高考数学 17-18版 第9章 第45课 课时分层训练45

高考数学 17-18版 第9章 第45课 课时分层训练45

课时分层训练(四十五)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、填空题 ‎1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是________．‎ ‎(x－1)2＋(y－1)2＝2　[圆的半径r＝＝，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.]‎ ‎2．圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为________. ‎ ‎【导学号：62172247】‎ ‎(x－2)2＋(y－1)2＝1　[(1,2)关于直线y＝x对称的点为(2,1)，∴圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.]‎ ‎3．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为________．‎ 　[圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝2，则圆心坐标为(1，－2)．‎ 故圆心到直线x－y－1＝0的距离d＝＝.]‎ ‎4．已知圆(x－2)2＋(y＋1)2＝16的一条直径通过直线x－2y＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为________．‎ ‎2x＋y－3＝0　[易知圆心坐标为(2，－1)．‎ 由于直线x－2y＋3＝0的斜率为，‎ ‎∴该直径所在直线的斜率k＝－2.‎ 故所求直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.]‎ ‎5．若圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是________．‎ ‎(x＋5)2＋y2＝5　[设圆心为(a,0)(a＜0)，‎ 则r＝＝，解得a＝－5，‎ 所以圆O的方程为(x＋5)2＋y2＝5.]‎ ‎6．经过原点并且与直线x＋y－2＝0相切于点(2,0)的圆的标准方程是________. 【导学号：62172248】‎ ‎(x－1)2＋(y＋1)2＝2　[设所求圆的圆心为(a，b)．‎ 依题意(a－2)2＋b2＝a2＋b2， ①‎ ＝1， ②‎ 解①②得a＝1，b＝－1，‎ 则半径r＝＝，‎ ‎∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.]‎ ‎7．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则PQ的最小值为________．‎ ‎4　[如图所示，圆心M(3，－1)与直线x＝－3的最短距离为MQ＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.]‎ ‎8．(2016·浙江高考)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋‎5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．‎ ‎(－2，－4)　5　[由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，配方得2＋(y＋1)2＝－<0，不表示圆；‎ 当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.]‎ ‎9．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．‎ x＋y－1＝0　[圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)，‎ 则kCM＝＝1.‎ ‎∵过点M的最短弦与CM垂直，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0.]‎ ‎10．(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx ‎－y－‎2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________．‎ ‎(x－1)2＋y2＝2　[因为直线mx－y－‎2m－1＝0恒过定点(2，－1)，所以圆心(1,0)到直线mx－y－‎2m－1＝0的最大距离为d＝＝，所以半径最大时的半径r＝，所以半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.]‎ 二、解答题 ‎11．已知直线l：y＝x＋m，m∈R，若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程. 【导学号：62172249】‎ ‎[解]　法一：依题意，点P的坐标为(0，m)，‎ 因为MP⊥l，所以×1＝－1，‎ 解得m＝2，即点P的坐标为(0,2)，‎ 圆的半径r＝MP＝＝2，‎ 故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.‎ 法二：设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2，‎ 依题意，所求圆与直线l：x－y＋m＝0相切于点P(0，m)，‎ 则 解得 所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.‎ ‎12．(2015·广东高考改编)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.‎ ‎(1)求圆C1的圆心坐标；‎ ‎(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．‎ ‎[解]　(1)由x2＋y2－6x＋5＝0得(x－3)2＋y2＝4，‎ 所以圆C1的圆心坐标为(3,0)．‎ ‎(2)设M(x，y)，依题意·＝0，‎ 所以(x－3，y)·(x，y)＝0，则x2－3x＋y2＝0，‎ 所以2＋y2＝.‎ 又原点O(0,0)在圆C1外，‎ 因此中点M的轨迹是圆C与圆C1相交落在圆C1内的一段圆弧．‎ 由消去y2得x＝，‎ 因此＜x≤3.‎ 所以线段AB的中点M的轨迹方程为2＋y2＝.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为________．‎ ‎36　[(x－5)2＋(y＋4)2表示点P(x，y)到点(5，－4)的距离的平方．点(5，－4)到圆心(2,0)的距离d＝＝5.‎ 则点P(x，y)到点(5，－4)的距离最大值为6，从而(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为36.]‎ ‎2．在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程．‎ ‎[解]　法一：(代数法)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)，设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－‎4F>0)，‎ 则有解得 故圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0.‎ 法二：(几何法)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．‎ 故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.则圆C的半径为＝3，所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.‎ ‎3．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．‎ ‎(1)求M的轨迹方程；‎ ‎(2)当OP＝OM时，求l的方程及△POM的面积．‎ ‎[解]　(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.‎ 设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)．‎ 由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，‎ 即(x－1)2＋(y－3)2＝2.‎ 由于点P在圆C的内部，‎ 所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.‎ ‎(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆．‎ 由于OP＝OM，故O在线段PM的垂直平分线上．‎ 又P在圆N上，从而ON⊥PM.‎ 因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，‎ 故l的方程为y＝－x＋.‎ 又OM＝OP＝2，O到l的距离为，PM＝，所以△POM的面积为.‎ ‎4．已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称．‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)设Q为圆C上的一个动点，求·的最小值．‎ ‎[解]　(1)设圆心C(a，b)，‎ 由已知得M(－2，－2)，‎ 则解得 则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，‎ 故圆C的方程为x2＋y2＝2.‎ ‎(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，‎ ·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)‎ ‎＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2.‎ 令x＝cos θ，y＝sin θ，‎ 所以·＝x＋y－2‎ ‎＝(sin θ＋cos θ)－2‎ ‎＝2sin－2，‎ 所以·的最小值为－4.‎