【数学】2018届一轮复习人教A版（理）4-2同角三角函数的基本关系与诱导公式学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（理）4-2同角三角函数的基本关系与诱导公式学案

‎§4.2　同角三角函数的基本关系与诱导公式 考纲展示►　‎ ‎1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.‎ ‎2．能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．‎ 考点1　三角函数的诱导公式 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 诱导公式 组序 一 二 三 四 五 六 角 ‎2kπ＋‎ α(k∈Z)‎ π＋α ‎－α π－α －α ＋α 正弦 sin α ‎－sin α ‎－sin α sin α cos α ‎______‎ 余弦 cos α ‎－cos α cos α ‎______‎ sin α ‎－sin α 续表 组序 一 二 三 四 五 六 正切 tan α tan α ‎－tan α ‎______‎ 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 记忆 规律 奇变偶不变，符号看象限 答案：cos α　－cos α　－tan α　‎ ‎(1)[教材习题改编]已知f(x)＝sin＋2sin－4cos 2x＋3cos，则f 的值为(　　)‎ A．0 B．‎1 C．－5 D．－9‎ 答案：C ‎(2)[教材习题改编]已知cos α＝－，则sin＝________.‎ 答案：－ 解析：sin＝cos α＝－.‎ 诱导公式的应用原则：负化正，大化小，化到锐角为终了．‎ sin(－2 010°)的值是________．‎ 答案： 解析：sin(－2 010°)＝－sin 2 010°＝－sin(5×360°＋210°)＝－sin 210°＝－sin(180°＋30°)＝sin 30°＝.‎ ‎[典题1]　(1)[2017·浙江台州中学高三月考]已知sin＝，则cos＝(　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎[答案]　D ‎[解析]　根据诱导公式可知，‎ sin ＝－cos⇒cos＝－，故选D.‎ ‎(2)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝________.‎ ‎[答案]　1‎ ‎[解析]　原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°·‎ sin 1 050°‎ ‎＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)‎ ‎＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°‎ ‎＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)‎ ‎＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°‎ ‎＝×＋×＝1.‎ ‎(3)设f(α)＝，其中1＋2sin α≠0，则f＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　∵f(α)＝ ‎＝＝＝，‎ ‎∴f＝＝ ‎＝＝.‎ ‎[点石成金]　利用诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：‎ ‎(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．‎ ‎(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．‎ 考点2　同角三角函数的基本关系 ‎ 　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 同角三角函数的基本关系式 ‎(1)平方关系 sin2α＋cos2α＝________；‎ ‎(2)商数关系 tan α＝.‎ 答案：(1)1‎ ‎(1)[教材习题改编]已知cos α＝，且α是第四象限角，则sin α的值为________．‎ 答案：－ 解析：由于α是第四象限角，‎ 故sin α＝－＝－.‎ ‎(2)[教材习题改编]已知tan α＝－2，则＝________.‎ 答案：－2‎ ‎1.基本关系式的误区：公式形式误区；角的范围误区．‎ 下列命题正确的有________．(填序号)‎ ‎①若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1；‎ ‎②若α∈R，则tan α＝恒成立；‎ ‎③sin2α＋cos2α＝sin2θ＋cos2θ.‎ 答案：③‎ 解析：①只有当α＝β时，才有sin2α＋cos2β＝1；‎ ‎②因为cos α≠0，则α≠＋kπ，k∈Z；‎ ‎③根据平方关系式，可得③正确．‎ ‎2．诱导公式应用的常见两种错误：符号；函数名．‎ ‎(1)若sin(3π＋θ)＝，则sin θ＝________.‎ ‎(2)若cos＝m，则sin α＝________.‎ 答案：(1)－　(2)－m 解析：(1)先应用诱导公式一，得 sin(3π＋θ)＝sin(2π＋π＋θ)＝sin(π＋θ)；‎ 再应用公式二，得sin(π＋θ)＝－sin θ，‎ 故sin θ＝－.‎ ‎(2)因为＋α可看作是第二象限角，‎ 所以cos＝－sin α，故sin α＝－m.‎ 有关结论．‎ ‎(1)＝________.‎ 答案：cos2α 解析：由sin2α＋cos2α＝1和＝tan α，得tan2αcos2α＋cos2α＝1，故＝cos2α.‎ ‎(2)＝________.‎ 答案：|sin α－cos α|‎ 解析：因为1－sin 2α＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝(sin α－cos α)2，所以＝|sin α－cos α|.‎ ‎[典题2]　(1)[2017·甘肃兰州诊断]已知sin(π－α)＝log8 ，且α∈，则tan(2π－α)的值为(　　)‎ A．－ B. C．± D. ‎[答案]　B ‎[解析]　sin(π－α)＝sin α＝log8 ＝－，‎ 又因为α∈，‎ 则cos α＝＝，‎ 所以tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－＝.‎ ‎(2)已知sin α＋cos α＝，且0＜α＜π，则tan α＝________.‎ ‎[答案]　－ ‎[解析]　解法一：联立方程 由①得cos α＝－sin α，‎ 将其代入②，整理得 ‎25sin2α－5sin α－12＝0.‎ ‎∵α是三角形的内角，‎ ‎∴ ‎∴tan α＝－.‎ 解法二：∵sin α＋cos α＝，‎ ‎∴(sin α＋cos α)2＝2，‎ 即1＋2sin αcos α＝，‎ ‎∴2sin αcos α＝－，‎ ‎∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝.‎ ‎∵sin αcos α＝－＜0且0＜α＜π，‎ ‎∴sin α＞0，cos α＜0，‎ ‎∴sin α－cos α＞0.‎ ‎∴sin α－cos α＝.‎ 由 得 ‎∴tan α＝－.‎ ‎[题点发散1]　保持本例(2)中条件不变，‎ 求：(1)；‎ ‎(2)sin2α＋2sin αcos α的值．‎ 解：由母题，可知 tan α＝－.‎ ‎(1)＝ ‎＝＝.‎ ‎(2)sin2α＋2sin αcos α＝ ‎＝＝＝－.‎ ‎[题点发散2]　若本例(2)中条件变为“＝‎5”‎，求tan α的值．‎ 解：解法一：由＝5，得 ＝5，即tan α＝2.‎ 解法二：由＝5，得 sin α＋3cos α＝15cos α－5sin α，‎ ‎∴6sin α＝12cos α，即tan α＝2.‎ ‎[题点发散3]　若本例(2)中的条件和结论互换：已知α是三角形的内角，且tan α＝－，求 sin α＋cos α的值．‎ 解：由tan α＝－，得sin α＝－cos α，‎ 将其代入 sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，‎ ‎∴cos2α＝，易知cos α＜0，‎ ‎∴cos α＝－，sin α＝，‎ 故 sin α＋cos α＝－.‎ ‎[点石成金]　同角三角函数基本关系式的应用技巧 技巧 解读 适合题型 切弦 主要利用公式tan θ＝ 表达式中含有sin θ，cos θ与tan ‎ 互化 化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan θ化成正切 θ ‎“‎1”‎的 变换 ‎1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan ＝(sin θ±cos θ)2∓2sin θcos θ 表达式中需要利用“1”转化 和积 转换 利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化 表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ ‎1.若3sin α＋cos α＝0，则的值为(　　)‎ A. B. C. D．－2‎ 答案：A 解析：3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0‎ ‎⇒tan α＝－，‎ ＝ ‎＝＝＝.‎ ‎2．[2017·四川雅安模拟]已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ 的值为(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 答案：C 解析：由题意，知(sin θ＋cos θ)2＝，‎ ‎∴1＋2sin θcos θ＝，∴2sin θcos θ＝，‎ 由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－＝，‎ 可得sin θ－cos θ＝±.‎ 又∵θ∈，sin θb>c B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b 答案：C 解析：∵a＝sin 33°，b＝cos 55°＝sin 35°，‎ c＝tan 35°＝，‎ 又0b>a.‎ ‎3．[2015·四川卷]已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________．‎ 答案：－1‎ 解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.‎ 所以2sin αcos α－cos2α＝ ‎＝＝＝－1.‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用 ‎[典例]　(1)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是(　　)‎ A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1}‎ C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}‎ ‎(2)在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，则C＝________.‎ ‎[思路分析]　(1)角中有整数k，应对k是奇数还是偶数进行讨论；(2)利用同角三角函数基本关系式的平方关系时，要对开方的结果进行讨论．‎ ‎[解析]　(1)当k为偶数时，A＝＋＝2；‎ 当k为奇数时，A＝－＝－2.‎ 所以A的值构成的集合是{2，－2}．‎ ‎(2)由已知，得 ‎①2＋②2，得2cos‎2A＝1，即cos A＝±，‎ 当cos A＝时，cos B＝，‎ 又A，B是三角形的内角，所以A＝，B＝，‎ 所以C＝π－(A＋B)＝.‎ 当cos A＝－时，cos B＝－.‎ 又A，B是三角形的内角，‎ 所以A＝，B＝，不合题意．综上，C＝.‎ ‎[答案]　(1)C　(2) 温馨提示 ‎(1)本题在三角函数的求值化简过程中，体现了分类讨论思想，即使讨论的某种情况不合题意，也不能省略讨论的步骤；(2)三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘以及三角形内角和定理的应用．‎