【数学】2020届一轮复习苏教版解析几何中的基本问题作业

【数学】2020届一轮复习苏教版解析几何中的基本问题作业

‎(九) 解析几何中的基本问题 A组——抓牢中档小题 ‎1．若直线l1：mx＋y＋8＝0与l2：4x＋(m－5)y＋2m＝0垂直，则m＝________.‎ 解析：∵l1⊥l2，∴4m＋(m－5)＝0，∴m＝1.‎ 答案：1‎ ‎2．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为____________．‎ 解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a＞0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.‎ 答案：(x－2)2＋y2＝9‎ ‎3．(2018·镇江期末)已知双曲线－y2＝1的左焦点与抛物线y2＝－12x的焦点重合，则双曲线的右准线方程为________．‎ 解析：因为抛物线的焦点为(－3,0)，即为双曲线的左焦点，所以a2＝9－1＝8，所以双曲线的右准线方程为x＝.‎ 答案：x＝ ‎4．已知直线l过点P(1,2)且与圆C：x2＋y2＝2相交于A，B两点，△ABC的面积为1，则直线l的方程为________．‎ 解析：当直线斜率存在时，设直线的方程为y＝k(x－1)＋2，即kx－y－k＋2＝0.因为S△ABC＝CA·CB·sin∠ACB＝1，所以×××sin∠ACB＝1，所以sin∠ACB＝1，即∠ACB＝90°，所以圆心C到直线AB的距离为1，所以＝1，解得k＝，所以直线方程为3x－4y＋5＝0；当直线斜率不存在时，直线方程为x＝1，经检验符合题意．综上所述，直线l的方程为3x－4y＋5＝0或x＝1.‎ 答案：3x－4y＋5＝0或x＝1‎ ‎5．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4 ，则C的方程为__________．‎ 解析：因为△AF1B的周长为4，所以|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4，所以a＝.又因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆C 的方程为＋＝1.‎ 答案：＋＝1 ‎ ‎6．(2018·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy中，若圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx＋y＋3＝0上，则实数k的最小值为________．‎ 解析：圆(x－2)2＋(y－2)2＝1关于x轴的对称圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，由题意得，圆心(2，－2)到直线kx＋y＋3＝0的距离d＝≤1，解得－≤k≤0，所以实数k的最小值为－.‎ 答案：－ ‎7．已知以椭圆的右焦点F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M，N，椭圆的左焦点为F1，且直线MF1与此圆相切，则椭圆的离心率e＝________.‎ 解析：因为圆的半径r＝c，在Rt△F1F2M中，|F1F2|＝2c，|F2M|＝c，|F1M|＝c，所以2a＝|F1M|＋|F2M|＝(＋1)c，离心率e＝＝＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎8．(2018·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy中，若直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝16相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，则实数a的值是________．‎ 解析：由题意知△ABC为等腰直角三角形，且AC＝BC＝4，AB＝4，‎ ‎∴圆心C到直线ax＋y－2＝0的距离d＝＝2，‎ ‎∴＝2，解得a＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎9．(2018·扬州期末)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆x2＋y2－6y＋5＝0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是________．‎ 解析：由圆x2＋y2－6y＋5＝0，得圆的标准方程为x2＋(y－3)2＝4，所以圆心C(0,3)，半径r＝2.因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线bx±ay＝0与该圆没有公共点，则圆心到直线的距离应大于半径，即>2，即3a>2c，即e＝<，又e>1，故双曲线离心率的取值范围是.‎ 答案： ‎10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋(y－3)2＝2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围是________．‎ 解析：设∠PCA＝θ，所以PQ＝2sin θ.又cos θ＝，AC∈[3，＋∞)，所以cos θ∈，所以cos2θ∈，sin2θ＝1－cos2θ∈，所以sin θ∈，所以PQ∈.‎ 答案： ‎11．(2018·南京、盐城、连云港二模)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x2－＝1(b＞0) 的两条渐近线与圆O：x2＋y2＝2的四个交点依次为A，B，C，D.若矩形ABCD的面积为b，则b的值为________．‎ 解析：由题意知，双曲线C的渐近线方程为y＝±bx，如图所示，两条渐近线与圆O的四个交点为A，B，C，D.不妨设点B的坐标为(m，n)，则解得m2＝，而矩形ABCD的面积为2m×2n＝4mn＝4bm2＝＝b，解得b＝. ‎ 答案： ‎12．(2018·苏锡常镇调研)已知直线l：x－y＋2＝0与x轴交于点A，点P在直线l上．圆C：(x－2)2＋y2＝2上有且仅有一个点B满足AB⊥BP，则点P的横坐标的取值集合为________．‎ 解析：法一：由AB⊥BP，得点B在以AP为直径的圆D上，所以圆D与圆C相切．‎ 由题意得A(－2,0)，C(2,0)．若圆D与圆C外切，则DC－DA＝；若圆D与圆C内切，则DA－DC＝.所以圆心D在以A，C为焦点的双曲线－＝1上，即14x2－2y2＝7.又点D在直线l上，由得12x2－8x－15＝0，解得xD＝或xD＝－.所以xP＝2xD－xA＝2xD＋2＝5或xP＝.‎ 法二：由题意可得A(－2,0)，设P(a，a＋2)，则AP的中点M，AP＝，故以AP为直径的圆M的方程为2＋2＝2.由题意得圆C与圆M 相切(内切和外切)，故 ＝，解得a＝或a＝5.故点P的横坐标的取值集合为.‎ 答案： ‎13．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于A，B两点．若△FAB的周长最大时，△FAB的面积为ab，则椭圆的离心率为________．‎ 解析：设直线x＝m与x轴交于点H，椭圆的右焦点为F1，由椭圆的对称性可知△FAB的周长为2(FA＋AH)＝2(2a－F1A＋AH)，因为F1A≥AH，故当F1A＝AH时，△FAB的周长最大，此时直线AB经过右焦点，从而点A，B坐标分别为，，所以△FAB的面积为·2c·，由条件得·2c·＝ab，即b2＋c2＝2bc，b＝c，从而椭圆的离心率为e＝.‎ 答案： ‎14．已知A，B是圆C1：x2＋y2＝1上的动点，AB＝，P是圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点，则|＋|的取值范围为________．‎ 解析：因为A，B是圆C1：x2＋y2＝1上的动点，AB＝，所以线段AB的中点H在圆O：x2＋y2＝上，且|＋|＝2||.因为点P是圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点，所以5－≤||≤5＋，即≤||≤，所以7≤2||≤13，从而|＋|的取值范围是[7,13]．‎ 答案：[7,13]‎ B组——力争难度小题 ‎1．已知点P是圆C：x2＋y2＋4x－6y－3＝0上的一点，直线l：3x－4y－5＝0.若点P到直线l的距离为2，则符合题意的点P有________个．‎ 解析：由题意知圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝16，所以圆心(－2,3)到直线l的距离d＝＝∈(4,5)，故满足题意的点P有2个．‎ 答案：2‎ ‎2．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．‎ 解析：双曲线的右顶点为A(a,0)，一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0，则圆心A到此渐近线的距离d＝＝.又因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin 60°＝，即＝，所以e＝＝.‎ 答案： ‎3．(2018·南京、盐城一模)在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝k(x－3)上存在一点P，圆x2＋(y－1)2＝1上存在一点Q，满足＝3，则实数k的最小值为________．‎ 解析：设点P(x，y)，由＝3，可得Q.又点Q在圆x2＋(y－1)2＝1上，可得2＋2＝1，即x2＋(y－3)2＝9，所以点P既在圆x2＋(y－3)2＝9上，又在直线y＝k(x－3)上，即直线与圆有交点，所以圆心到直线距离d＝≤3，解得－≤k≤0.‎ 答案：－ ‎4．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．‎ 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知 ‎|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝，‎ 由|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.‎ 联立消去x，得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，‎ 所以y1＋y2＝，所以＝p，‎ 即＝，故＝，‎ 所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.‎ 答案：y＝±x ‎5．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)恒过定点A(1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值是________. ‎ 解析：由已知得＋＝1，因为准线方程为x＝，所以椭圆的中心到准线的距离为d＝，即d2＝＝＝＝＝＝a2－5＋＋9≥2＋9＝4＋9＝(＋2)2，当且仅当a2＝5＋2时取等号．所以d≥＋2，即dmin＝＋2.‎ 答案：＋2‎ ‎6．已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，线段EF在直线l：y＝x＋1上运动，点P为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点A，B，使得·≤0，则线段EF长度的最大值是________．‎ 解析：过点C作CH⊥l于H，因为C到l的距离CH＝＝>2＝r，所以直线l与圆C相离，故点P在圆C外．因为·＝||||cos∠APB≤0，所以cos∠APB≤0，所以≤∠APB<π，圆C上存在两点A，B使得∠APB∈，由于点P在圆C外，故当PA，PB都与圆C相切时，∠APB最大，此时若∠APB＝，则PC＝r＝2，所以PH＝＝＝，由对称性可得EFmax＝2PH＝.‎ 答案：