2021高考数学一轮复习课后限时集训53椭圆及其性质理北师大版

2021高考数学一轮复习课后限时集训53椭圆及其性质理北师大版

课后限时集训53‎ 椭圆及其性质 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．(2019·北京高考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则(　　)‎ A．a2＝2b2 B．‎3a2＝4b2‎ C．a＝2b D．‎3a＝4b B　[由题意，＝，得＝，则＝，‎ ‎∴‎4a2－4b2＝a2，即‎3a2＝4b2.故选B.]‎ ‎2．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(　　)‎ A． B．(1，＋∞)‎ C．(1,2) D． C　[由题意得 解得1＜k＜2.故选C.]‎ ‎3．椭圆C的一个焦点为F1(0,1)，并且经过点P，则椭圆C的标准方程为(　　)‎ A．＋＝1 B．＋＝1‎ C．＋＝1 D．＋＝1‎ D　[由题意可设椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，且另一个焦点为F2(0，－1)，所以‎2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝4.‎ 所以a＝2，又c＝1，‎ 所以b2＝a2－c2＝3.‎ 故椭圆C的标准方程为＋＝1.故选D.]‎ ‎4．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为(　　)‎ A．－ B．－1‎ 7‎ C． D． B　[设椭圆的两个焦点为F1，F2，圆与椭圆交于A，B，C，D四个不同的点，设＝‎2c，则＝c，＝c.由椭圆定义，得‎2a＝|DF1|＋|DF2|＝c＋c，所以e＝＝＝－1，故选B.]‎ ‎5．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)‎ A．2 B．6 ‎ C．4 D．12‎ C　[由椭圆的方程得a＝.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝‎2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝‎2a＋‎2a＝‎4a＝4.]‎ 二、填空题 ‎6．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________．‎ ‎(－5,0)　[∵圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，∴圆心坐标为(3,0)，∴c＝3.又b＝4，∴a＝＝5.∵椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)．]‎ ‎7．(2019·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF‎1F2为等腰三角形，则M的坐标为____________．‎ ‎(3，)　[不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF‎1F2为等腰三角形，所以易知|F‎1M|＝‎2c＝8，所以|F‎2M|＝‎2a－8＝4.设M(x，y)，则得又因为点M在第一象限，所以M的坐标为(3，)．]‎ ‎8．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足1·2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．‎ 　[满足1·2＝0的点M的轨迹是以F‎1F2为直径的圆，若其总在椭圆内部，则有c＜b，即c2＜b2，又b2＝a2－c2，所以c2＜a2－c2，‎ 即‎2c2＜a2，所以e2＜，又因为0＜e＜1，‎ 所以0＜e＜.]‎ 三、解答题 7‎ ‎9．已知点P是圆F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点(F1是圆心)，点F2与点F1关于原点对称．线段PF2的垂直平分线m分别与PF1，PF2交于M，N两点．求点M的轨迹C的方程．‎ ‎[解]　由题意得F1(－1,0)，F2(1,0)，圆F1的半径为4，‎ 且|MF2|＝|MP|，从而|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝|PF1|＝4>|F‎1F2|，‎ 所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，‎ 其中长轴长为4，焦距为2，则短半轴长为，‎ 所以点M的轨迹方程为＋＝1.‎ ‎10．(2019·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．‎ ‎(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；‎ ‎(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)连接PF1(图略)，由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是‎2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率为e＝＝－1.‎ ‎(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当 |y|·‎2c＝16，·＝－1，＋＝1，‎ 即c|y|＝16， ①‎ x2＋y2＝c2， ②‎ ＋＝1. ③‎ 由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.‎ 又由①知y2＝，故b＝4.‎ 由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，‎ 所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，‎ 故a≥4.当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.‎ 所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．‎ ‎1．已知椭圆C：＋＝1，M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合．若M关于 7‎ C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝(　　)‎ A．4 B．8 ‎ C．12 D．16‎ B　[设MN的中点为D，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，如图，‎ 连接DF1，DF2，因为F1是MA的中点，D是MN的中点，所以F1D是△MAN的中位线，则|DF1|＝|AN|，同理|DF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)，因为D在椭圆上，所以根据椭圆的定义知|DF1|＋|DF2|＝4，所以|AN|＋|BN|＝8.]‎ ‎2.‎2016年1月14日，国防科工局宣布，“嫦娥四号”任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用‎2c1和‎2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用‎2a1和‎2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：‎ ‎①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③<；④c‎1a2>a‎1c2.‎ 其中正确式子的序号是(　　)‎ A．①③ B．①④ ‎ C．②③ D．②④‎ D　[观察图形可知a1＋c1>a2＋c2，即①式不正确；a1－c1＝a2－c2＝|PF|，即②式正确；由a1－c1＝a2－c2>0，c1>c2>0知，<，即<，从而c‎1a2>a‎1c2，>，即④式正确，③式不正确．故选D.]‎ ‎3．(2019·三明模拟)已知△ABC的顶点A(－3,0)和顶点B(3,0)，顶点C在椭圆＋＝1上，则＝________.‎ ‎3　[由椭圆方程＋＝1，得长轴长‎2a＝10，短轴长2b＝8，焦距‎2c＝6，则顶点A，B为椭圆的两个焦点．‎ 在△ABC中，|AB|＝6，|BC|＋|AC|＝10，‎ 由正弦正理可得，＝＝＝3.]‎ 7‎ ‎4．(2109·山西太原一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，A，B分别是其左、右顶点，点P是椭圆C上任一点，且△PF‎1F2的周长为6，若△PF‎1F2面积的最大值为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若过点F2且斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两个不同的点，证明：直线AM与BN的交点在一条定直线上．‎ ‎[解]　(1)由题意得 ‎∴∴椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由(1)得A(－2,0)，B(2,0)，F2(1,0)，设直线MN的方程为x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 由得(4＋‎3m2‎)y2＋6my－9＝0，‎ ‎∴y1＋y2＝－，y1y2＝－，∴my1y2＝(y1＋y2)，‎ ‎∵直线AM的方程为y＝(x＋2)，直线BN的方程为y＝(x－2)，‎ ‎∴(x＋2)＝(x－2)，∴＝＝＝3，‎ ‎∴x＝4，‎ ‎∴直线AM与BN的交点在直线x＝4上．‎ ‎1．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)‎ A.＋y2＝1 B．＋＝1‎ C.＋＝1 D．＋＝1‎ 7‎ B　[设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由椭圆的定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝‎4a.‎ ‎∵|AB|＝|BF1|，|AF2|＝2|F2B|，‎ ‎∴|AB|＝|BF1|＝|AF2|，‎ ‎∴|AF1|＋3|AF2|＝‎4a.‎ 又∵|AF1|＋|AF2|＝‎2a，‎ ‎∴|AF1|＝|AF2|＝a，‎ ‎∴点A是椭圆的短轴端点，如图．‎ 不妨设A(0，－b)，‎ 由F2(1,0)，＝2，‎ 得B.‎ 由点B在椭圆上，‎ 得＋＝1，‎ 得a2＝3，b2＝a2－c2＝2.‎ ‎∴椭圆C的方程为＋＝1.故选B.]‎ ‎2．如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型(称为“Dandelin双球”)；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O1，球O2的半径分别为3和1，球心距离＝8，截面分别与球O1，球O2切于点E，F，(E，F是截口椭圆的焦点)，则此椭圆的离心率等于________．‎ 　[如图，圆锥面与其内切球O1，O2分别相切与B，A，连接 7‎ O1B，O‎2A则O1B⊥AB，O‎2A⊥AB.过O1作O1D⊥O‎2A垂直于D，连接O‎1F，O2E，EF交O1O2于点C.设圆锥母线与轴的夹角为α，截面与轴的夹角为β.则在Rt△O1O2D中，DO2＝3－1＝2，O1D＝＝2 ‎∴cos α＝＝＝.‎ ‎∵O1O2＝8，∴CO2＝8－O‎1C.‎ ‎∵△EO‎2C～△FO‎1C，∴＝，‎ 解得O‎1C＝2.‎ ‎∴CF＝＝＝，‎ 即cos β＝＝.则椭圆的离心率e＝＝＝.]‎ 7‎