2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第二章 4 第4讲 二次函数与幂函数
第4讲 二次函数与幂函数
1．幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.
(2)图象
(3)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
单调性
在上单调递减；
在上单调递增
在上单调递增；
在上单调递减
对称性
函数的图象关于x＝－对称
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x是幂函数．( )
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( )
(3)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.( )
(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．( )
(6)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√
[教材衍化]
1.(必修1P77图象改编)如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为________．
解析：根据幂函数的性质可知a<0，b>1，0
0，则函数y＝ax2＋bx的大致图象是________(填序号)．
解析：由函数的解析式可知，图象过点(0，0)，故④不正确．又a<0，b>0，所以二次函数图象的对称为x＝－>0，故③正确．
答案：③
2．若函数y＝mx2＋x＋2在[3，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是________．
解析：因为函数y＝mx2＋x＋2在[3，＋∞)上是减函数，
所以，即m≤－.
答案：
3．当x∈(0，1)时，函数y＝xm的图象在直线y＝x的上方，则m的取值范围是________．
答案：(－∞，1)
幂函数的图象及性质
(1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是( )
(2)若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是________．
【解析】 (1)设幂函数的解析式为y＝xα，
因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，
所以2＝4α，解得α＝.
所以y＝，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，
当00，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.
1．已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，并且f(x)在第一象限是单调递减函数，则m＝________．
解析：因为幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，
所以函数f(x)是偶函数，所以m2－2m－3为偶数，所以m2－2m为奇数，又m2－2m<0，故m＝1.
答案：1
2．当0g(x)>f(x)．
答案：h(x)>g(x)>f(x)
求二次函数的解析式
已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
【解】 法一：(利用一般式)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得
解得所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二：(利用顶点式)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
因为f(2)＝f(－1)，
所以抛物线的对称轴为x＝＝.
所以m＝.
又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，
所以f(x)＝a＋8.
因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三：(利用零点式)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍去)，
所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
求二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：
1．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________．
解析：由f(x)是偶函数知f(x)的图象关于y轴对称，所以－a＝－，即b＝－2，所以f(x)＝－2x2＋2a2，又f(x)的值域为(－∞，4]，所以2a2＝4，故f(x)＝－2x2＋4.
答案：－2x2＋4
2．已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．
解：因为f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，
所以f(x)的对称轴为x＝2.
又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，
所以f(x)＝0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为
f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，
又f(x)的图象过点(4，3)，
所以3a＝3，a＝1，
所以所求f(x)的解析式为
f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3.
二次函数的图象与性质(高频考点)
高考对二次函数图象与性质进行考查，多与其他知识结合，且常以选择题形式出现，属中高档题．主要命题角度有：
(1)二次函数图象的识别问题；
(2)二次函数的单调性问题；
(3)二次函数的最值问题．
角度一 二次函数图象的识别问题
已知abc>0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
【解析】 A项，因为a<0，－<0，所以b<0.
又因为abc>0，所以c>0，而f(0)＝c<0，故A错．
B项，因为a<0，－>0，所以b>0.
又因为abc>0，所以c<0，而f(0)＝c>0，故B错．
C项，因为a>0，－<0，所以b>0.又因为abc>0，
所以c>0，而f(0)＝c<0，故C错．
D项，因为a>0，－>0，所以b<0，因为abc>0，
所以c<0，而f(0)＝c<0，故选D.
【答案】 D
角度二 二次函数的单调性问题
函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是________．
【解析】 当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件．
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，
由f(x)在[－1，＋∞)上递减知
解得－3≤a<0.
综上，a的取值范围为[－3，0]．
【答案】 [－3，0]
(变条件)若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a为何值？
解：因为函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间为[－1，＋∞)，所以，解得a＝－3.
角度三 二次函数的最值问题
已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，x∈[－1，2]．
(1)若a＝1，求f(x)的最大值与最小值；
(2)f(x)的最小值记为g(a)，求g(a)的解析式以及g(a)的最大值．
【解】 (1)当a＝1时，f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，x∈[－1，2]，
则当x＝1时，f(x)的最小值为0，x＝－1时，f(x)的最大值为4.
(2)f(x)＝(x－a)2＋1－a2，x∈[－1，2]，
当a<－1时，f(x)的最小值为f(－1)＝2＋2a，
当－1≤a≤2时，f(x)的最小值为f(a)＝1－a2，
当a>2时，f(x)的最小值为f(2)＝5－4a，
则g(a)＝
可知，g(a)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，g(a)的最大值为g(0)＝1.
(1)确定二次函数图象应关注的三个要点
一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；
二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置；
三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点或最低点等．
从这三个方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息．
(2)二次函数最值的求法
二次函数的区间最值问题一般有三种情况：①对称轴和区间都是给定的；②对称轴动，区间固定；③对称轴定，区间变动．解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”进行数形结合，三点指的是区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴．具体方法是利用函数的单调性及分类讨论的思想求解．
对于②、③，通常要分对称轴在区间内、区间外两大类情况进行讨论．
1．若函数f(x)＝x2＋ ax＋b在区间[0, 1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m( )
A．与a有关，且与b有关
B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关
D．与a无关，但与b有关
解析：选B.f(x)＝－＋b，①当0≤－≤1时，f(x)min＝m＝f＝－＋b，f(x)max＝M＝max{f(0)，f(1)}＝max{b，1＋a＋b}，所以M－m＝max与a有关，与b无关；②当－<0时，f(x)在[0，1]上单调递增，所以M－m＝f(1)－f(0)＝1＋a与a有关，与b无关；③当－>1时，f(x)在[0，1]上单调递减，所以M－m＝f(0)－f(1)＝－1－a与a有关，与b无关．综上所述，M－m与a有关，但与b无关，故选B.
2．若函数f(x)＝ax2＋20x＋14(a＞0)对任意实数t，在闭区间[t－1，t＋1]上总存在两实数x1，x2，使得|f(x1)－f(x2)|≥8成立，则实数a的最小值为________．
解析：因为a＞0，所以二次函数f(x)＝ax2＋20x＋14的图象开口向上．
在闭区间[t－1，t＋1]上总存在两实数x1，x2，
使得|f(x1)－f(x2)|≥8成立，
只需t＝－时f(t＋1)－f(t)≥8，
即a(t＋1)2＋20(t＋1)＋14－(at2＋20t＋14)≥8，
即2at＋a＋20≥8，将t＝－代入得a≥8.
所以a的最小值为8.
故答案为8.
答案：8
三个“二次”间的转化
(2020·金华市东阳二中高三调研)已知二次函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)．
(1)当a＝－6时，函数f(x)的定义域和值域都是，求b的值；
(2)当a＝－1时在区间[－1，1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋2b－1的图象上方，试确定实数b的范围．
【解】 (1)当a＝－6时，函数f(x)＝x2－6x＋b，函数对称轴为x＝3，故函数f(x)在区间[1，3]上单调递减，在区间(3，＋∞)上单调递增．
①当210时，f(x)在区间[1，3]上单调递减，在区间上单调递增，且f(1)2x＋2b－1对x∈[－1，1]恒成立，
化简得b0，此时当x＝0时，3x2＋a＝a≥0不成立，
②若2x＋b≤0在(a，b)上恒成立，则2b＋b≤0，即b≤0，
若3x2＋a≤0在(a，b)上恒成立，则3a2＋a≤0，即－≤a≤0，故b－a的最大值为.
2．已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1，1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，
令g(x)＝x2－3x＋1－m，
要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立，
只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上的最小值大于0即可．
因为g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减，
所以g(x)min＝g(1)＝－m－1.
由－m－1>0，得m<－1 .
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
答案：(－∞，－1)
[基础题组练]
1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝( )
A. B．1 C. D．2
解析：选C.因为函数f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1，又函数f(x)的图象过点，所以＝，解得α＝，则k＋α＝.
2．若幂函数f(x)＝x(m，n∈N*，m，n互质)的图象如图所示，则( )
A．m，n是奇数，且<1
B．m是偶数，n是奇数，且>1
C．m是偶数，n是奇数，且<1
D．m是奇数，n是偶数，且>1
解析：选C.由图知幂函数f(x)为偶函数，且<1，排除B，D；当m，n是奇数时，幂函数f(x)非偶函数，排除A；选C.
3．若函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的x∈R都有f(x－1)＝f(3－x)，则以下结论中正确的是( )
A．f(0)0)，易知x∈(0，＋∞)时为减函数，又f(a＋1)4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a1时，y＝g(x)在区间[－1，1]上是单调函数，
则M＝max{g(－1)，g(1)}，
而g(－1)＝|－1－2b＋c|，g(1)＝|－1＋2b＋c|，
则2M≥g(－1)＋g(1)≥|f(－1)－f(1)|＝4|b|>4，可知M>2.
(ⅱ)当|b|≤1时，函数y＝g(x)的对称轴x＝b位于区间[－1，1]之内，
此时M＝max{g(－1)，g(1)，g(b)}，
又g(b)＝|b2＋c|，
①当－1≤b≤0时，有f(1)≤f(－1)≤f(b)，
则M＝max{g(b)，g(1)}≥(g(b)＋g(1))≥|f(b)－f(1)|＝(b－1)2≥；
②当0.
综上可知，对任意的b、c都有M≥.
而当b＝0，c＝时，g(x)＝在区间[－1，1]上的最大值M＝，
故M≥k对任意的b、c恒成立的k的最大值为.
