2018-2019学年湖北省华中师范大学第一附属中学高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年湖北省华中师范大学第一附属中学高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年湖北省华中师范大学第一附属中学高二上学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．用秦九韶算法求多项式当的值时， ，则的值是 A．2 B．1 C．15 D．17‎ ‎【答案】C ‎【解析】运用秦九韶算法将多项式进行化简，然后求出的值 ‎【详解】‎ ‎,‎ 当时， ，‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了秦九韶算法，结合已知条件即可计算出结果，较为基础 ‎2．某宠物商店对30只宠物狗的体重(单位：千克)作了测量，并根据所得数据画出了频率分布直方图如下图所示，则这30只宠物狗体重(单位：千克)的平均值大约为 A．15.5 B．15.6‎ C．15.7 D．16‎ ‎【答案】B ‎【解析】由频率分布直方图分别计算出各组得频率、频数，然后再计算出体重的平均值 ‎【详解】‎ 由频率分布直方图可以计算出各组频率分别为：，‎ 频数为：‎ 则平均值为：‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了由频率分布直方图计算平均数，需要注意计算不要出错 ‎3．若方程，其中，则方程的正整数解的个数为 A．10 B．15 C．20 D．30‎ ‎【答案】A ‎【解析】将方程正整数解问题转化为排列组合问题，采用挡板法求出结果 ‎【详解】‎ 方程，其中，‎ 则 将其转化为有6个完全相同的小球，排成一列，利用挡板法将其分成3组，‎ 第一组小球数目为 第二组小球数目为 第三组小球数目为 共有种方法 故方程的正整数解的个数为10‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了多元方程的正整数解的问题，在求解过程中将其转化为排列组合问题，运用挡板法求出结果，体现的转化的思想 ‎4．过作圆的切线，切点分别为，且直线过双曲线 的右焦点，则双曲线的渐近线方程为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意先求出直线的方程，然后求出双曲线的右焦点，继而解出渐近线方程 ‎【详解】‎ 过作圆的切线，切点分别为，‎ 则两点在以点，连接线段为直径的圆上 则圆心为，‎ 圆的方程为 直线为两圆公共弦所在直线 则直线的方程为：‎ 即，交轴 由题意可得双曲线的右焦点为 则 解得，,‎ 故渐近线方程，即 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线、圆、双曲线的综合问题，在解题过程中运用了直线与圆相切，两圆公共弦所在直线方程的求解，最后再结合条件计算出双曲线方程，得到渐近线方程，知识点较多，需要熟练掌握各知识点 ‎5．给出下列结论：‎ ‎(1)某学校从编号依次为001，002，…，900的900个学生中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中有两个相邻的编号分别为053，098，则样本中最大的编号为862.‎ ‎(2)甲组数据的方差为5，乙组数据为5、6、9、10、5，那么这两组数据中较稳定的是甲.‎ ‎(3)若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1.‎ ‎(4)对A、B、C三种个体按3:1:2的比例进行分层抽样调查，若抽取的A种个体有15个，则样本容量为30.‎ 则正确的个数是 A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎【答案】C ‎【解析】运用抽样、方差、线性相关等知识来判定结论是否正确 ‎【详解】‎ ‎（1）中相邻的两个编号为053，098，‎ 则样本组距为 样本容量为 则对应号码数为 当时，最大编号为，不是，故（1）错误 ‎（2）甲组数据的方差为5，乙组数据为5、6、9、10、5，‎ 则 乙组数据的方差为 那么这两组数据中较稳定的是乙，故（2）错误 ‎（3）若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故错误 ‎（4）按3:1:2的比例进行分层抽样调查，若抽取的A种个体有15个，‎ 则样本容量为，故正确 综上，故正确的个数为1‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了系统抽样、分层抽样、线性相关、方差相关知识，熟练运用各知识来进行判定，较为基础 ‎6．已知是之间的两个均匀随机数，则“能构成钝角三角形三边”的概率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知条件得到关于的范围，结合图形运用几何概型求出概率 ‎【详解】‎ 已知是之间的两个均匀随机数，则均小于1，又能构成钝角三角形三边，结合余弦定理则，又由三角形三边关系得,如图：‎ 则满足条件的区域面积为，则满足题意的概率为，故选 ‎【点睛】‎ 本题考查了几何概率，首先要得到满足题意中的条件的不等式，画出图形，由几何概率求出结果，在解题中注意限制条件 ‎7．已知实数满足，则的取值范围是 A．(－∞，0]∪(1，+∞) B．(－∞，0]∪[1，+∞)‎ C．(－∞，0]∪[2，+∞) D．(－∞，0]∪(2，+∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】先画出可行域，化简条件中的，将范围问题转化为斜率问题求解 ‎【详解】‎ 由，可得 令，则为单调增函数 即有 可行域为：‎ 又因为，‎ 则问题可以转化为可行域内的点到连线斜率的取值范围 将代入 将代入 结合图形，故的取值范围是 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线性规划求范围问题，在解答过程中要先画出可行域，然后将问题转化为斜率，求出结果，解题关键是对条件的转化 ‎8．在二项式的展开式中，当且仅当第5项的二项式系数最大，则系数最小的项是 A．第6项 B．第5项 C．第4项 D．第3项 ‎【答案】C ‎【解析】由已知条件先计算出的值，然后计算出系数最小的项 ‎【详解】‎ 由题意二项式的展开式中，当且仅当第5项的二项式系数最大，‎ 故 二项式展开式的通项为 要系数最小，则为奇数 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 故当当时系数最小 则系数最小的项是第4项 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二项式展开式的应用，结合其通项即可计算出系数最小的项，较为基础 ‎9．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若且，则椭圆的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知条件进行转化，得到三角形三边的表示数量关系，再结合条件运用余弦定理求出结果 ‎【详解】‎ 如图得到椭圆图形，由题意中，两个三角形高相同故可以得到，又则，，由可以推得，即有，，，又因为，所以 即有 化简得，即，解得，‎ 故椭圆的离心率为 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查了求椭圆的离心率以及直线和椭圆的位置关系，结合椭圆的定义和已知角相等分别求出各边长，然后运用余弦定理求出结果，需要一定的计算量 ‎10．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷三次，则数字之和能被3整除的概率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先计算出一共有多少种情况，然后再计算出满足数字之和能被3整除的情况，求出概率 ‎【详解】‎ 先后抛掷三次一共有种情况 数字之和能被3整除，则以第一次出现1为例，有：‎ ‎，共种 则共有种 数字之和能被3整除的概率为 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了古典概率，结合古典概率公式分别求出符合条件的值，然后计算出结果，较为基础 ‎11．在下方程序框图中，若输入的分别为18、100，输出的的值为，则二项式的展开式中的常数项是 A．224 B．336 C．112 D．560‎ ‎【答案】D ‎【解析】由程序图先求出的值，然后代入二项式中，求出展开式中的常数项 ‎【详解】‎ 由程序图可知求输入的最大公约数，即输出 则二项式为 的展开通项为要求展开式中的常数项，则当取时，令 解得，则结果为，则当取时，令，解得，则结果为，故展开式中的常数项为，故选 ‎【点睛】‎ 本题考查了运用流程图求两个数的最大公约数，并求出二项式展开式中的常数项，在求解过程中注意题目的化简求解，属于中档题 ‎12．如下图，已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线C的右支交于两点，且点A、B分别为的内心，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知条件得到的横坐标是相等的，然后再结合题意求出的取值范围 ‎【详解】‎ 如图，圆与切于点三点，由双曲线定义，即 ‎，所以则，又，，故，同理可得，即，设，，，直线与双曲线右支交于两点，又知渐近线方程为，可得，设圆和圆的半径分别为，则，，所以因为，由基本不等式可得，故选 ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与双曲线的位置关系，又得三角形的内切圆问题，在求解过程中将其转化利用双曲线定义求出，且得到两点横坐标，然后结合了三角函数求出半径之和，考查了转化的能力，较为综合 二、填空题 ‎13．向正方形随机撒一些豆子，经查数，落在正方形内的豆子的总数为1000，其中有780粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率的值(用分数表示)为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】运用古典概率和几何概率来估计圆周率的值 ‎【详解】‎ 令正方形内切圆的半径为，则正方形边长为，则由题意中“落在正方形内的豆子的总数为1000，其中有780粒豆子落在该正方形的内切圆内”可得，化简得 ‎【点睛】‎ 本题考查了结合概率问题来估计圆周率的值，较为基础 ‎14．下图是华师一附中数学讲故事大赛7位评委给某位学生的表演打出的分数的茎叶图.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91分，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是____________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】因为题目中要去掉一个最高分，所以对进行分类讨论，然后结合平均数的计算公式求出结果 ‎【详解】‎ 若，去掉一个最高分和一个最低分86分后，平均分为，不符合题意，故，最高分为94分，去掉一个最高分94分，去掉一个最低分86分后，平均分，解得，故数字为1‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了由茎叶图求平均值，理解题目意思运用平均数计算公式即可求出结果，注意分类讨论 ‎15．将排成一排，则字母不在两端，且三个数字中有且只有两个数字相邻的概率是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分类讨论不同字母和数字的特殊情况可能出现的结果，然后运用古典概率求出答案 ‎【详解】‎ 将排成一排一共有种不同排法，则字母不在两端，且三个数字中有且只有两个数字相邻有种不同的排法，所以其概率为，故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查了排列组合问题，注意在排列过程中一些特殊的位置要求，不重复也不遗漏，属于中档题 ‎16．已知圆上存在点，使(为原点)成立，，则实数的取值范围是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据条件中计算出点的轨迹，然后转化为圆和圆的位置关系求出实数的取值范围 ‎【详解】‎ 由题意中，设，则，化简得，又点在圆上，故两圆有交点，可得，又因为，解得 ‎【点睛】‎ 本题考查了圆和圆的位置关系，在解题时遇到形如条件时可以求出点的轨迹为圆，然后转化为圆和圆的位置关系来求解，属于中档题 三、解答题 ‎17．为了解华师一附中学生喜欢吃辣是否与性别有关，调研部(共10人)分三组对高中三个年级的学生进行调查，每个年级至少派3个人进行调查.(1)求调研部的甲、乙两人都被派到高一年级进行调查的概率.(2)调研部对三个年级共100人进行了调查，得到如下的列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有以上的把握认为喜欢吃辣与性别有关？‎ 喜欢吃辣 不喜欢吃辣 合计 男生 ‎10‎ 女生 ‎20‎ ‎30‎ 合计 ‎100‎ 参考数据：‎ 参考公式：，其中.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】(1)求出一共可能出现的情况，然后计算满足条件甲、乙两人都对高一年级进行调查的情况，运用古典概率求出结果 ‎(2)补充完整列联表,根据公式计算出的值，得到结论 ‎【详解】‎ ‎(1)设事件A为“甲、乙两人都对高一年级进行调查” ‎ 基本事件共有个 事件A包含的基本事件有个 由古典概型计算公式，得 ‎∴甲、乙两人都对高一年级进行调查的概率为 ‎ ‎(2)‎ 喜欢吃辣 不喜欢吃辣 合计 男生 ‎40‎ ‎10‎ ‎50‎ 女生 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ ‎∴‎ ‎∴有以上的把握认为喜欢吃辣与性别有关 ‎【点睛】‎ 本题考查了运用古典概率公式求解概率问题，以及补充完整列联表,根据公式计算出的值，较为基础 ‎18．已知N，，且.‎ 求：(1)展开式中各项的二项式系数之和；‎ ‎(2)；(3).‎ ‎【答案】（1）64；（2）7813；（3）‎ ‎【解析】由已知条件先求出的值，解法一：由代入化简求出，解法二：令，倒序相加求出 ‎(1)代入求出展开式中各项的二项式系数之和 ‎(2)令和，得到表达式，两式相加求出结果 ‎(3)令代入求出结果 ‎【详解】‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ 法二：设 则，‎ 相加得即 ‎∴ ‎ ‎(1)展开式中各项的二项式系数之和为 ‎ ‎(2)令，得①‎ 令，得②‎ 相加得(或) ‎ ‎(3)令得=‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求解二项式中各项的二项式系数之和以及部分项的系数之和，通常运用赋值法求出结果，较为基础 ‎19．一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了6组观测数据于下表中，通过散点图可以看出样本点分布在一条指数型函数y=的图象的周围.‎ ‎(1)试求出y关于x的上述指数型的回归曲线方程(结果保留两位小数)；‎ ‎(2)试用(1)中的回归曲线方程求相应于点(24，17)的残差.(结果保留两位小数)‎ 温度x(°C)‎ ‎20‎ ‎22‎ ‎24‎ ‎26‎ ‎28‎ ‎30‎ 产卵数y(个)‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎17‎ ‎25‎ ‎44‎ ‎88‎ z=lny ‎1.79‎ ‎2.20‎ ‎2.83‎ ‎3.22‎ ‎3.78‎ ‎4.48‎ 几点说明：‎ ‎①结果中的都应按题目要求保留两位小数.但在求时请将 的值多保留一位即用保留三位小数的结果代入.‎ ‎②计算过程中可能会用到下面的公式：回归直线方程的斜率==，截距.‎ ‎③下面的参考数据可以直接引用：=25，=31.5，≈3.05，=5248，≈476.08，，ln18.17≈2.90.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】(1)由已知条件结合计算公式求出的值，继而得到回归直线方程 ‎(2)由(1)得回归直线方程，代入点(24,17)计算出残差 ‎【详解】‎ ‎(1)设z关于x的回归直线方程为 ‎∴=≈‎ 保留三位小数：≈0.265，保留两位小数：≈0.27 ‎ ‎∴=≈3.05－0.265×25≈－3.58 ‎ ‎∴z=lny关于x的回归直线方程为=0.27x－3.58‎ ‎∴y关于x的指数型的回归曲线方程为= ‎ ‎(2)相应于点(24,17)的残差=y－=17－=17－‎ ‎≈17－=17－18.17=－1.17‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了回归直线方程的计算并求出残差，运用公式求解，较为基础 ‎20．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是.以为圆心以为半径的圆与以为圆心以+1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)不过点的直线与该椭圆交于两点，且与互补，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】(1)由已知条件可得，求出，得到椭圆方程 ‎(2)联立直线方程与椭圆方程，由已知与互补则斜率相加得零得到的数量关系，然后再求解三角形面积问题 ‎【详解】‎ ‎(1)由题 ‎∴，方程为 ‎ ‎(2)消y得 设 ‎∴ ①‎ ‎ ‎ 由得 ‎ ‎∴，‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎∴ ②‎ ‎,由①②得 ‎ ‎∴ ‎ 令，则，当时，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求椭圆方程以及三角形面积问题，在求解过程中关键是将题目中的角互补转化为斜率问题，然后再求解，注意计算不要出错，属于中档题 ‎21．已知抛物线的焦点为，过焦点且斜率存在的直线与抛物线交于两点，且点在点上方，点与点关于轴对称.‎ ‎(1)求证：直线过某一定点；‎ ‎(2)当直线的斜率为正数时，若以为直径的圆过，求的内切圆与的外接圆的半径之比.‎ ‎【答案】（1）定点；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎(1)设出BD直线方程和B、D两点坐标，联立直线方程与抛物线方程，得到关于纵坐标的表达式，然后求出直线方程，继而得到定点 ‎(2)求出BD、的直线方程，由点到直线距离相等求出内切圆半径，然后求出的外接圆半径，得到结果 ‎【详解】‎ ‎(1)设BD：，‎ 联立消x得 ‎∴恒正，‎ ‎∴即 令，得 ‎∴定点Q ‎ ‎(2)由题=‎ ‎=‎ ‎∴即得(舍)‎ ‎∴BD：‎ 由题，的内心必在x轴上，设内心 ‎∴‎ 由I到直线BQ与到直线BD的距离相等得 ‎，∴，内心 ‎∴内切圆半径 ‎ 由对称性，的外心应在x轴上，设外心 BD中垂线方程为，得 联立得 ‎∴的外接圆半径 ‎ ‎∴ ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了直线恒过定点问题，三角形外接圆与内切圆的关系，在求解过程中注意计算 ‎22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的参数方程是(为参数).‎ ‎(1)求曲线C1的直角坐标方程及曲线C2的普通方程；‎ ‎(2)已知点，直线l的参数方程为(t为参数)，设直线l与曲线C1相交于P，Q两点，求的值.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】(1)运用公式将极坐标方程转化为普通方程，运用消参法求出曲线普通方程 ‎(2)运用参数方法求出结果 ‎【详解】‎ ‎(1)，得 ‎ ‎①，②‎ 相除得，将其代入②得 又 的普通方程为 法二：设，则() ‎ ‎∴的普通方程为 ‎ ‎(2)直线参数方程的标准形式为(为参数)代入 得，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了极坐标方程转化为普通方程，运用公式代入即可化简出结果，在求长度问题时可以采用含参的方法求解