2019届二轮复习（文）第十章第4节　随机事件的概率学案（全国通用）

2019届二轮复习（文）第十章第4节　随机事件的概率学案（全国通用）

第 4 节 随机事件的概率 最新考纲 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以 及频率与概率的区别；2.了解两个互斥事件的概率加法公式． 知 识 梳 理 1．频率与概率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中 事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A)＝nA n 为事 件 A 出现的频率． (2)对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率 fn(A) 稳定在某个常数上，把这个常数记作 P(A)，称为事件 A 的概率，简称为 A 的概 率． 2．事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事 件 B 包含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B) B ⊇ A(或 A ⊆ B) 相等关系 若 B ⊇ A 且 A ⊇ B A＝B 并事件(和事 件) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发 生，称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事 件) A∪B(或 A＋B) 交事件(积事 件) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发 生，则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积 事件) A∩B(或 AB) 互斥事件 若 A∩B 为不可能事件，则称事件 A 与事件 B 互 斥 A∩B＝∅ 对立事件 若 A∩B 为不可能事件，A∪B 为必然事件，那么 称事件 A 与事件 B 互为对立事件 A∩B＝∅ P(A∪B)＝1 3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1． (2)必然事件的概率 P(E)＝1． (3)不可能事件的概率 P(F)＝0． (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． ②若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P(A)＝1－P(B)． [常用结论与微点提醒] 1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件 (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集． (2)事件 A 的对立事件A － 所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含的结果组 成的集合的补集． 2．概率加法公式的推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广， 即 P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 3．一般概率加法公式 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 诊 断 自 测 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的．( ) (2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值．( ) (3)若随机事件 A 发生的概率为 P(A)，则 0≤P(A)≤1.( ) (4)6 张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中 奖的概率．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．(2018·金华十校联考)有各不相同的 5 个红球、3 个黄球、2 个白球，事件 A： 从红球和黄球中各选 1 球，事件 B：从所有球中选取 2 球，则事件 A 发生是事件 B 发生的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 事件 A：从红球和黄球中各选 1 球，能推出事件 B：从所有球中选取 2 球， 是充分条件， 事件 B：从所有球中选取 2 球，推不出事件 A：从红球和黄球中各选 1 球，不是 必要条件． 答案 A 3．(2016·天津卷)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是1 2 ，甲获胜的概率是1 3 ， 则甲不输的概率为( ) A.5 6 B.2 5 C.1 6 D.1 3 解析 设“两人下成和棋”为事件 A，“甲获胜”为事件 B.事件 A 与 B 是互斥 事件，所以甲不输的概率 P＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1 2 ＋1 3 ＝5 6. 答案 A 4．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出 2 粒都是黑子的概率为1 7 ，都是 白子的概率是12 35 ，则从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率是 ． 解析 由题意知，所求概率 P＝1 7 ＋12 35 ＝17 35. 答案 17 35 5．袋中装有 100 个大小相同的红球、白球和黑球，从中任取一球，摸出红球、 白球的概率分别是 0.40 和 0.35，那么黑球共有 个． 解析 任取一球是黑球的概率为 1－(0.40＋0.35)＝0.25，∴黑球有 100×0.25＝ 25(个)． 答案 25 6．(2018·嘉兴测试)口袋内有一些大小、形状完全相同的红球、黄球和白球，从 中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为 0.4，摸出的球是红球或白球 的概率为 0.9，那么摸出的球是黄球的概率为 ；是白球的概率 为 ． 解析 设摸出红球的概率是 P(A)，摸出黄球的概率是 P(B)，摸出白球的概率是 P(C)，∴P(A)＋P(B)＝0.4，P(A)＋P(C)＝0.9，∴P(C)＝1－P(A)－P(B)＝0.6，P(B) ＝1－P(A)－P(C)＝0.1. 答案 0.1 0.6 考点一 随机事件间的关系 【例 1】 从 1，2，3，4，5 这五个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数 和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数 和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对 立事件的是( ) A．① B．②④ C．③ D．①③ 解析 从 1，2，3，4，5 这五个数中任取两个数有 3 种情况：一奇一偶，两个奇 数，两个偶数． 其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是 偶数是对立事件． 又①②④中的事件可以同时发生，不是对立事件． 答案 C 规律方法 (1)本题中准确理解恰有两个奇数(偶数)，一奇一偶，至少有一个奇数 (偶数)是求解的关键，必要时可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试 验结果，从而断定所给事件的关系． (2)准确把握互斥事件与对立事件的概念． ①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生． ②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且 仅有一个发生． 【训练 1】 口袋里装有 1 红、2 白、3 黄共 6 个形状相同的小球，从中取出 2 球， 事件 A＝“取出的 2 球同色”，B＝“取出的 2 球中至少有 1 个黄球”，C＝“取 出的 2 球至少有 1 个白球”，D＝“取出的 2 球不同色”，E＝“取出的 2 球中 至多有 1 个白球”．下列判断中正确的序号为 ． ①A 与 D 是对立事件；②B 与 C 是互斥事件；③C 与 E 是对立事件；④P(C∪E) ＝1；⑤P(B)＝P(C)． 解析 当取出的 2 个球中一黄一白时，B 与 C 都发生，②不正确．当取出的 2 个球中恰有一个白球时，事件 C 与 E 都发生，则③不正确．显然 A 与 D 是对立 事件，①正确；C∪E 不一定为必然事件，P(C∪E)≤1，④不正确．由于 P(B)＝ 4 5 ，P(C)＝3 5 ，所以⑤不正确． 答案 ① 考点二 随机事件的频率与概率 【例 2】 (2016·全国Ⅱ卷)某险种的基本保费为 a(单位：元)，继续购买该险种的 投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次 数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数 60 50 30 30 20 10 (1)记 A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求 P(A)的估计值； (2)记 B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160 ”，求 P(B)的估计值； (3)求续保人本年度平均保费的估计值． 解 (1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2，由所给数据知，一年内出险 次数小于 2 的频率为60＋50 200 ＝0.55，故 P(A)的估计值为 0.55. (2)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4，由所给数据知，一年内 出险次数大于 1 且小于 4 的频率为30＋30 200 ＝0.3， 故 P(B)的估计值为 0.3. (3)由所给数据得 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调 查 的 200 名 续 保 人 的 平 均 保 费 为 0.85a×0.30 ＋ a×0.25 ＋ 1.25a×0.15 ＋ 1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a. 因此，续保人本年度平均保费的估计值为 1.192 5a. 规律方法 (1)解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计 算频率，用频率估计概率． (2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确 定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，通过大量的重复试验， 事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数(概率)，因此有时也用频率来作为随机 事件概率的估计值． 【训练 2】 某超市随机选取 1 000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种 商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买. 商品 顾客人数 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × (1)估计顾客同时购买乙和丙的概率； (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率； (3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解 (1)从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中有 200 位顾客同时购买了乙和丙， 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为 200 1 000 ＝0.2. (2)从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中，有 100 位顾客同时购买了甲、丙、 丁，另有 200 位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了 2 种商品． 所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为100＋200 1 000 ＝0.3. (3)与(1)同理，可得： 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 200 1 000 ＝0.2， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋300 1 000 ＝0.6，顾客同时购买甲和 丁的概率可以估计为 100 1 000 ＝0.1. 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大． 考点三 互斥事件与对立事件的概率 【例 3】 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收 集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示． 一次购 物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及 以上 顾客 数/人 x 30 25 y 10 结算时 间/(分 钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55 . (1)确定 x，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率(将频率视为概率)． 解 (1)由已知得 25＋y＋10＝55，x＋30＝45， 所以 x＝15，y＝20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购 物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本，顾客一次购物的结 算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为 1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10 100 ＝1.9(分钟)． (2)记 A 表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”，A1，A2，A3 分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为 1 分钟”、“该顾客一次购物的结 算时间为 1.5 分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为 2 分钟”．将频率视为概 率得 P(A1)＝ 15 100 ＝ 3 20 ，P(A2)＝ 30 100 ＝ 3 10 ，P(A3)＝ 25 100 ＝1 4. 因为 A＝A1∪A2∪A3，且 A1，A2，A3 彼此是互斥事件， 所以 P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3) ＝ 3 20 ＋ 3 10 ＋1 4 ＝ 7 10. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 7 10. 规律方法 (1)①求解本题的关键是正确判断各事件的关系，以及把所求事件用 已知概率的事件表示出来． ②结算时间不超过 2 分钟的事件，包括结算时间为 2 分钟的情形，否则会计算错 误． (2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的 概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立 事件的概率，再由 P(A)＝1－P(A － )求解．当题目涉及“至多”、“至少”型问题， 多考虑间接法． 【训练 3】某商场有奖销售活动中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 50 个．设 1 张奖 券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A，B，C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1 张奖券的中奖概率； (3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 解 (1)P(A)＝ 1 1 000 ，P(B)＝ 10 1 000 ＝ 1 100 ， P(C)＝ 50 1 000 ＝ 1 20. 故事件 A，B，C 的概率分别为 1 1 000 ，1 100 ， 1 20. (2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1 张奖券中奖”这个事件 为 M，则 M＝A∪B∪C. ∵A，B，C 两两互斥， ∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝1＋10＋50 1 000 ＝ 61 1 000. 故 1 张奖券的中奖概率为 61 1 000. (3)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N，则事件 N 与“1 张奖券中 特等奖或中一等奖”为对立事件， ∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－ 1 1 000 ＋ 1 100 ＝ 989 1 000. 故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 989 1 000. 基础巩固题组 一、选择题 1．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、 西、北四个方向前进，任意两人不能同一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向 南”是( ) A．互斥但非对立事件 B．对立事件 C．相互独立事件 D．以上都不对 解析 由于任意两人不能同一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能 的，故是互斥事件，但不是对立事件． 答案 A 2．在 5 张电话卡中，有 3 张移动卡和 2 张联通卡，从中任取 2 张，若事件“2 张全是移动卡”的概率是 3 10 ，那么概率为 7 10 的事件是( ) A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡 C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡 解析 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通 卡”两个事件，它是“2 张全是移动卡”的对立事件，因此“至多有一张移动卡” 的概率为 7 10. 答案 A 3．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 A＝{抽到一等品}，事件 B＝{抽到二 等品}，事件 C＝{抽到三等品}，且已知 P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则 事件“抽到的不是一等品”的概率为( ) A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.3 解析 事件“抽到的产品不是一等品”与事件 A 是对立事件，由于 P(A)＝0.65， 所以由对立事件的概率公式得“抽到的产品不是一等品”的概率为 P＝1－P(A) ＝1－0.65＝0.35. 答案 C 4．某袋中有编号为 1，2，3，4，5，6 的 6 个球(小球除编号外完全相同)，甲先 从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、 乙两人所摸出球的编号不同的概率是( ) A.1 5 B.1 6 C.5 6 D.35 36 解析 设 a，b 分别为甲、乙摸出球的编号．由题意，摸球试验共有 36 种不同结 果，满足 a＝b 的基本事件共有 6 种．所以摸出编号不同的概率 P＝1－ 6 36 ＝5 6. 答案 C 5．掷一个骰子的试验，事件 A 表示“出现小于 5 的偶数点”，事件 B 表示“出 现小于 5 的点数”，若B － 表示 B 的对立事件，则一次试验中，事件 A∪B － 发生的 概率为( ) A.1 3 B.1 2 C.2 3 D.5 6 解析 掷一个骰子的试验有 6 种可能结果． 依题意 P(A)＝2 6 ＝1 3 ，P(B)＝4 6 ＝2 3 ， ∴P(B － )＝1－P(B)＝1－2 3 ＝1 3 ， ∵B － 表示“出现 5 点或 6 点”的事件， 因此事件 A 与B － 互斥， 从而 P(A∪B － )＝P(A)＋P(B － )＝1 3 ＋1 3 ＝2 3. 答案 C 6．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送 来米 1 534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这 批米内夹谷约为( ) A．134 石 B．169 石 C．338 石 D．1 365 石 解 析 因 为 样 本 中 米 内 夹 谷 的 比 为 28 254 ， 所 以 这 批 米 内 夹 谷 为 1 534× 28 254 ≈169(石)． 答案 B 7．甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任想一数字，记为 a，再由乙猜甲刚才想的 数字，把乙猜出的数字记为 b，且 a，b∈{1，2，3}，若|a－b|≤1，则称甲、乙 “心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 ( ) A.1 3 B.5 9 C.2 3 D.7 9 解析 甲想一数字有 3 种结果，乙猜一数字有 3 种结果，基本事件总数为 3×3 ＝9. 设甲、乙“心有灵犀”为事件 A，则 A 的对立事件 B 为“|a－b|＞1”，即|a－b| ＝2 包含 2 个基本事件， ∴P(B)＝2 9 ， ∴P(A)＝1－2 9 ＝7 9. 答案 D 8．(一题多解)(2018·丽水调研)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊 中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( ) A.2 3 B.2 5 C.3 5 D. 9 10 解析 五人中选用三人，列举可得基本事件总数是 10， 法一 甲被录用乙没被录用的可能情况有 3 种，乙被录用甲没被录用的可能情况 有 3 种，甲、乙都被录用的可能情况有 3 种，所以所求概率为 P＝3＋3＋3 10 ＝ 9 10. 法二 “甲或乙被录用”的对立事件是“甲和乙都没有被录用”，即录用的是其 余三人，只含有 1 个基本事件，故所求概率是 1－ 1 10 ＝ 9 10. 答案 D 二、填空题 9．在 200 件产品中，有 192 件一级品，8 件二级品，则下列事件： ①在这 200 件产品中任意选出 9 件，全部是一级品； ②在这 200 件产品中任意选出 9 件，全部是二级品； ③在这 200 件产品中任意选出 9 件，不全是二级品． 其中 是必然事件； 是不可能事件； 是随机事件． 答案 ③ ② ① 10．给出下列三个命题，其中正确命题有 个． ①有一大批产品，已知次品率为 10 ，从中任取 100 件，必有 10 件是次品； ②做 7 次抛硬币的试验，结果 3 次出现正面，因此正面出现的概率是3 7 ；③随机 事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率． 解析 ①错，不一定是 10 件次品；②错，3 7 是频率而非概率；③错，频率不等于 概率，这是两个不同的概念． 答案 0 11．某城市 2017 年的空气质量状况如表所示： 污染指数 T 30 60 100 110 130 140 概率 P 1 10 1 6 1 3 7 30 2 15 1 30 其中污染指数 T≤50 时，空气质量为优；50＜T≤100 时，空气质量为良，100 ＜T≤150 时，空气质量为轻微污染，则该城市 2017 年空气质量达到良或优的概 率为 ． 解析 由题意可知 2017 年空气质量达到良或优的概率为 P＝ 1 10 ＋1 6 ＋1 3 ＝3 5. 答案 3 5 12．(2018·萧山月考)向三个相邻的军火库各投一枚炸弹．击中第一个军火库的概 率为 0.025，击中另两个军火库的概率都为 0.1，并且只要击中一个，另两个也爆 炸，则军火库爆炸的概率为 ． 解析 设 A，B，C 分别表示击中第一、二、三个军火库，易知事件 A，B，C 彼 此互斥，且 P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1. 设 D 表示军火库爆炸，则 P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.所 以军火库爆炸的概率为 0.225. 答案 0.225 13．(2018·湖州调研)某班选派 5 人参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概 率如下： 获奖人数 0 1 2 3 4 5 概率 0.1 0.16 x y 0.2 (1)若获奖人数不超过 2 人的概率为 0.56，则 x 的值为 ； (2)若获奖人数最多 4 人的概率为 0.96，最少 3 人的概率为 0.44，则 y＋ ＝ ． 解析 记事件“在竞赛中，有 k 人获奖”为 Ak(k∈N，k≤5)，则事件 Ak 彼此互 斥． (1)∵获奖人数不超过 2 人的概率为 0.56， ∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56. 解得 x＝0.3. (2)由获奖人数最多 4 人的概率为 0.96，得 P(A5)＝1－0.96＝0.04，即 ＝0.04. 由获奖人数最少 3 人的概率为 0.44，得 P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，即 y＋0.2＋ 0.04＝0.44. 解得 y＝0.2. ∴y＋ ＝0.24. 答案 (1)0.3 (2)0.24 能力提升题组 14．设事件 A，B，已知 P(A)＝1 5 ，P(B)＝1 3 ，P(A∪B)＝ 8 15 ，则 A，B 之间的关系 一定为( ) A．两个任意事件 B．互斥事件 C．非互斥事件 D．对立事件 解析 因为 P(A)＋P(B)＝1 5 ＋1 3 ＝ 8 15 ＝P(A∪B)，所以 A，B 之间的关系一定为互 斥事件． 答案 B 15．抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字 1，2，3，4，5，6)，事件 A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件 B 表示“朝上一面的数不超过 2”，则 P(A∪B)＝ ． 解析 将事件 A∪B 分为：事件 C“朝上一面的数为 1，2”与事件 D“朝上一面 的数为 3，5”． 则 C，D 互斥，且 P(C)＝1 3 ，P(D)＝1 3 ， ∴P(A∪B)＝P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝2 3. 答案 2 3 16．某学校成立了数学、英语、音乐 3 个课外兴趣小组，3 个小组分别有 39，32， 33 个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示． 现随机选取一个成员，他属于至少 2 个小组的概率是 ，他属于不超过 2 个小组的概率是 ． 解析 “至少 2 个小组”包含“2 个小组”和“3 个小组”两种情况，故他属于 至少 2 个小组的概率为 P＝ 11＋10＋7＋8 6＋7＋8＋8＋10＋10＋11 ＝3 5. “不超过 2 个小组”包含“1 个小组”和“2 个小组”，其对立事件是“3 个小 组”． 故他属于不超过 2 个小组的概率是 P＝1－ 8 6＋7＋8＋8＋10＋10＋11 ＝13 15. 答案 3 5 13 15 17．(2018·绍兴一中适应性检测)一个袋子中装有大小和形状相同的红球、白球和 蓝球，其中有 2 个红球，3 个白球，n 个蓝球． (1)若从中任取一个小球为红球的概率为1 4 ，则 n 的值为 ； (2)若从中任取一个小球为白球或蓝球的概率为2 3 ，则从中任取一个小球不是蓝球 的概率为 ． 解析 (1)设任取一个小球得到红球、白球、蓝球的事件分别为 A，B，C， 它们是彼此互斥事件， 由已知得 P(A)＝1 4 ， ∴ 2 2＋3＋n ＝1 4 ， 解得 n＝3. (2)∵P(B∪C)＝2 3 ， 由对立事件的概率计算公式知，取一个球为红球的概率为 P(A)＝1－P(B∪C)＝1 －2 3 ＝1 3 ， ∴ 2 2＋3＋n ＝1 3 ，解得 n＝1，∴P(C)＝1 6 ， ∴从中任取一个小球不是蓝球的概率 P(C － )＝1－1 6 ＝5 6. 答案 (1)3 (2)5 6 18．(2018·温州调研)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如 下： 排队人数 0 1 2 3 4 5 人及 5 人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 (1)至多 2 人排队等候的概率为 ； (2)(一题多解)至少 3 人排队等候的概率为 ． 解析 “无人排队等候”为事件 A，“1 人排队等候”为事件 B，“2 人排队等 候”为事件 C，“3 人排队等候”为事件 D，“4 人排队等候”为事件 E，“5 人及 5 人以上排队等候”为事件 F，则事件 A，B，C，D，E，F 互斥． (1)记“至多 2 人排队等候”为事件 G，则 G＝A∪B∪C， 所以 P(G)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)法一 记“至少 3 人排队等候”为事件 H，则 H＝D∪E∪F，所以 P(H)＝P(D) ＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44. 法二 记“至少 3 人排队等候”为事件 H，则其对立事件为事件 G，所以 P(H) ＝1－P(G)＝0.44. 答案 (1)0.56 (2)0.44