中考数学 教材知识梳理 数与式 时 整式

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第一单元 数与式 第 4 课时 整 式 河北 6 年中考真题 河北中考考点梳理 河北中考题型突破 考点 2 考点 3 整式的运算 因式分解 河北中考考点梳理 温馨提示：点击文字链接进入 考点 1 代数式 第一部分 教材知识梳理 题组二 题组三 整式的运算 因式分解 河北中考题型突破 温馨提示：点击文字链接进入 题组一 列代数式及其求值 第一部分 教材知识梳理 1. 【导学号： 79700019 】 (2016 ， T 2 ， 3 分 ) 下列计 算正确的是 ( ) A ． ( － 5) 0 ＝ 0 B ． x 2 ＋ x 3 ＝ x 5 C ． ( ab 2 ) 3 ＝ a 2 b 5 D ． 2 a 2 · a － 1 ＝ 2 a 2. 【导学号： 79700020 】 (2015 ， T 4 ， 3 分 ) 下列运 算正确的是 ( ) A. 　　　　　　 B ． 6×10 7 ＝ 6 000 000 C ． (2 a ) 2 ＝ 2 a 2 D ． a 3 · a 2 ＝ a 5 河北 6 年中考真题 D D ( 一 ) 河北 6 年中考真题 3. 【导学号： 79700021 】 (2013 ， T 5 ， 2 分 ) 若 x ＝ 1 ， 则 | x － 4| ＝ ( ) A ． 3 　　　 B ．－ 3 　　　 C ． 5 　　　 D ．－ 5 4. 【导学号： 79700022 】 (2013 ， T 4 ， 2 分 ) 下列等式 从左到右的变形中，属于因式分解的是 ( ) A ． a ( x － y ) ＝ ax － ay B ． x 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ x ( x ＋ 2) ＋ 1 C ． ( x ＋ 1)( x ＋ 3) ＝ x 2 ＋ 4 x ＋ 3 D ． x 3 － x ＝ x ( x ＋ 1)( x － 1) A D ( 一 ) 河北 6 年中考真题 5. 【导学号： 79700023 】 (2012 ， T 11 ， 3 分 ) 如图，两 个正方形的面积分别为 16 ， 9 ，两个阴影部分的面 积分别为 a ， b ( a ＞ b ) ，则 a － b 等于 ( ) A ． 7 B ． 6 C ． 5 D ． 4 A ( 一 ) 河北 6 年中考真题 6. 【导学号： 79700024 】 (2013 ， T 9 ， 3 分 ) 如图，淇 淇和嘉嘉做数学游戏：假设嘉嘉抽到牌的点数为 x ，淇淇猜中的结果为 y ，则 y 等于 ( ) A ． 2 B ． 3 C ． 6 D ． x ＋ 3 B ( 一 ) 河北 6 年中考真题 7. 【导学号： 79700025 】 (2012 ， T 2 ， 2 分 ) 计算 ( ab ) 3 的 结果是 ( ) A ． ab 3 B ． a 3 b C ． a 3 b 3 D ． 3 ab 8. 【导学号： 79700026 】 (2011 ， T 4 ， 2 分 ) 下列运算中， 正确的是 ( ) A ． 2 x － x ＝ 1 B ． x ＋ x 4 ＝ x 5 C ． ( － 2 x ) 3 ＝－ 6 x 3 D ． x 2 y ÷ y ＝ x 2 C D ( 一 ) 河北 6 年中考真题 9. 【导学号： 79700027 】 (2011 ， T 3 ， 2 分 ) 下列因式分 解正确的是 ( ) A ．－ a ＋ a 3 ＝－ a (1 ＋ a 2 ) B ． 2 a － 4 b ＋ 2 ＝ 2( a － 2 b ) C ． a 2 － 4 ＝ ( a － 2) 2 D ． a 2 － 2 a ＋ 1 ＝ ( a － 1) 2 D ( 一 ) 河北 6 年中考真题 10. 【导学号： 79700028 】 (2016 ， T 18 ， 3 分 ) 若 mn ＝ m ＋ 3 ，则 2 mn ＋ 3 m － 5 mn ＋ 10 ＝ ____ ． 1 ( 一 ) 河北 6 年中考真题 ∵ mn ＝ m ＋ 3 ， ∴ 2 mn ＋ 3 m － 5 mn ＋ 10 ＝－ 3 mn ＋ 3 m ＋ 10 ＝－ 3( m ＋ 3) ＋ 3 m ＋ 10 ＝－ 3 m ＋ 3 m － 9 ＋ 10 ＝ 1. 11. 【导学号： 79700029 】 (2014 ， T 18 ， 3 分 ) 若实数 m ， n 满足 | m － 2| ＋ ( n － 2 014) 2 ＝ 0 ，则 m － 1 ＋ n 0 ＝ ____ ． 12. 【导学号： 79700030 】 (2012 ， T 15 ， 3 分 ) 已知 y ＝ x － 1 ，则 ( x － y ) 2 ＋ ( y － x ) ＋ 1 的值为 ____ ． 13. 【导学号： 79700031 】 (2011 ， T 15 ， 3 分 ) 若 | x － 3| ＋ | y ＋ 2| ＝ 0 ，则 x ＋ y 的值为 ____ ． 1 1 ( 一 ) 河北 6 年中考真题 14. 【导学号： 79700032 】 (2015 ， T 21 ， 10 分 ) 老师在黑 板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住 了一个二次三项式，形式如图所示： (1) 求所捂的二次三项式； (2) 若 x ＝ ＋ 1 ，求所捂二次三项式的值． 解： (1) 所捂的二次三项式为 x 2 － 5 x ＋ 1 ＋ 3 x ＝ x 2 － 2 x ＋ 1. (2) 当 x ＝ ＋ 1 时， x 2 － 2 x ＋ 1 ＝ ( x － 1) 2 ＝ ( ＋ 1 － 1) 2 ＝ 6. ( 一 ) 河北 6 年中考真题 15. 【导学号： 79700033 】 (2011 ， T 19 ， 8 分 ) 已知 是关于 x ， y 的二元一次方程 x ＝ y ＋ a 的解，求 ( a +1)( a － 1) ＋ 7 的值． 解： 将 代入 x ＝ y ＋ a ， 得 2 ＝ ＋ a ， ∴ a ＝ ， ∴ ( a ＋ 1)( a － 1) ＋ 7 ＝ a 2 － 1 ＋ 7 ＝ 3 － 1 ＋ 7 ＝ 9. 返回 ( 一 ) 河北 6 年中考真题 1. 定义：像 3( x － 1) ＋ 2 ， ab ， ， 等都是用 基本的运算符号把数或表示数的字母连接起来的 式子， 这样的式子都是 ________ ，单独的数或字 母 ______( 填 “ 是 ” 或 “ 不是 ” ) 代数式． 2. 代数式：把问题中与数量有关的语句，用含有 ______ 、数和运算符号的式子表示出来，这就是 列代数式． 考点 1 代数式 代数式 是 字母 ( 二 ) 河北中考考点梳理 3. 代数式求值 一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数 式中的运算关系计算得出结果，叫做代数式求值． 4. 整式的相关概念 (1) 单项式： 100 t ， 0.8 p ， mn ， a 2 h ，－ n 等这些式子都 是数或字母的 ____ ，像这样的式子叫做单项式．单 独一个数或字母也是单项式；单项式中的数字因数 叫做这个单项式的系数；一个单项式中所有字母的 指数之和叫做这个单项式的次数． 积 ( 二 ) 河北中考考点梳理 (2) 多项式：几个单项式的 _____ 叫做多项式．多项式 中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的 项叫做常数项，一个多项式含有几项，这个多项式 就是几项式，多项式中次数最高项的次数，就是这 个多项式的次数． (3) 整式：单项式与多项式统称为整式． 返回 和 ( 二 ) 河北中考考点梳理 1 ．整式的加减 (1) 同类项：所含字母相同，并且相同字母的 ______ 也相同 的项叫做同类项．几个常数项也是同类项； (2) 合并同类项的法则：同类项的系数 ______ ，所得结果作 为系数，字母和字母的指数 ______ ； (3) 去括号法则： a ＋ ( b ＋ c － d ) ＝ a ＋ b ＋ c － d ； a － ( b ＋ c － d ) ＝ a － b － c ＋ d ； ( 口诀： “ － ” 变， “ ＋ ” 不变 ) (4) 整式的加减运算法则可归纳为： 先去括号，再合并同类项． 考点 2 整式的运算 指数 相加 不变 ( 二 ) 河北中考考点梳理 2 ．幂的运算 ( m ， n ， p 为正整数 ) 运算 法则 举例 同底数幂乘法 a m ·a n ＝ ___ __ _ x 2 ·x 3 ＝ x 5 同底数幂除法 a m ÷a n ＝ ___ __ _ ( a≠0 ) x 5 ÷x 2 ＝ x 3 ( x≠0 ) 幂的乘方 ( a m ) n ＝ ___ __ _ ( x 2 ) 3 ＝ x 6 积的乘方 ( ab ) p ＝ __ _ __ _ ( xy ) 2 ＝ x 2 y 2 a m ＋ n a m － n a mn a p b p ( 二 ) 河北中考考点梳理 运算 法则 举例 商的乘方 ＝ ___ __ _( a ≠ 0) ( x ≠ 0) 零指数幂 a 0 ＝ ____( a ≠ 0) ( － 1) 0 ＝ 1 负整数指数幂 a － p ( a ≠ 0) ＝ 2 1 ( 二 ) 河北中考考点梳理 续表 单项式乘单项式 把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．如： 2 ab ·3 a 2 ＝ (2×3)×( a × a 2 ) × b ＝ 6 a 3 b 单项式乘多项式 用单项式分别去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即 m ( a ＋ b ) ＝ __ _________ 多项式乘多项式 先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即 ( m ＋ n )( a ＋ b ) ＝ __ _______________ __ 乘法公式 平方差 公式： ( a ＋ b )( a － b ) ＝ ___ ______ _ ； 完全 平方公式： ( a ± b ) 2 ＝ __ ________ __ ma ＋ mb ma ＋ mb ＋ na ＋ nb a 2 － b 2 a 2 ±2 ab ＋ b 2 3. 整式乘法运算 ( 二 ) 河北中考考点梳理 返回 4. 整式除法运算 单项式除以单项式，将系数、同底数幂分别 相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字 母，则连同它的指数作为商的一个因式．如： 6 a 3 b ÷2 a ＝ (6÷2)×( a 3 ÷ a )× b ＝ 3 a 2 b . ( 二 ) 河北中考考点梳理 1. 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式， 叫做因式分解． 2. 因式分解的基本方法 (1) 提公因式法： ma ＋ mb ＋ mc ＝ __________ ； (2) 公式法： ① 平方差公式 a 2 － b 2 ___________ ． ② 完全平方公式 a 2 ±2 ab ＋ b 2 ( a ± b ) 2 . 考点 3 因式分解 m ( a ＋ b ＋ c ) ( a ＋ b )( a － b ) ( 二 ) 河北中考考点梳理 3 ．因式分解的一般步骤： (1) 如果多项式的各项有公因式，那么应先提取公因式 ； (2) 如果多项式的各项没有公因式，可以尝试使用公 式 法来分解因式；当该多项式为二项式时，考虑使用 平方差公式；为三项式时，考虑使用完全平方公式； 多于三项时，考虑使用分组的方法进行分解； (3) 检查因式分解是否彻底，必须分解到每一个多项式 都不能再分解为止． 以上步骤可以概括为 “ 一提二套三检查 ” ． 返回 ( 二 ) 河北中考考点梳理 题组一 列代数式及其求值 1. ( 2016 重庆 B 卷 ) 若 m ＝－ 2 ，则代数式 m 2 － 2 m － 1 的 值是 ( ) A ． 9 　　　　　　 　 B ． 7 C ．－ 1 D ．－ 9 B ( 三 ) 河北中考题型突破 原式＝ ( － 2) 2 － 2×( － 2) － 1 ＝ 4 － ( － 4) － 1 ＝ 7. 将 m ＝－ 2 代入代数式 m 2 － 2 m － 1 中时，注意加括号． 2. ( 2016 邯郸一模 ) 已知 m － n ＝ 100 ， x ＋ y ＝－ 1 ，则 代数式 ( n ＋ x ) － ( m － y ) 的值是 ( ) A ． 99 B ． 101 C ．－ 99 D ．－ 101 D ( 三 ) 河北中考题型突破 ∵ m － n ＝ 100 ， x ＋ y ＝－ 1 ， ∴ 原式＝ n ＋ x － m ＋ y ＝－ ( m － n ) ＋ ( x ＋ y ) ＝－ 100 － 1 ＝－ 101. 3. ( 2016 河北考试说明 ) 一根钢筋长 a 米，第一次用去 了全长的 ，第二次用去了余下的 ，则剩余部 分的长度为 ______ 米 ( 结果要化简 ) ． 4. ( 2016 原创 ) 已知 | a ＋ 2| ＋ ＝ 0 ， 则 2 b 2 － 4 b ＋ a ＝ ____ ． 4 ( 三 ) 河北中考题型突破 由题意可得 a ＝－ 2 ， b 2 － 2 b ＝ 3 ，则 2 b 2 － 4 b ＋ a ＝ 2( b 2 － 2 b ) ＋ a ＝ 2×3 ＋ ( － 2) ＝ 4. 5. ( 2016 张家口二模 )( x ＋ 2) 4 ＝ a 0 ＋ a 1 x ＋ a 2 x 2 ＋ a 3 x 3 ＋ a 4 x 4 ，则 a 0 ＝ ____ ． 16 ( 三 ) 河北中考题型突破 令 x ＝ 0 ，则 (0 ＋ 2) 4 ＝ a 0 ， ∴ a 0 ＝ 16. 1. 对于列代数式这类题，关键是正确分析数量关系，掌握 “ 增加 ”、 “ 减少 ” 、 “ 提升 ” 、 “ 下降 ” 、 “ 倍 ” 等文字语言怎样用符号表示；同 时要理解增长率、下降率、平均增长率、平均下降率的含义． 2. 代数式求值有三种方法：一是直接代入求值；二是间接代入求 值，就是根据已知条件，求出未知数的值，再代入求值；三是整 体代入求值，即对所给条件或要求值的代数式进行变形，然后整 体代入求值． 3. 初中阶段常见的三个非负数为： | a | ， ( a ≥0) ， a 2 . 若几个非负数 的和为 0 ，则每个数都为 0. 返回 方法点拨 ( 三 ) 河北中考题型突破 1 ． ( 2016 重庆 A 卷 ) 计算 a 3 · a 2 正确的是 ( ) A ． a 　 　 B ． a 5 　　 C ． a 6 　 　 D ． a 9 2 ． ( 2016 秦皇岛一模 ) 下列等式成立的是 ( ) A ． ( a ＋ 4)( a － 4) ＝ a 2 － 4 B ． 2 a 2 － 3 a ＝－ a C ． a 6 ÷ a 3 ＝ a 2 D ． ( a 2 ) 3 ＝ a 6 题组二 整式的运算 B D ( 三 ) 河北中考题型突破 3 ． ( 2016 原创 ) 若 a m ＝ 8 ， a n ＝ 2 ，则 a m － n ＝ ____ ． 4 ． ( 2016 唐山模拟 ) 已知 x 2 ＋ x － 5 ＝ 0 ， 求 ( x － 1) 2 － x ( x － 3) ＋ ( x ＋ 2)( x － 2) 的值． 解： 原式＝ x 2 － 2 x ＋ 1 － x 2 ＋ 3 x ＋ x 2 － 4 ＝ x 2 ＋ x － 3 ， ∵ x 2 ＋ x － 5 ＝ 0 ， ∴ x 2 ＋ x ＝ 5 ， ∴ 原式＝ 5 － 3 ＝ 2. 4 ( 三 ) 河北中考题型突破 方法点拨 在进行幂的运算时，牢记幂的运算的实质是底 数不变，只进行幂的指数运算．注意：不要混淆同 底数幂的乘法运算法则与幂的乘方运算法则． 返回 ( 三 ) 河北中考题型突破 1 ． ( 2016 邯郸一模 ) 下列因式分解正确的是 ( ) A ． m 2 ＋ n 2 ＝ ( m ＋ n )( m － n ) B ． x 2 ＋ 2 x － 1 ＝ ( x － 1) 2 C ． a 2 － a ＝ a ( a － 1) D ． a 2 ＋ 2 a ＋ 1 ＝ a ( a ＋ 2) ＋ 1 2 ． ( 2016 秦皇岛模拟 ) 下列各式能用完全平方公式 进行因式分解的是 ( ) A ． x 2 ＋ 9 y 2 B ． x 2 ＋ 2 x － 1 C ． 9 x 2 ＋ 6 x ＋ 1 D ． x 2 ＋ 4 x ＋ 2 题组三 因式分解 C C ( 三 ) 河北中考题型突破 3 ． ( 2016 保定一模 ) 分解因式： x 3 y － 2 x 2 y ＋ xy ＝ __________ ． 4 ． ( 2016 威海 ) 分解因式： (2 a ＋ b ) 2 － ( a ＋ 2 b ) 2 ＝ ________________ ． xy ( x － 1) 2 3( a ＋ b )( a － b ) ( 三 ) 河北中考题型突破 将 2 a ＋ b ， a ＋ 2 b 分别看成一个整体，运用平方差公式分解因式．原式＝ [(2 a ＋ b ) ＋ ( a ＋ 2 b )][(2 a ＋ b ) － ( a ＋ 2 b )] ＝ (3 a ＋ 3 b )( a － b ) ＝ 3( a ＋ b )( a － b ) ． 方法点拨 1. 在运用公式法进行因式分解时，字母和系数要同 时运用公式法进行分解； 2. 分解因式时，一定要分解彻底． ( 三 ) 河北中考题型突破