高考数学二轮名师精编精析：填空题的解法

高考数学二轮名师精编精析：填空题的解法

填空题的解法 一、题型特点： 数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一，填 空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革 的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.解 题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、 优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求. 数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计 算或者合乎逻辑的推演和判断。求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫。下面是一些常用的 方法。 二、例题解析 （一）定义法 有些问题直接去解很难奏效，而利用定义去解可以大大地化繁为简，速达目的。 例 1. C Cn n n n 3 38 21 3  的值是_________________。 解：从组合数定义有： 0 38 3 0 3 21          n n n n   19 2 21 2n 又 n N n ，故 10 ，代入再求，得出 466。 例 2. 到椭圆 x y2 2 25 9 1  右焦点的距离与到定直线 x＝6 距离相等的动点的轨迹方_______________。 解：据抛物线定义，结合图知： 轨迹是以（5，0）为顶点，焦参数 P＝2 且开口方向向左的抛物线，故 其方程 为： y x2 4 5  ( ) （二）直接法 这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定理、性质、 公式等 知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。 例 3 设 ,)1(,3)1( jmibiima  其中 i，j 为互相垂直的单位向量，又 )()( baba  ，则实数 m = 。 解： .)2(,)4()2( jmmibajmimba  ∵ )()( baba  ，∴ 0)()(  baba ∴ 0)4)(2()]4()2([)2( 222  jmmjimmmjmm ，而 i，j 为互相垂直的单位向量，故可得 ,0)4)(2()2(  mmmm ∴ 2m 。 例 4 已知函数 2 1)(   x axxf 在区间 ),2(  上为增函数，则实数 a 的取值范围是 。 解： 2 21 2 1)(    x aax axxf ，由复合函数的增减性可知， 2 21)(   x axg 在 上为增函数，∴ 021  a ， ∴ 2 1a 。 例 5 现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部 13 场足球比赛，每场比赛有 3 种结果：胜、平、负，13 长比赛全部 猜中的为特等奖，仅猜中 12 场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为 。 解：由题设，此人猜中某一场的概率为 3 1 ，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件，故某人全部猜中即获得 特等奖的概率为 133 1 。 （三）特殊化法 当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替， 即可以得到正确结果。 例 6 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c。若 a、b、c 成等差数列，则   CA CA coscos1 coscos 。 解：特殊化：令 5,4,3  cba ，则△ABC 为直角三角形， 0cos,5 3cos  CA ，从而所求值为 5 3 。 例 7 过抛物线 )0(2  aaxy 的焦点 F 作一直线交抛物线交于 P、Q 两点，若线段 PF、FQ 的长分别为 p、q，则  qp 11 。 分析：此抛物线开口向上，过焦点且斜率为 k 的直线与抛物线均有两个交点 P、Q，当 k 变化时 PF、FQ 的长均变化， 但从题设可以得到这样的信息：尽管 PF、FQ 不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解， 而不失一般性。 解：设 k = 0，因抛物线焦点坐标为 ),4 1,0( a 把直线方程 ay 4 1 代入抛物线方程得 ax 2 1 ，∴ aFQPF 2 1||||  ， 从而 aqp 411  。 例 8 求值  )240(cos)120(coscos 222  aaa 。 分析：题目中“求值”二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令 0a ，得结果为 2 3 。 例 9 如果函数 f(x)=x2+bx+c 对任意实数 t 都有 f(2+t)=f(2-t)，那么 f(1),f(2),f(4)的大小关系是 解： 由于 f(2+t)=f(2-t)，故知 f(x)的对称轴是 x=2。可取特殊函数 f(x)=(x-2)2,即可求得 f(1)=1,f(2)=0,f(4)=4。 ∴f(2) 0，且 2 与 )4( bb 是方程 02 32  tat 的两 根，由此可得： 36,8 1  ba 。 例 15 不论 k 为何实数，直线 1 kxy 与曲线 0422 222  aaaxyx 恒有交点，则实数 a 的取值范围 是 。 解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆 42)( 22  ayax ， ∴ 31  a 。 例 16 函数 xxy  3214 单调递减区间为 。 解：易知 .0],3,4 1[  yx ∵y 与 y2 有相同的单调区间，而 3134411 22  xxy ，∴可得结果为 ]3,8 13[ 。 总之，能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键。 （六） 淘汰法 当全部情况为有限种时，也可采用淘汰法。 例 17. 已知 a b R、  ，则 a b 与 1 1 a b 同时成立的充要条件是____________。 解：按实数 b 的正、负分类讨论。 当 b>0 时 a 0 ，而等式不可能同时成立； 当 b＝0 时， 无意义； 当 b<0 时，若 a<0，则两不等式不可能同时成立，以上三种情况均被淘汰，故只能为 a>0，b<0，容易验证，这确 是所要求的充要条件。