成立.
4.D ∵1=2x+2y≥22x·2y=22x+y(当且仅当2x=2y时等号成立),∴2x+y≤12,∴2x+y≤14,∴x+y≤-2.
5.C 易知圆心为(1,2),由题意知圆心(1,2)在直线2ax+by-2=0上,∴a+b=1,∴2a+1b=2a+1b(a+b) =3+2ba+ab≥3+22.当且仅当2ba=ab,即a=2-2,b=2-1时等号成立.
6.答案 36
解析 ∵x>0,a>0,∴f(x)=4x+ax≥24x·ax=4a,当且仅当4x=ax,即a=4x2时取等号,则由题意知a=4×32=36.
7.答案 83
解析 由a+2b=3得13a+23b=1,
又a>0,b>0,
∴2a+1b=13a+23b2a+1b
=43+a3b+4b3a≥43+2a3b·4b3a=83.
当且仅当a=2b=32时取等号.
8.答案 22
解析 由1a+2b=ab,知a>0,b>0,
所以ab=1a+2b≥22ab,即ab≥22,
当且仅当1a=2b,1a+2b=ab,
即a=42,b=242时取“=”,
所以ab的最小值为22.
9.解析 (1)由2x+8y-xy=0,
得8x+2y=1.
又x>0,y>0,
所以1=8x+2y≥28x·2y=8xy,
得xy≥64,
当且仅当x=16,y=4时,等号成立.
所以xy的最小值为64.
(2)由2x+8y-xy=0,得8x+2y=1,
则x+y=8x+2y·(x+y)=10+2xy+8yx≥10+22xy·8yx=18.
当且仅当x=12且y=6时等号成立,
所以x+y的最小值为18.
10.解析 (1)由题意知,当m=0时,x=1,
∴1=3-k⇒k=2,∴x=3-2m+1,
每件产品的销售价格为1.5×8+16xx(元),
∴y=1.5x×8+16xx-8-16x-m
=-16m+1+(m+1)+29(m≥0).
(2)∵m≥0时,16m+1+(m+1)≥216=8,当且仅当16m+1=m+1,即m=3时,取等号,
∴y≤-8+29=21.
故该厂家2017年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大.
B组 提升题组
11.D ∵AB=OB-OA=(a-1,1),
AC=OC-OA=(-b-1,2),
若A,B,C三点共线,
则有AB∥AC,
∴(a-1)×2-1×(-b-1)=0,∴2a+b=1,
又a>0,b>0,
∴2a+1b=2a+1b·(2a+b)
=5+2ba+2ab≥5+22ba·2ab=9,
当且仅当2ba=2ab,2a+b=1,即a=b=13时等号成立.
12.B 因为a>-1,b>-2,所以a+1>0,b+2>0,又(a+1)·(b+2)≤a+1+b+222,即16≤a+b+322,则a+b≥5,当且仅当a+1=b+2,即a=3,b=2时等号成立,故选B.
13.B ∵不等式x+y40,y>0,且1x+4y=1,∴x+y4=x+y41x+4y=4xy+y4x+2≥24xy·y4x+2=4,当且仅当4xy=y4x,即x=2,y=8时取等号,∴x+y4min=4,故m2-3m>4,解得m<-1或m>4.∴实数m的取值范围是(-∞,-1)∪(4,+∞),故选B.
14.B 由x2-3xy+4y2-z=0,
得z=x2-3xy+4y2,
∴xyz=xyx2-3xy+4y2=1xy+4yx-3.
又x、y为正实数,∴xy+4yx≥4,
当且仅当x=2y时取等号,此时xyz有最大值,z=2y2.
∴2x+1y-2z=22y+1y-22y2=-1y2+2y=-1y-12+1,当1y=1,即y=1时,上式有最大值1,故选B.
15.答案 2
解析 x⊗y+(2y)⊗x=x2-y2xy+4y2-x22yx=2x2-2y2+4y2-x22xy=x2+2y22xy=x2y+yx,
∵x>0,y>0,∴x2y+yx≥212=2,
当且仅当x2y=yx,即x=2y时等号成立,
故所求的最小值为2.
16.答案 [4,12]
解析 ∵2xy=6-(x2+4y2),又2xy≤x2+4y22,∴6-(x2+4y2)≤x2+4y22,∴x2+4y2≥4(当且仅当x=2y时取等号).又∵(x+2y)2=6+2xy≥0,即2xy≥-6,∴z=x2+4y2=6-2xy≤12(当且仅当x=-2y时取等号).综上可知4≤x2+4y2≤12.即z=x2+4y2的取值范围为[4,12].
17.解析 (1)设总造价为f(x)元,污水处理池的宽为x米,则长为162x米.
总造价f(x)=400×2x+2×162x+248×2x+80×162=1 296x+1 296×100x+12 960
=1 296×x+100x+12 960元,
∵x>0,∴f(x)≥1 296×2x·100x+12 960=38 880,
当且仅当x=100x,即x=10时取等号.
∴当污水处理池的长为16.2米,宽为10米时总造价最低,最低总造价为38 880元.
(2)由限制条件知0
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