江苏省宜兴中学2020届高三数学模拟试卷(6)试题(含附加题Word版附答案)

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江苏省宜兴中学2020届高三数学模拟试卷(6)试题(含附加题Word版附答案)

宜兴中学高三年级数学模拟(六)‎ 数学Ⅰ 参考公式:‎ 样本数据,,…,的方差,其中 柱体的体积,其中是柱体的底面积,是柱体的高.‎ 锥体的体积,其中是椎体的底面积,是椎体的高.‎ 一、填空题:请把答案填写在答题卡相应位置上 ‎1.已知,,则________.‎ ‎2.已知,则________.‎ ‎3.已知,为实数,为虚数单位,且,则________.‎ ‎4.已知数列满足:,,则________.‎ ‎5.已知为偶函数,且.当时,,若,,则________.‎ ‎6.已知随机变量,当方差取到最大值时,在的展开式中任取一项,则所取项是有理项的概率为________.‎ ‎7.已知点为圆:上的动点,过原点的直线与曲线:交于,两点,则的最大值为________.‎ ‎8.已知轴为曲线的切线,则的值为________.‎ ‎9.在直线上任取一点,过点向圆做两条切线,其切点分别为,,则直线经过一个定点,该定点坐标为________.‎ ‎10.已知正三角形的边长为,,分别为,的中点,将沿线段折起,求使四棱锥体积最大时,四棱锥的外接球的体积为________.‎ ‎11.已知,则的最小值________.‎ ‎12.________.‎ ‎13.已知函数,,若函数恰有2个不同的零点,‎ 则实数的取值范围为________.‎ ‎14.已知点,在内,且,则________.‎ 二.解答题:请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.在中,,,.‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ)若为的中点,求的长度.‎ ‎16.如图所示,正四棱锥中,底面的边长为2,侧棱长为,为的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)若为上的一点,且,则为何值时,平面?并求此时三棱锥的体积.‎ ‎17.如图,,是某景区的两条道路(宽度忽略不计,OM为东西方向),Q为景区内一景点,A为道路OM上一游客休息区.已知,米,Q到直线OM,ON的距离分别为300米,米.现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸至道路ON于点B,并在B处修建一游客休息区.‎ ‎(Ⅰ)求有轨观光直路AB的长;‎ ‎(Ⅱ)已知在景点Q的正北方600米的P处有一大型组合音乐喷泉,喷泉表演一次的时长为9分钟,表演时,喷泉喷洒区域以P为圆心,r为半径(在变化),且t分钟时,米.当喷泉表演开始时,一观光车(大小忽略不计)正从休息区B沿(Ⅰ)中的轨道以米/分钟的速度开往休息区A,问:观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到,并说明理由.‎ ‎18.已知圆:,抛物线C:的焦点为,过的直线与抛物线C交于A,B两点,过F且与l垂直的直线与圆有交点.‎ ‎(Ⅰ)求直线的斜率的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)求面积的取值范围.‎ ‎19.已知函数,.‎ ‎(Ⅰ)当时,求函数在处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)讨论函数的单调性;‎ ‎(Ⅲ)当函数有两个极值点,,且.证明:.‎ ‎20.设等差数列的首项为0,公差为,;等差数列的首项为0,公差为b,.由数列和构造数表,与数表.‎ 记数表中位于第行第列的元素为,其中..‎ 记数表中位于第行第列的元素为,其中.‎ 如:,.‎ ‎(Ⅰ)设,,请计算,,;‎ ‎(Ⅱ)设,,试求,的表达式(用,表示),并证明:对于整数,若不属于数表,则属于数表.‎ 数学Ⅱ(附加题)‎ ‎21.【选做题】:本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ A.[选修4—2:矩阵与变换]‎ 已知矩阵,.‎ ‎(Ⅰ)求AB;‎ ‎(Ⅱ)求.‎ B.【选修4—4:坐标系与参数方程】‎ 在平面直角坐标系中,曲线C的参数方程为(为参数),在以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点P的极坐标为,直线l的极坐标方程为 ‎.‎ ‎(Ⅰ)求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程;‎ ‎(Ⅱ)若Q是曲线C上的动点,M为线段PQ的中点,直线l上有两点A,B,满足,求面积的最大值与最小值.‎ C.【选修4—5:不等式选讲】‎ 已知,,为正实数,满足.证明:‎ ‎(Ⅰ);‎ ‎(Ⅱ).‎ ‎【必做题】第22题、第23题,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎22.如图,在三棱柱中,,平面,,,分别为,中点.‎ ‎(Ⅰ)求直线DE与平面所成角的正弦值;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的大小.‎ ‎23.设N为正整数,区间(其中,,,,)同时满足下列两个条件:‎ ‎①对任意,存在k使得;‎ ‎②对任意,存在,使得(其中,2,,,,,N).‎ ‎(Ⅰ)判断能否等于或;(结论不需要证明)‎ ‎(Ⅱ)研究N是否存在最大值,若存在,求出N的最大值;若不在在,说明理由.‎ 数学Ⅰ答案 一.填空题 ‎1. 2. 3.1 4.64 5.1 6. 7.7‎ ‎8. 9. 10. 11. 12.‎ ‎13. 14.‎ 二.解答题 ‎15.解:(Ⅰ)在中,由余弦定理得:‎ ‎.‎ ‎∴.‎ 在中,由正弦定理得:.‎ ‎(Ⅱ)∵∴为钝角.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎∴‎ ‎16.解:(Ⅰ)‎ 在中,∵,‎ 连接BD,设BD与AC交于点O,连接OE.‎ ‎∵,分别是PD,BD的中点,∴.‎ 又∵平面,平面AEC ‎∴平面AEC.‎ ‎(Ⅱ)连接PO,显然,,‎ ‎∴平面PAC,又∵平面PAC ‎∴.当时,平面BDF.‎ 在中,,,‎ ‎,‎ ‎∴,.‎ 此时,.‎ ‎17.解:(Ⅰ)‎ 以点为坐标原点,直线为轴,建立平面直角坐标系,‎ 由题意知,,.‎ 直线方程为 (1)‎ 由,得,故.‎ ‎∴直线的方程为 (2)‎ 联立(1)(2),得,即.‎ 米.‎ 故有轨观光直路的长米.‎ ‎(Ⅱ)由题意知,,‎ ‎∴.‎ 若喷泉不会喷洒到观光车上,则满足对恒成立.‎ 即.‎ 当时,上式成立;‎ 当时,,,‎ 当且仅当时取等号.‎ ‎∵,恒成立.‎ 故观光车在行驶途中不会被喷泉喷洒到.‎ ‎18.解:(Ⅰ)由题意知,l的斜率存在且不为0.‎ 设l:,则l′:.‎ ‎∴得:,‎ 直线的斜率的取值范围为.‎ ‎(Ⅱ)设,,‎ l直线方程与抛物线方程联立,得:.‎ 由韦达定理,‎ ‎∴.‎ 设点O到直线l的距离为.‎ 由.‎ ‎∵ ∴‎ ‎∴.‎ 所以面积的取值范围是.‎ ‎19.解:(Ⅰ)当时,.‎ ‎∴.‎ ‎,.‎ ‎.‎ ‎∴在处的切线方程.‎ ‎(Ⅱ)的定义域.‎ ‎;‎ ‎①当时,即 ‎,此时在单调递减;‎ ‎②当时,即或,‎ ‎(i)当时,‎ ‎∴在,单调递减,‎ 在单调递增.‎ ‎(ii)当时,‎ ‎∴在单调递减;‎ 综上所述,当时,在单调递减;‎ 当时,在,单调递减,‎ 在单调递增.‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,有两个极值点,,‎ 且满足:‎ 由题意知,.‎ ‎∴‎ 令.‎ 则.‎ 在单调递增,在单调递减.‎ ‎∴.‎ 即.‎ ‎20.解:(Ⅰ)由题意,数列的通项公式为,‎ 数列的通项公式为.‎ 得,,则,.‎ 得,,则.‎ ‎(Ⅱ)证明:已知,,得数列的通项公式为,‎ 数列的通项公式为.‎ 所以,,,.‎ 所以,,‎ ‎,,.‎ 所以,若,则存在,,使.‎ 若,则存在,,,使.‎ 因此,对于整数,考虑集合,‎ 即.‎ 下面证明:集合中至少有一元素是7的倍数.‎ 反证法:假设集合中任何一个元素,都不是7的倍数,‎ 则集合中每一元素关于7的余数可以为1,2,3,4,5,6.‎ 又因为集合中共有7个元素,‎ 所以集合中至少存在两个元素关于7的余数相同,‎ 不妨设为,,其中,,.‎ 则这两个元素的差为7的倍数,即.‎ 所以,与矛盾.‎ 所以假设不成立,即原命题成立.‎ 即集合中至少有一元素是7的倍数,‎ 不妨设该元素为,,.‎ 则存在,使,,,‎ 即,,,.‎ 由已证可知,若,则存在,,使.‎ 而,所以为负整数,设,则,‎ 且,,,.‎ 所以,当,时,对于整数,若,则成立.‎ ‎21.【选做题】‎ A.[选修4—2:矩阵与变换]‎ 解:(Ⅰ)‎ ‎(Ⅱ)由题意,得.‎ ‎∴.‎ B.[选修4—4:坐标系与参数方程]‎ 解:(Ⅰ)由,,‎ 的直角坐标方程 由(为参数),消参,得:‎ 曲线的普通方程 ‎(Ⅱ)由P的极坐标为,得直角坐标,‎ 则.‎ 点M到直线l的距离,‎ ‎.∴‎ 故面积的最大值,最小值.‎ C.[选修4—5:不等式选讲]‎ 解:(Ⅰ)由题意知,a,b,‎ ‎∵,,‎ ‎∴‎ 故 又∵‎ ‎∴,当且仅当,“”成立.‎ ‎(Ⅱ)∵,,‎ ‎∴‎ ‎∴,当且仅当,“”成立.‎ ‎【必做题】‎ ‎22.解:(Ⅰ)方法一:定义法 ‎∵平面,平面 ‎∴‎ 又∵,‎ ‎∴平面,又∵平面 ‎∴‎ 显然,‎ 在中,.‎ 在中,,即.‎ 又∵,,‎ ‎∴平面,显然,.‎ 设点到面的距离为,‎ 直线与平面所成角为 由等体积法,‎ ‎∴.‎ 故直线DE与平面所成角的正弦值.‎ 方法二:空间向量(略)‎ ‎(Ⅱ)方法一:找平面角 由(Ⅰ)知,平面,‎ 是二面角的平面角.‎ 在中,.‎ ‎∴.‎ 故二面角的大小.‎ 方法二:空间向量(略)‎ ‎23.解:(Ⅰ)可以等于,但不能等于.‎ ‎(Ⅱ)的最大值存在,且为200.‎ 解答如下:‎ 由②,得,,…,互不相同,且对于任意,.‎ 不妨设.‎ 如果,那么对于条件②,‎ 当时,不存在,使得.‎ 这与题意不符,故.‎ 如果,那么,‎ 这与条件②中“存在,使得”矛盾,‎ ‎∴.‎ ‎∴,,,,‎ 则.‎ 故.‎ 若存在,这与条件②中“存在,使得”矛盾,‎ ‎∴.‎ 故的最大值存在,且为200.‎
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