【数学】2018届一轮复习人教A版　同角三角函数的基本关系与诱导公式学案

【数学】2018届一轮复习人教A版　同角三角函数的基本关系与诱导公式学案

第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式 ‎ [学生用书P66]‎ ‎1．同角三角函数的基本关系 ‎(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．‎ ‎(2)商数关系：tan α＝．‎ ‎2．六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 α＋2kπ(k∈Z)‎ π＋α ‎－α π－α －α ＋α 正弦 sin α ‎－sin_α ‎－sin α sin α cos_α cos α 余弦 cos α ‎－cos α cos_α ‎－cos α sin α ‎－sin_α 正切 tan α tan α ‎－tan α ‎－tan_α 口诀 函数名不变符号看象限 函数名改变符号看象限 简记口诀：把角统一表示为±α(k∈Z)的形式，奇变偶不变，符号看象限．‎ ‎1．辨明三个易误点 ‎(1)“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是代表“任意”一个使三角函数有意义的角．“同角”的概念与角的表达形式有关，如：sin23α＋cos23α＝1，＝tan .‎ ‎(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．‎ ‎(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．‎ ‎2．三角函数求值与化简的三种常用方法 ‎(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．‎ ‎(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．‎ ‎(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)‎ ‎＝tan＝….‎ ‎1．cos＝(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C．－ D．－ ‎[答案] C ‎2．已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)等于(　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎　D　[解析] 因为sin＝，α∈，‎ 所以cos α＝，所以sin α＝，‎ 所以sin(π＋α)＝－sin α＝－.‎ ‎3．若sin θcos θ＝，则tan θ＋的值是(　　)‎ A．－2 B．2‎ C．±2 D. ‎　B　[解析] tan θ＋＝＋＝＝2.‎ ‎4．若sin θ＝－，tan θ>0，则cos θ＝________．‎ ‎[解析] 由已知，θ在第三象限，‎ 所以cos θ＝－＝－＝－.‎ ‎[答案] － ‎5. 已知tan θ＝2，则sin θ·cos θ＝________．‎ ‎[解析] sin θcos θ＝＝＝＝.‎ ‎[答案] ‎　同角三角函数的基本关系式(高频考点)[学生用书P66]‎ 同角三角函数的基本关系式的应用很广泛，也比较灵活．高考中常以选择题、填空题的形式出现．‎ 高考对同角三角函数基本关系式的考查主要有以下三个命题角度：‎ ‎(1)知弦求弦；‎ ‎(2)知弦求切；‎ ‎(3)知切求弦．‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)(2016·高考全国卷丙)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝(　　)‎ A.　　　　　　　　　　　 B. C．1 D. ‎(2)已知sin α＋cos α＝，则tan α＝(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎【解析】　(1)法一：由tan α＝＝，cos2α＋sin2α＝1，得或则sin 2α＝2sin αcos α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＋＝.‎ 法二：cos2α＋2sin 2α＝＝＝＝.‎ ‎(2)因为sin α＋cos α＝，‎ 所以(sin α＋cos α)2＝3，‎ 所以sin2α＋2sin αcos α＋2cos2α＝3，‎ 所以＝3，‎ 所以＝3，‎ 所以2tan2α－2tan α＋1＝0，所以tan α＝.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)A 同角三角函数关系式及变形公式的应用 ‎(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．‎ ‎(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．　‎ ‎[题点通关]‎ ‎ 角度一　知弦求弦 ‎1．(2017·雅安模拟)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，)，则sin θ－cos θ的值为(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎　C　[解析] (sin θ＋cos θ)2＝，所以1＋2sin θcos θ＝，所以2sin θcos θ＝，由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1－＝，可得sin θ－cos θ＝±.又因为θ∈(0，)，sin θ0，cos θ<0.‎ 所以sin θ＝，cos θ＝－.‎ 所以tan θ＝＝－.‎ 法二：同法一，得sin θcos θ＝－，‎ 所以＝－.‎ 齐次化切，得＝－，‎ 即60tan2θ＋169tan θ＋60＝0，‎ 解得tan θ＝－或tan θ＝－.‎ 又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝>0，sin θcos θ＝－<0.‎ 所以θ∈(，)，所以tan θ＝－.‎ ‎【答案】　－ ‎　(1)本题利用方程思想 法一：由sin θ＋cos θ、sin θcos θ的值构造一元二次方程，把sin θ与cos θ看作此方程的两根，即可求出sin θ与cos θ的值，便可求解．‎ 法二：利用三角函数的基本关系转化为关于tan θ的一元二次方程求解．‎ ‎(2)所谓方程思想就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量间的等量关系，建立方程或方程组，求出未知数及各量的值，或者用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．‎ ‎　已知sin(3π－α)＝－2sin(＋α)，则sin αcos α等于(　　)‎ A．－　　　　　　　　　　 B. C.或－ D．－ ‎　A　[解析] 因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin(＋α)，‎ 所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，‎ 当α在第二象限时，，‎ 所以sin αcos α＝－；‎ 当α在第四象限时，，‎ 所以sin αcos α＝－，‎ 综上，sin αcos α＝－，故选A.‎ ‎ [学生用书P339(独立成册)]‎ ‎1．tan(－π)的值为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　　 B．－ C. D．－ ‎　A　　A　[解析] tan(－π)＝tan(－8π＋)‎ ‎＝tan ＝.‎ ‎2．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎　D　[解析] 因为sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，‎ 所以－sin θ＝－cos θ，所以tan θ＝.‎ 因为|θ|<，所以θ＝.‎ ‎3．(2017·福建省毕业班质量检测)已知cos(α＋)＝，则cos 2α的值等于(　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎　A　[解析] 法一：因为cos(α＋)＝，所以sin α＝－，所以cos α＝±，所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝(±)2－(－)2＝，故选A.‎ 法二：因为cos(α＋)＝，所以sin α＝－，‎ 所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，故选A.‎ ‎4．已知＝5，则sin2α－sin αcos α的值为(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎　D　[解析] 依题意得＝5，所以tan α＝2.‎ 所以sin2α－sin αcos α＝ ‎＝＝＝.‎ ‎5．已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，若f(2 016)＝5，则f(2 017)的值是(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ ‎　B　[解析] 因为f(2 016)＝5.‎ 所以asin(2 016π＋α)＋bcos(2 016π＋β)＋4＝5，‎ 即asin α＋bcos β＝1.‎ 所以f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)＋4＝－asin α－bcos β＋4＝－1＋4＝3.‎ ‎6．已知sin α＋3cos α＋1＝0，则tan α的值为(　　)‎ A.或 B．－或－ C.或－ D．－或不存在 ‎　D　[解析] 由sin α＝－3cos α－1，可得(－3cos α－1)2＋cos2α＝1，即5cos2α＋3cos α＝0，解得cos α＝－或cos α＝0，当cos α＝0时，tan α的值不存在，当cos α＝－时，sin α＝－3cos α－1＝，tan α＝＝－，故选D.‎ ‎7．化简＋＝________．‎ ‎[解析] 原式＝＋＝－sin α＋sin α＝0.‎ ‎[答案] 0‎ ‎8．在△ABC中，若tan A＝，则sin A＝________．‎ ‎[解析] 因为tan A＝>0，所以A为锐角，于是1＋tan2A＝1＋＝＝，cos2A＝，cos A＝，sin A＝tan Acos A＝.‎ ‎[答案] ‎9．sin π·cos π·tan(－π)的值是________．‎ ‎[解析] 原式＝sin(π＋)·cos(π－)·tan(－π－)‎ ‎＝(－sin )·(－cos )·(－tan )‎ ‎＝(－)×(－)×(－)＝－.‎ ‎[答案] － ‎10．已知sin＝，则cos＝________．‎ ‎[解析] cos＝cos ‎＝cos＝－cos，‎ 而sin＝sin ‎＝cos＝，‎ 所以cos＝－.‎ ‎[答案] － ‎11．已知sin θ＝，<θ<π.‎ ‎(1)求tan θ的值；‎ ‎(2)求的值．‎ ‎[解] (1)因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以cos2θ＝.‎ 又<θ<π，所以cos θ＝－.‎ 所以tan θ＝＝－.‎ ‎(2)由(1)知，＝＝－.‎ ‎12．已知α为第三象限角，‎ f(α)＝.‎ ‎(1)化简f(α)；‎ ‎(2)若cos(α－)＝，求f(α)的值．‎ ‎[解] (1)f(α)＝ ‎＝＝－cos α.‎ ‎(2)因为cos(α－)＝，‎ 所以－sin α＝，‎ 从而sin α＝－.‎ 又α为第三象限角，‎ 所以cos α＝－＝－，‎ 所以f(α)＝－cos α＝.‎ ‎13．已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为(　　)‎ A．－ B. C．－ D. ‎　B　[解析] 因为<α<，‎ 所以cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，‎ 所以cos α－sin α>0.‎ 又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，‎ 所以cos α－sin α＝.‎ ‎14．化简＝________．‎ ‎[解析] 原式＝‎ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝1.‎ ‎[答案] 1‎ ‎15．已知在△ABC中，sin A＋cos A＝.‎ ‎(1)求sin Acos A的值；‎ ‎(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；‎ ‎(3)求tan A的值．‎ ‎[解] (1)因为sin A＋cos A＝，①‎ 所以两边平方得1＋2sin Acos A＝，‎ 所以sin Acos A＝－.‎ ‎(2)由sin Acos A＝－<0，且00，cos A<0，所以sin A－cos A>0，‎ 所以sin A－cos A＝，②‎ 所以由①，②可得sin A＝，cos A＝－，‎ 所以tan A＝＝＝－.‎ ‎16．已知f(x)＝(n∈Z)．‎ ‎(1)化简f(x)的表达式；‎ ‎(2)求f＋f的值．‎ ‎[解] (1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，‎ f(x)＝ ‎＝＝ ‎＝sin2x(n＝2k，k∈Z)；‎ 当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，‎ f(x)＝ ‎＝ ‎＝＝ ‎＝sin2x(n＝2k＋1，k∈Z)．‎ 综上得f(x)＝sin2x.‎ ‎(2)由(1)得f＋f ‎＝sin2＋sin2 ‎＝sin2＋sin2 ‎＝sin2＋cos2＝1.‎