圆的方程知识点总结及相关高考习题详解

圆的方程知识点总结及相关高考习题详解

圆的方程 ‎1.圆的定义 :在平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。‎ ‎2.圆的方程 标准式：，其中为圆的半径，为圆心．‎ 一般式：（）.‎ 其中圆心为，半径为 ‎ 参数方程:，是参数）. 消去θ可得普通方程 ‎3. 点与圆的位置关系 判断点与圆的位置关系代入方程看符号.‎ ‎4.直线与圆的位置关系 ‎ ‎ ‎ 直线与圆的位置关系有：相离、相切和相交.‎ 判断方法： （1）代数法：（判别式法）时分别相离、相交、相切. ‎ ‎（2）几何法：圆心到直线的距离 时相离、相交、相切. ‎ ‎5．弦长求法 ‎（1）几何法：弦心距d，圆半径r，弦长l，则 ．‎ ‎（2）解析法：弦长公式= │x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]‎ ‎6．圆与圆的位置关系:相交、相离、相切 直线与圆的经典例题解析 ‎1.已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径. 解： 将x=3-2y代入方程x2+y2+x-6y+m=0,得5y2-20y+12+m=0. 设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则y1、y2满足条件：y1+y2=4, y1y2=‎ ‎∵OP⊥OQ, ∴x1x2+y1y2=0. 而x1=3-2y1,x2=3-2y2. ‎∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.∴m=3, ‎ 此时Δ＞0,圆心坐标为 , 半径r=. 圆的方程 ‎1.方程x2+y2+ax+2ay+‎2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是 （ D ） A.a＜-2或a＞ B.-＜a＜0C.-2＜a＜0 D.-2＜a＜ ‎2. 已知实数x,y满足y=x2-2x+2 (-1≤x≤1).‎ 试求：的最大值与最小值.‎ 解 由的几何意义可知，它表示经过定点P（-2，-3）与曲线段AB上任一点（x,y)的直线的斜率k, 如图可知：kPA≤k≤kPB,由已知可得：A（1，1），B（-1，5），‎ ‎∴≤k≤8，故的最大值为8，最小值为.‎ 直线斜率 ‎2．（08·安徽卷）若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为 （ ） A． B．　C． D．‎ 解析：记圆心为,记上、下两切点分别记为，则 ‎，∴的斜率 即 .‎ 直线的方程 ‎3．（07·浙江）直线关于直线对称的直线方程是 （ ）‎ Ａ． Ｂ．‎ Ｃ． Ｄ．‎ 解析：(利用相关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于对称点为(2-x, y)在直线上, 即，化简得答案D.‎ 直线与直线的位置关系 ‎4．（06·福建）已知两条直线和互相垂直，则等于 ( ) A．2　　 B．‎1　 ‎C．0　 D．‎ 解析：两条直线和互相垂直，则，∴ a=－1，选D.‎ 点与直线的位置关系 ‎5．（06·湖南）圆上的点到直线 的最大距离与最小距离的差是 ( )A．36 B. ‎18 ‎‎ C. D. ‎ 解析：圆的圆心为(2，2)，半径为3，圆心到直线的距离为>3，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R =6，选C.‎ 圆的方程 ‎6. (06·重庆)以点（2，－1）为圆心且与直线相切的圆的方程为 （ ）A． B．‎ C． D．‎ 解析 ＝3，故选C.‎ ‎7.（08·福建)若直线3x+4y+m=0与圆 （为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是 .‎ 解析：将圆化成标准方程得 ‎，圆心，半径. 直线与圆相离，‎ ‎∴，∴，∴ .‎ 直线与圆的位置关系 ‎7.（09•辽宁）已知圆C与直线x－y＝0 及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为 （ B ）‎ A.　B.‎ C. D. ‎ 解析：圆心在x＋y＝0上,排除C、D,再结合图象,‎ 或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可.‎ 一．选择题 ‎ 1．（09·湖南重点中学联考）过定点作直线分别交轴、轴正向于A、B两点，若使△ABC（O为坐标原点）的面积最小，则的方程是 （ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎2．（09·湖北重点中学联考）若P（2，－1）为圆（x－1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是 （ ） ‎ A.x－y－3=0 B.2x+y－3=‎0　‎　C.x+y－1=0 D.2x－y－5=0‎ ‎ ‎ ‎3.（09·陕西）过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为（ ）‎ A. B‎.2 C. D.2 ‎ ‎4.（09·宁夏海南）已知圆：+=1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 ( )‎ A.+=1 B.+=‎1 ‎ ‎ C.+=1 D.+=1‎ ‎5.（09·重庆）直线与圆的位置关系为 （ ）‎ A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 ‎6.（09·重庆）圆心在轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为 （ ）‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎7．（08·湖北）过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有 （　　）A.16条 B. 17条 C. 32条 D. 34条 ‎8．（08·北京）过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为 （ ） A． B． C． D．‎ 二．填空题 ‎9．（07·上海）已知与，若两直线平行，则的值为____________.‎ ‎10.（08·天津）已知圆C的圆心与点关于直线对称．直线与圆C相交于两点，且，则圆C的方程为____________． ‎ ‎11.（09·四川）若⊙与⊙相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 w.‎ ‎12.（09·全国）若直线被两平行线所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是: ① ② ③ ④⑤ 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）‎ ‎13.（09·天津）若圆与圆（a>0）的公共弦的长为，则a=___________ .‎ ‎14．（09·辽宁）已知圆C与直线x－y＝0 及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为_____________.‎ 一．选择题 ‎1．【答案】D【解析】由题设，可知，且，‎ ‎ ∴‎ 当且仅当时，.∴ 的方程为： ∴应选D. ‎ ‎2．【答案】A【解析】由（x－1）2+y2=25知圆心为Q（1，0）.据kQP·kAB=－1，‎ ‎∴kAB=－=1（其中kQP==－1）.∴AB的方程为y=（x－2）－1=x－3，‎ 即x－y－3=0.∴ 应选A.‎ ‎3. 【答案】D【解析】直线方程,圆的方程为：‎ 圆心到直线的距离，由垂径定理知所求弦长为 ，‎ ‎4.【答案】B【解析】设圆的圆心为（a，b），则依题意，有解得，‎ 对称圆的半径不变，为1.‎ ‎5.【答案】B【解析】圆心为到直线，即的距离，而，选B.‎ ‎6.【答案】A【解法】设圆心坐标为，则由题意知，解得，‎ 故圆的方程为.‎ ‎7．【答案】C【解析】由已知得圆心为P(-1，2)，半径为13，显然过A点的弦长中最长的是直径，此时只有一条，其长度为26，过A点的弦长中最短的是过A点且垂直于线段PA的弦，也只有一条，其长度为10（PA的长为12，弦长=2=10），而其它的弦可以看成是绕A点不间断旋转而成 的，并且除了最长与最短的外，均有两条件弦关于过A点的直径对称，所以所求的弦共有2（‎26-10-1‎）+2=32．故选C．‎ ‎8．【答案】C【解析】此圆的圆心为C（5，1），半径 ‎.设直线上的点P符合要求，连结PC，则由题意知，又.‎ 设与⊙切于点A，连结AC，则.在中，，∴，‎ ‎∴l1与l2的夹角为60°. 故选C.‎ 二．填空题 ‎9．【答案】 【解析】 .‎ ‎10.【答案】.‎ ‎【解析】圆C的圆心与P（－2,1）关于直线y=x+1对称的圆心为(0,-1),设该圆的方程为设AB中点为M，连结CM、CA，在三角形CMA中 ‎ 故圆的方程为 ‎11.【答案】4 【解析】由题知，且，又，‎ 所以有∴.‎ ‎12.【答案】①或⑤‎ ‎【解析】两平行线间的距离为，由图知直线与的夹角为，的倾斜角为，‎ 所以直线的倾斜角等于或.‎ ‎13.【答案】1【解析】由知的半径为,‎ 解之得.‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】圆心在x＋y＝0上,结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可.‎