江西省麻山中学2020届高考数学仿真模拟冲刺卷二（含解析）
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江西省麻山中学 2020 届高考数学仿真模拟冲刺卷（二）
注意事项：
1.本卷仿真文科数学，题序与高考题目序号保持一致，考试时间为 120 分钟，满分为 150 分。
2.请将答案填写在答题卷上。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的．
1．已知集合 A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|log3(x＋2)<1}，则 A∩B＝( )
A．{x|－2
x3
0
C．∀x∈R,3x≥x3 D．∃x0∈R, 03x ≥x3
0
4．已知函数 f(x)＝(ex＋e－x)ln1－x
1＋x
－1，若 f(a)＝1，则 f(－a)＝( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
5．执行如图所示的程序框图，假如输入的 S，k 的值分别为 1,2，那么输出的 S＝( )
A．1＋ 15 B. 15 C．4 D. 17
6．某班全体学生某次测试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，
[60,80)，[80,100]．若不低于 80 分的人数是 15，则该班的学生人数是( )
2
A．40 B．45
C．50 D．60
7．已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π
2
)，其图象的相邻两条对称轴之间的距离为π
4
，将函数 y＝f(x)
的图象向左平移3π
16
个单位长度后，得到的图象关于 y 轴对称，那么函数 y＝f(x)的图象( )
A．关于点
－π
16
，0
对称 B．关于点
π
16
，0
对称
C．关于直线 x＝π
16
对称 D．关于直线 x＝－π
4
对称
8．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且sin2A＋sin2B－sin2C
c
＝ sin Asin B
acos B＋bcos A
，若 a＋b＝4，
则 c 的取值范围为( )
A．(0,4) B．[2,4)
C．[1,4) D．(2,4]
9．已知 x，y 满足约束条件
x－1≥0，
x－y≤0，
x＋y－m≤0，
若 y
x＋1
的最大值为 2，则 m 的值为( )
A．4 B．5
C．8 D．9
10．已知两点 A(a,0)，B(－a,0)(a>0)，若圆(x－ 3)2＋(y－1)2＝1 上存在点 P，使得∠APB＝90°，则正实数
a 的取值范围为( )
A．(0,3] B．[1,3]
C．[2,3] D．[1,2]
11．如图，已知 A，B，C 是双曲线x2
a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)上的三个点，AB 经过坐标原点 O，AC 经过双曲线的右焦
点 F，若 BF⊥AC，且 2|AF|＝|CF|，则该双曲线的离心率是( )
3
A.5
3
B. 17
3
C. 17
2
D.9
4
12．已知函数 f(x)＝x
ex，若关于 x 的方程[f(x)]2＋mf(x)＋m－1＝0 恰有 3 个不同的实数解，则实数 m 的取值
范围是( )
A．(－∞，2)∪(2，＋∞) B.
1－1
e
，＋∞
C.
1－1
e
，1
D．(1，e)
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知定义在 R 上的偶函数 f(x)，满足 f(x＋2)＝f(x)，当 x∈[0,1]时，f(x)＝ex－1，则 f(－2 017)＋f(2
018)＝________.
14．等差数列{an}中，a1＝1，a9＝21，则 a3 与 a7 等差中项的值为________．
15．已知△ABC 中，AB＝4，AC＝5，点 O 为△ABC 所在平面内一点，满足|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，则|OA→·BC→|＝________.
16．在三棱锥 P－ABC 中，底面 ABC 是等边三角形，侧面 PAB 是直角三角形，且 PA＝PB＝2，PA⊥BC，则该三棱
锥外接球的表面积为________．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考生都
必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共 60 分．
17．(12 分)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 3acos C＝(2b－ 3c)cos A.
(1)求角 A 的大小；
(2)若 a＝2，求△ABC 面积的最大值．
18．(12 分)某家电公司销售部门共有 200 名销售员，每年部门对每名销售员都有 1 400 万元的年度销售任务．已
知这 200 名销售员去年的销售额都在区间[2,22](单位：百万元)内，现将其分成 5 组，第 1 组、第 2 组、第 3 组、
第 4 组、第 5 组对应的区间分别为[2,6)，[6,10)，[10,14)，[14,18)，[18,22]，并绘制出如下的频率分布直方图．
(1)求 a 的值，并计算完成年度任务的人数；
(2)用分层抽样的方法从这 200 名销售员中抽取容量为 25 的样本，求这 5 组分别应抽取的人数；
(3)现从(2)中完成年度任务的销售员中随机选取 2 名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的 2 名销售员在同
一组的概率．
4
19．(12 分)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，平面 PAD⊥平面 ABCD，且 PA＝AD＝2，∠PAB＝∠
PAD＝120°，E 为 PD 的中点，AE⊥EC.
(1)求证：PB∥平面 EAC；
(2)求三棱锥 B－ACE 的体积．
20．(12 分)设椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的离心率为 2
2
，圆 O：x2＋y2＝2 与 x 轴正半轴交于点 A，圆 O 在点 A
处的切线被椭圆 C 截得的弦长为 2 2.
(1)求椭圆 C 的方程．
(2)设圆 O 上任意一点 P 处的切线交椭圆 C 于 M，N 两点，试判断|PM|·|PN|是否为定值？若是定值，求出该定
值；若不是定值，请说明理由．
5
21．(12 分)已知函数 f(x)＝ex－ln(x＋1)(e 为自然对数的底数)．
(1)求函数 f(x)的单调区间；
(2)若 g(x)＝f(x)－ax，a∈R，试求函数 g(x)极小值的最大值．
(二)选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为
x＝cos α
y＝sin α
(α为参数)．以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建
立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)求 C1，C2 交点的直角坐标；
(2)设点 A 的极坐标为
4，π
3 ，点 B 是曲线 C2 上的点，求△AOB 面积的最大值．
23．[选修 4－5：不等式选讲](10 分)
设函数 f(x)＝|x＋1|.
(1)若 f(x)＋2x>2，求实数 x 的取值范围；
6
(2)设 g(x)＝f(x)＋f(ax)(a>1)，若 g(x)的最小值为1
2
，求 a 的值．
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仿真模拟冲刺卷(二)
1．答案：A
解析：通解 解不等式 x2－3x＋2≥0，得 x≤1 或 x≥2，则 A＝{x|x≤1 或 x≥2}．解不等式 log3(x＋2)<1，得
－216，退出循环．此时输出的结果为
S＝1＋ 1
2＋1
＋ 1
3＋ 2
＋…＋ 1
16＋ 15
＝1＋( 2－1)＋( 3－ 2)＋…＋( 16－ 15)＝4，故选 C 项．
6．答案：C
解析：设该班的学生人数为 n.由题意知，不低于 80 分的频率为 0.015×20＝0.3，则15
n
＝0.3，∴n＝50.故选 C
项．
7．答案：B
解析：由题意，知 f(x)的最小正周期 T＝2×π
4
＝π
2
，所以ω＝2π
T
＝4，所以 f(x)＝sin(4x＋φ)，此函数图象
平移后所得图象对应的函数为 y＝sin 4
x＋3π
16 ＋φ ＝sin4x＋3π
4
＋φ，当函数 y＝sin
4x＋3π
4
＋φ
的图象关于
8
y 轴对称时，必有3π
4
＋φ＝kπ＋π
2
(k∈Z)，即φ＝kπ－π
4
(k∈Z)，结合|φ|<π
2
，得φ＝－π
4
，所以由 4x－π
4
＝
nπ(n∈Z)，得 x＝nπ
4
＋π
16
(n∈Z)，当 n＝0 时，x＝π
16
，所以函数 f(x)的图象的一个对称中心为
π
16
，0
，故选 B
项．
8．答案：B
解析：在△ABC 中，由三角函数的定义知 acos B＋bcos A＝c，结合正弦定理和已知，得a2＋b2－c2
c
＝ab
c
，即 a2
＋b2－c2＝ab，所以由余弦定理，得 cos C＝a2＋b2－c2
2ab
＝1
2
，则 C＝60°，所以 c2＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab≥(a＋
b)2－3×
a＋b
2 2＝a＋b2
4
＝4，所以 c≥2.又 c0，由此可作出函数 f(x)的简图，如
图所示．令 t＝f(x)，g(t)＝t2＋mt＋m－1，由题意与图可知函数 g(t)＝t2＋mt＋m－1 有一个零点必在
0，1
e 内，
另 一 个 零 点 必 为 1
e
或 在 ( － ∞ ， 0] 内 ． 当 g(t) 的 一 个 零 点 为 1
e
， 另 一 个 零 点 在
0，1
e 内 时 ，
g0＝m－1>0，
g
1
e ＝1
e2＋m
e
＋m－1＝0，
0<－m
2
<1
e
，
此不等式组无解；当 g(t)的一个零点在(－∞，0]内，另一个零点在
0，1
e 内时，
g0＝m－1<0，
g
1
e ＝1
e2＋m
e
＋m－1>0，
或
g0＝m－1＝0，
g
1
e ＝1
e2＋m
e
＋m－1>0，
0<－m
2
<1
e
，
解得 1－1
e
0
x1＋x2＝－ 4km
2k2＋1
x1x2＝2m2－6
2k2＋1
.
∵OM
→
＝(x1，y1)，ON
→
＝(x2，y2)，
∴OM
→
·ON
→
＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2
＝(1＋k2)·2m2－6
2k2＋1
＋km·－4km
2k2＋1
＋m2＝1＋k22m2－6－4k2m2＋m22k2＋1
2k2＋1
＝3m2－6k2－6
2k2＋1
＝32k2＋2－6k2－6
2k2＋1
＝0，
∴OM⊥ON.
综上所述，圆 O 上任意一点 P 处的切线交椭圆 C 于 M，N 两点，都有 OM⊥ON.
在 Rt△OMN 中，由△OMP 与△NOP 相似，可得|PM|·|PN|＝|OP|2＝2，为定值．(12 分)
21．解析：(1)易知 x>－1，且 f′(x)＝ex－ 1
x＋1
.令 h(x)＝ex－ 1
x＋1
，
则 h′(x)＝ex＋ 1
x＋12>0，∴函数 h(x)＝ex－ 1
x＋1
在(－1，＋∞)上单调递增，且 h(0)＝f′(0)＝0.
可知，当 x∈(－1,0)时，h(x)＝f′(x)<0，f(x)＝ex－ln(x＋1)单调递减；
当 x∈(0，＋∞)时，h(x)＝f′(x)＞0，f(x)＝ex－ln(x＋1)单调递增．
∴函数 f(x)的单调递减区间是(－1,0)，单调递增区间是(0，＋∞)．(5 分)
(2)∵g(x)＝f(x)－ax＝ex－ln(x＋1)－ax，∴g′(x)＝f′(x)－a.
由(1)知，g′(x)在(－1，＋∞)上单调递增，
当 x→－1 时，g′(x)→－∞；当 x→＋∞时，g′(x)→＋∞，则 g′(x)＝0 有唯一解，记为 x0.
可知，当 x∈(－1，x0)时，g′(x)<0，g(x)＝ex－ln(x＋1)－ax 单调递减；
当 x∈(x0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)＝ex－ln(x＋1)－ax 单调递增．
∴函数 g(x)在 x＝x0 处取得极小值，即 g(x0)＝ex0－ln(x0＋1)－ax0，且 x0 满足 ex0－ 1
x0＋1
＝a.
∴g(x0)＝(1－x0)ex0－ln(x0＋1)＋1－ 1
x0＋1
.
13
令φ(x)＝(1－x)ex－ln(x＋1)＋1－ 1
x＋1
，则φ′(x)＝－x
ex＋ 1
x＋12 .
可知，当 x∈(－1,0)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增；
当 x∈(0，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减，
∴φ(x)max＝φ(0)＝1.
∴函数 g(x)极小值的最大值为 1.(12 分)
22．解析：(1)C1：x2＋y2＝1，C2：ρ＝2cos θ，则ρ2＝2ρcos θ，∴x2＋y2＝2x.
联立，得
x2＋y2＝1，
x2＋y2＝2x，
解得
x1＝1
2
，
y1＝ 3
2
，
x2＝1
2
，
y2＝－ 3
2
.
∴所求交点的坐标为
1
2
， 3
2 ，
1
2
，－ 3
2 .(5 分)
(2)设 B(ρ，θ)，则ρ＝2cos θ，
∴△AOB 的面积 S＝1
2
·|OA|·|OB|·sin∠AOB＝1
2
·|4ρsin
π
3
－θ |＝
|4cos θsin
π
3
－θ |＝|2cos
2θ＋π
6 ＋ 3|，
∴当θ＝23π
12
时，Smax＝2＋ 3.(10 分)
23．解析：(1)f(x)＋2x>2，即|x＋1|>2－2x⇔
x＋1≥0
x＋1>2－2x
或
x＋1<0
－x－1>2－2x
⇔x>1
3
，
∴实数 x 的取值范围是
1
3
，＋∞
.(5 分)
(2)∵a>1，∴－1<－1
a
，
g(x)＝
－a＋1x－2，x∈－∞，－1，
1－ax，x∈
－1，－1
a ，
a＋1x＋2，x∈
－1
a
，＋∞
.
易知函数 g(x)在
－∞，－1
a 上单调递减，在
－1
a
，＋∞
上单调递增，则 g(x)min＝g
－1
a ＝1－1
a
.
∴1－1
a
＝1
2
，解得 a＝2.(10 分)
