【数学】2018届一轮复习人教A版不等式与线性规划学案理
专题05 不等式与线性规划
与区域有关的面积、距离、参数范围问题及线性规划问题；利用基本不等式求函数最值、运用不等式性质求参数范围、证明不等式是高考热点．
2018高考备考时，应切实理解与线性规划有关的概念，要熟练掌握基本不等式求最值的方法，特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧方法．要特别加强综合能力的培养，提升运用不等式性质分析、解决问题的能力．
1.熟记比较实数大小的依据与基本方法．
①作差(商)法；②利用函数的单调性．
2．特别注意熟记活用以下不等式的基本性质
(1)乘法法则：a>b，c>0⇒ac>bc；
a>b，c<0⇒ac
b，c>d⇒a＋c>b＋d；
(3)同向可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
(4)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)；
3．熟练应用基本不等式证明不等式与求函数的最值．
4．牢记常见类型不等式的解法．
(1)一元二次不等式，利用三个二次之间的关系求解．
(2)简单分式、高次不等式，关键是熟练进行等价转化．
(3)简单指、对不等式利用指、对函数的单调性求解．
5．简单线性规划
(1)应用特殊点检验法判断二元一次不等式表示的平面区域．
(2)简单的线性规划问题
解线性规划问题，关键在于根据条件写出线性约束关系式及目标函数，必要时可先做出表格，然后结合线性约束关系式作出可行域，在可行域中求出最优解．
考点一 不等式性质及解不等式
例1、(1)不等式组的解集为( )
A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－1＜x＜0}
C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}
解析：基本法：由x(x＋2)＞0得x＞0或x＜－2；由|x|＜1得－1＜x＜1，所以不等式组的解集为{x|0＜x＜1}，故选C.
答案：C
(2)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是( )
A. B.∪(1，＋∞)
C. D.∪
速解法：令x＝0，f(x)＝f(0)＝－1＜0.
f(2x－1)＝f(－1)＝ln 2－＝ln 2－ln ＞0.
不适合f(x)＞f(2x－1)，排除C.
令x＝2，f(x)＝f(2)＝ln 3－，
f(2x－1)＝f(3)，由于f(x)＝ln(1＋|x|)－在(0，＋∞)上为增函数
∴f(2)＜f(3)，不适合．排除B、D，故选A.
答案：A
考点二 基本不等式及应用
例2、【2017山东，理7】若，且，则下列不等式成立的是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【解析】因为，且，所以
，所以选B.
【变式探究】(1)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案：C
(2)定义运算“⊗”：x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0)．当x＞0，y＞0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．
解析：基本法：x⊗y＋(2y)⊗x＝＋＝＝＝＋，
∵x＞0，y＞0，∴＋≥2＝，
当且仅当＝，即x＝y时等号成立，故所求最小值为.
答案：
考点三 求线性规划中线性目标函数的最值
例3、【2017课标II，理5】设，满足约束条件，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】x、y满足约束条件的可行域如图：
【变式探究】(1)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
解析：基本法：作出可行域，如图：
由z＝x＋y得y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z过点
A时，z取得最大值，zmax＝1＋＝.
速解法：由得点(－2，－1)，则z＝－3
由得点(0,1)，则z＝1
由得点则z＝.
答案：
(2)设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝( )
A．－5 B．3
C．－5或3 D．5或－3
解析：基本法：二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中A.平移直线x＋ay＝0，可知在点A处，z取得最小值，
答案：B
考点四 线性规划的非线性目标函数的最值
例4、(1)设x，y满足约束条件则的取值范围是( )
A．[1,5] B．[2,6]
C．[3,11] D．[3,10]
答案：C
(2)(2016·高考山东卷)若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是( )
A．4 B．9
C．10 D．12
解析：基本法：先作出不等式组表示的平面区域，再求目标函数的最大值．
作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x2＋y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由得A(3，－1)，由图易得(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10.故选C.
答案：C
1.【2017北京，理4】若x，y满足 则x + 2y的最大值为
（A）1 （B）3
（C）5 （D）9
【答案】D
【解析】如图，画出可行域，
2.【2017浙江，4】若，满足约束条件，则的取值范围是
A．[0，6] B．[0，4] C．[6， D．[4，
【答案】D
【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点时取最小值4，无最大值，选D．
3.【2017山东，理7】若，且，则下列不等式成立的是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
4.【2017课标II，理5】设，满足约束条件，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】x、y满足约束条件的可行域如图：
z=2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，
由 解得A(−6,−3)，
则z=2x+y的最小值是：−15.
故选：A.
5.【2017山东，理4】已知x,y满足，则z=x+2y的最大值是
（A）0 （B） 2 （C） 5 （D）6
【答案】C
【解析】由画出可行域及直线如图所示，平移发现，
当其经过直线与的交点时，最大为，选C.
6.【2017天津，理2】设变量满足约束条件则目标函数的最大值为
（A） （B）1（C） （D）3
【答案】D
1. 【2016高考新课标1卷】若,则( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】用特殊值法，令，，得，选项A错误，
，选项B错误，，选项C正确，，选项D错误，故选C．
2.【2016高考天津理数】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）
（A） （B）6 （C）10 （D）17
【答案】B
【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点B时取最小值6，选B.
3.【2016高考山东理数】若变量x，y满足则的最大值是（ ）
（A）4 （B）9 （C）10 （D）12
【答案】C
4.【2016高考浙江理数】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域
中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=（ ）
A．2 B．4 C．3 D．
【答案】C
【解析】如图为线性区域，区域内的点在直线
上的投影构成了线段，即，而，由得，由得，．故选C．
5.【2016年高考北京理数】若，满足，则的最大值为（ ）
A.0 B.3 C.4 D.5
【答案】C
6.【2016年高考四川理数】设p：实数x，y满足，q：实数x，y满足 则p是q的( )
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】画出可行域（如图所示），可知命题中不等式组表示的平面区域在命题中不等式表示的圆盘内，故选A.
7.【2016高考新课标3理数】若满足约束条件 则的最大值为
_____________.
【答案】
8.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．
【答案】
【解析】设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么
①
目标函数.
二元一次不等式组①等价于
②
作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.
9.【2016高考江苏卷】 已知实数满足 ，则的取值范围是
▲ .
【答案】
1.【2015高考北京，理2】若，满足则的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】D
【解析】如图，先画出可行域，由于，则，令，作直线
，在可行域中作平行线，得最优解，此时直线的截距最大，取得最小值2.
2．【2015高考广东，理6】若变量，满足约束条件则的最小值为（ ）
A． B. 6 C. D. 4
【答案】C
【解析】不等式组对应的平面区域如图：
由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，
则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，
此时z最小，
由，解得，即A（1，），
此时z=3×1+2×=，
故选：B．
3.【2015高考天津，理2】设变量 满足约束条件 ，则目标函数的最大值为( )
（A）3 （B）4 （C）18 （D）40
【答案】C
4.【2015高考陕西，理10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元
甲
乙
原料限额
（吨）
（吨）
【答案】D
当直线过点时，取得最大值，所以，故选D．
5.【2015高考福建，理5】若变量 满足约束条件 则 的最小值等于
( )
A． B． C． D．2
【答案】A
6.【2015高考山东，理6】已知满足约束条件，若的最大值为4，则 （ ）
（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3
【答案】B
【解析】不等式组 在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，
若的最大值为4，则最优解可能为 或 ，经检验，是最优解，此时 ；不是最优解.故选B.
7.【2015高考新课标1，理15】若满足约束条件，则的最大值为 .
【答案】3
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.
8.【2015高考浙江，理14】若实数满足，则的最小值是 ．
【答案】.
9．【2015高考新课标2，理14】若x，y满足约束条件，则的最大值为____________．
【答案】
【考点定位】线性规划．
10.【2015高考湖南，理4】若变量，满足约束条件，则的最小值为（ ）
A.-7 B.-1 C.1 D.2
【答案】A.
【解析】如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，作直线：，平移，从而可知当，时，的最小值是，故选A.
11.【2015高考四川，理9】如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（ ）
（A）16 （B）18 （C）25 （D）
【答案】B
12.【2015高考陕西，理9】设，若，，，则下列关系式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，函数在上单调递增，因为，所以，所以，故选C．
1. 【2014高考安徽卷理第5题】满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（ ）
A, B. C.2或1 D.
【答案】D
【考点定位】线性规划
2. 【2014高考北京版理第6题】若、满足，且的最小值为，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】若，没有最小值，不合题意；
【考点定位】不等式组表示的平面区域，求目标函数的最小值
3. 【2014高考福建卷第11题】若变量满足约束条件则的最小值为________.
【答案】1
【解析】依题意如图可得目标函数过点A时截距最大.即.
【考点定位】线性规划.
4. 【2014高考福建卷第13题】要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）.
【答案】88
【解析】假设底面长方形的长宽分别为, . 则该容器的最低总造价是.当且仅当的时区到最小值.
【考点定位】函数的最值.
5. 【2014高考广东卷理第3题】若变量、满足约束条件，且的最大值和最小值分别为和，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图中的阴影部分所表示，
【考点定位】线性规划中线性目标函数的最值
6. 【2014高考湖南卷第14题】若变量满足约束条件，且的最小值为，则.
【答案】
【考点定位】线性规划
7. 【2014辽宁高考理第16题】对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为 .
【答案】
【解析】法一：判别式法：令，则，代入到中，得
，即……①
因为关于的二次方程①有实根，所以，可得，
取最大值时，或，
当时，，
当时，，
综上可知当时，
【考点定位】柯西不等式.
8. 【2014全国1高考理第9题】不等式组的解集为D,有下面四个命题：
， ，
，
其中的真命题是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点定位】线性规划、存在量词和全称量词．
10. 【2014山东高考理第5题】已知实数满足，则下面关系是恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】
【解析】由及指数函数的性质得，所以，，选.
【考点定位】指数函数的性质，不等式的性质.
11. 【2014山东高考理第9题】 已知满足约束条件，当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（ ）
A.5 B.4 C. D.2
【答案】
【解析】画出可行域（如图所示），由于，所以，经过直线与直
【考点定位】简单线性规划的应用，二次函数的图象和性质.
12. 【2014四川高考理第4题】若，，则一定有（ ）
A． B． C． D．
4．若，，则一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，又.选D
【考点定位】不等式的基本性质.
13. 【2014四川高考理第5题】执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点定位】程序框图与线性规划.
14. 【2014浙江高考理第13题】当实数，满足时，恒成立，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】作出不等式组所表示的区域，由得，由图可知，
，且在点取得最小值在取得最大值，故，，故取值范围为．
【考点定位】线性规划.
15. 【2014天津高考理第2题】设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为 （ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
【答案】B．
【考点定位】二元一次不等式组表示的平面区域、线性目标函数的最值问题．
16. 【2014大纲高考理第14题】设满足约束条件，则
的最大值为 .
【答案】5.
【考点定位】二元一次不等式组表示的平面区域、线线目标函数的最值的计算．
17. 【2014高考上海理科】若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为______________.
【答案】
【解析】，当且仅当时等号成立.
【考点定位】基本不等式.
18.【2014高考安徽卷第21题】设实数，整数， .
（1）证明：当且时，；
（2）数列满足，，证明：.
【答案】（1）证明：当且时，；（2）.
【解析】
（1）证明：用数学归纳法证明
①当时，，原不等式成立.
②假设时，不等式成立.
当时，
所以时，原不等式也成立.
综合①②可得，当且时，对一切整数，不等式均成立.
再由可得，即.
综上所述，.
证法2：设，则，并且
.
由此可得，在上单调递增，因而，当时，.
①当时，由，即可知
，并且，从而.
故当时，不等式成立.
②假设时，不等式成立，则当时，
，即有.
所以当时，原不等式也成立.
综合①②可得，对一切正整数，不等式均成立.
【考点定位】数学归纳法证明不等式、构造函数法证明不等式.
1．若点A(a，b)在第一象限且在直线x＋2y＝4上移动，则log2a＋log2b( )
A．有最大值2 B．有最小值1
C．有最大值1 D．没有最大值和最小值
解析：基本法：由题意，知a＋2b＝4(a＞0，b＞0)，则有4＝a＋2b≥2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，所以0＜ab≤2，所以log2a＋log2b＝log2ab≤log22＝1，故选C.
答案：C
2．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0,2] B．[－2,0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
答案：D
3．设实数x，y满足不等式组，则x2＋y2的取值范围是( )
A．[1,2] B．[1,4]
C．[，2] D．[2,4]
解析：基本法：如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC内部(含边界)，x2＋y2表示的是此区域内的点(x，y)到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC的距离，其值为1；最远的距离为AO，其值为2，故x2＋y2的取值范围是[1,4]，故选B.
答案：B
4．设x，y满足约束条件，则目标函数z＝的取值范围为( )
A．[－3,3] B．[－3，－2]
C．[－2,2] D．[2,3]
解析：基本法：(特殊点数形结合法)根据的几何意义，观察图形中点的位置作可行域如图阴影部分所示
＝表示点(x，y)与点(－2,0)连线的斜率．
答案：C
5．设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．
解析：结合题意分段求解，再取并集．
当x<1时，x－1<0，ex－10)．
令y1＝y2，∴x2－4x＝x，∴x＝0或x＝5.
作y1＝f(x)及y2＝x的图象，
则A(5,5)，由于y1＝f(x)及y2＝x都是奇函数，作它们关于(0,0)的对称图象，则B(－5，－5)，由图象可看出当f(x)>x时，x∈(5，＋∞)及(－5,0)．
答案：(－5,0)∪(5，＋∞)
7．若x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最大值为________．
解析：基本法：画出可行域，并分析z的几何意义，平移直线y＝－3x求解．
画出可行域如图所示．
∵z＝3x＋y，
∴y＝－3x＋z.
∴直线y＝－3x＋z在y轴上截距最大时，即直线过点B时，z取得最大值．
答案：4
